《抛物线的几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线的几何性质（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线l叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。 即即: FMlN问题：问题：抛物线的定义及其标准方程是怎样的？抛物线的定义及其标准方程是怎样的？ 复习复习 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程yxoyxoyxoyxo 练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下以抛物线的标
2、准方程：以抛物线的标准方程： 来研究它的几何性质来研究它的几何性质 （图形（图形 对称轴对称轴 顶点顶点 离心率离心率 准线准线 焦点焦点 ） 抛物线的几何性质抛物线的几何性质y2=2pxy取全体实数取全体实数XYX 0范围范围对称性对称性 关于关于X轴对称轴对称顶点顶点 定义定义 ：抛物线：抛物线与对称轴的交点，与对称轴的交点，叫做抛物线的叫做抛物线的顶顶点点离心率离心率 离心率离心率e= 1抛物线的几何性质抛物线的几何性质 图图 形形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程范围范围对称轴对称轴顶点顶点离心率离心率y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-x 0，y
3、Rx 0，y R y 0，x Ry 0，x R原原 点点即即(0，0)e=1x轴轴y轴轴问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？有什么特点？ （1 1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有但没有渐近线渐近线； 2 2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3 3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；4 4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；）抛物线只有一个顶点、一个
4、焦点、一条准线；抛物线由抛物线由P P决定开口大小决定开口大小 ， P P越大开口越大越大开口越大 而而椭圆、双曲线由椭圆、双曲线由e e决定决定 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆圆 短轴所在的直线，抛物线焦点短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为到顶点的距离为3 3，求抛物线的方程及抛物线，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。的准线方程。例例1 1：求抛物线的标准方程及几何性质：求抛物线的标准方程及几何性质练习练习求符合下列条件的抛物线的标准方程（1 1）顶点在原点，关于）顶点在原点，关于x x轴对称，并且经过点轴对称，并且经过点 M M（5 5，4 4
5、）；）；（2 2）顶点在原点，焦点是）顶点在原点，焦点是F F（0 0，5 5）；）；（3 3）顶点在原点，准线是）顶点在原点，准线是x=4x=4；（4 4）焦点是）焦点是F F（0 0，8 8），准线是），准线是y=8y=8。2.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m。求拱形的抛物线方程。练习练习例例2 斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A、B两点两点,求线段求线段AB的长的长.xyoF(,0)x+=0法法法法3 |3 |ABAB|=|=x1 1+ +x2 2+ +P P法法1 利用两点间距离公式利用两点间
6、距离公式 法2 xyoF练习练习B练习练习例例3:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直于灯口直径。AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标
7、是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为yOxBA分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴正三角形及抛物线都是轴 对称图形对称图形,如果能证明如果能证明x轴是它们的公共轴是它们的公共的对称轴的对称轴,则容易求出三角形的边长则容易求出三角形的边长.yOxBAyOxBA 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶
8、点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。课堂练习课堂练习3 3：葡萄美酒夜光杯葡萄美酒夜光杯,欲饮琵琶马上催欲饮琵琶马上催.问题1:如果测量得酒杯杯口宽4cm，杯深8cm，试求出该抛物线方程？4cm8cm4cm8cm解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8)所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P= ,则所求的抛物线方程为：方程范围对称轴顶点离心率y轴(0,0)e=1问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。 例例1 1 已知抛物线关于已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点 ，求它的标准方程，求它的标准方程，AB思考思考2 2：三角形：三角形OABOAB为等边三角形，若为等边三角形，若ABAB垂直于垂直于X X轴，求轴，求ABAB的长度的长度思考思考3 3：当等腰直角三角形：当等腰直角三角形OABOAB中中OAOA垂直于垂直于OBOB呢，三角形面积？呢，三角形面积？思考思考1 1：当：当CDCD过焦点，线过焦点，线CDCD的长为多少？的长为多少？C DF
