第五节 函数展成幂级数教学重点教学重点:泰勒级数 麦克劳林级数 直接法 间接法教学难点教学难点:直接法 间接法一 泰勒(Taylor)级数二 幂级数在近似计算中的应用 函数展开成幂级数函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一一. 泰勒级数泰勒级数第三章研究过泰勒公式:其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.余项 此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1. 定义 若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在 的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数 2. 泰勒定理:若f(x) 在 的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明见下页)注: (1) 则f(x)在 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)在 的泰勒级数收敛于f(x),即泰勒展开式(2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数 证证必要性必要性充分性充分性7/24 二二. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成 x 的幂级数. 麦克劳林级数1. 直接展开法(1) 求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2) 求出(3)求出收敛半径R(4) 在(-R,R)内,如果则 f(x) 例 将函数展开成 x 的幂级数收敛半径有限趋于零,因为 收敛所以 (循环)收敛半径所以0 牛顿二项式级数注: α>－1时,展式在 x =1成立;α>0时,展式在 x = －1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法 例 将函数展开成 x 的幂级数 作变量替换 （5） 将 展成x的幂级数。
解 因 而 （6） 将 的幂级数解 所以 (7) 将 分别展开成 x 的及 x－1 的幂级数①② (8) 将 展开成 x－1的幂级数 (9)(9)解解19/24 (10)(10)解解20/24 (11)(11)解解21/24 (12)(12)解解22/24 (13)(13)解解23/24 常用的麦克劳林展式常用的麦克劳林展式（记住）（记住）:17/24 ——二项式展开式二项式展开式* *注注: :18/24 练习 二 幂级数在近似计算中的应用 由公式可知，在收敛域上，f(x)可展成易知f(x)等于前n项构成的多项式 ，所以通过求多项式的值，就可得到的f(x)近似值。
例9 求 的近似值，误差不超过 解因为 ，得 若取前两项，得此时，交错级数的误差即 。