第一节第一节 QR QR分解分解QRQR分解也称为正交三角分解分解也称为正交三角分解 矩矩阵阵QRQR分分解解是是一一种种特特殊殊的的三三角角分分解解，，在在解解决决矩矩阵阵特特征征值值的的计计算算、、最最小小二二乘乘法法等等问问题题中中起起到到重重要作用主要内容：主要内容：1·1·矩阵的矩阵的QRQR分解分解-- Schmidt-- Schmidt正交化方法正交化方法2·2·矩阵的矩阵的QRQR分解分解-- Householder-- Householder变换、变换、 GivensGivens变换变换1 QRQR分解定理分解定理任意一个满秩实任意一个满秩实( (复）矩阵复）矩阵A A，都可唯一地分解，都可唯一地分解A = QR A = QR ，，其中其中Q Q为为正交（酉）矩阵，正交（酉）矩阵，R是具有正是具有正对角元的上三角矩阵对角元的上三角矩阵由于由于x x 1 1, ,x x 2 2, …,, …,x x n n 线性无关，将它们用线性无关，将它们用SchmidtSchmidt正交正交证明证明设设A A是一个实满秩矩阵是一个实满秩矩阵, A, A的的n n个列向量为个列向量为 x x 1 1, ,x x 2 2, …,, …,x x n n 定义定义:设设如果存在如果存在n阶酉矩阵阶酉矩阵Q和和n阶上三角矩阵阶上三角矩阵R R，使得，使得则称之为则称之为A A的的QRQR分解或酉三角分解分解或酉三角分解当当 时，则称为时，则称为A的正三角分解的正三角分解化方法得标准正交向量化方法得标准正交向量e e 1 1, ,e e 2 2, …,, …,e e n n2 其中其中从而有从而有3 由此得由此得式中式中D=RD=R1 1R R-1-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。
由于仍为具有正对角元的上三角矩阵由于即即D D为正交矩阵，因此为正交矩阵，因此D D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）为单位矩阵（正规上三角为对角阵）故故4 说明：说明：1·若不要求若不要求R具有正对角元，则具有正对角元，则A的不同的不同QR分解仅在正交分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为的对应行相差模为1的因子该定理的证明过程给出了利用该定理的证明过程给出了利用SchmidtSchmidt正交化方法求可逆矩阵正交化方法求可逆矩阵QRQR分解的方法分解的方法例例 求矩阵求矩阵A A的的QRQR分解分解解解2·2·若若A A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q Q与复非奇异上三角矩与复非奇异上三角矩阵阵R R，使，使A = QR A = QR 5 将将 正交化正交化6 整理得整理得令令则则7 例例1 1：利用：利用SchmidtSchmidt正交化方法求矩阵的正交化方法求矩阵的QRQR分解分解设设则则 线性无关，首先将它们正交化得：线性无关，首先将它们正交化得：再单位化再单位化：8 于是：于是：从而从而9 HouseholderHouseholder变换变换O+O则则记记即：该变换将向量即：该变换将向量 变成了以变成了以 为法向量的平为法向量的平面的对称向量面的对称向量 。
HouseholderHouseholder变变换换又又称称为为反反射射变变换换或或镜镜像像变变换换，，有有明明显显的的几几何何意意义义在在 中中，，给给定定一一个个向向量量 ，，令令 表表示示 关关于于平平面面 （（以以 为为法法向向量量））的的反反射射变变换换所所得得像像，，如如图图所示，所示，10 定义定义 设设 是一个单位向量，令是一个单位向量，令则称则称H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换性质性质5.1.1 5.1.1 设设H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则（（1 1））H H是是HermiteHermite矩阵，矩阵， ；；（（2 2））H H是酉矩阵，是酉矩阵， ；；（（3 3））H H是对合矩阵，是对合矩阵， ；；（（4 4））H H是自逆矩阵是自逆矩阵（（5 5））diagdiag( (I I, ,H H ) ) 也是一个也是一个HouseholderHouseholder矩阵矩阵; ;（（6 6））det Hdet H = -1 = -1。
11 其中其中 为实数定理定理 设设 是一个单位向量，则对于任意的是一个单位向量，则对于任意的当当 时，取单位向量时，取单位向量 使使存在存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使得，使得证明证明 当当x=0x=0时，任取单位向量时，任取单位向量则则则则12 所以所以 当当 时，取时，取由于由于13 推论推论1 1 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使，使其中其中 为实数推论推论2 2 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用HouseholderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）平行的向量（共线）。
，其中，其中使得使得得得14 例例2 2 用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量化为与化为与 平行的向量平行的向量因此因此解解 由于由于为了使为了使为实数，取为实数，取令令则则也可取也可取 或或说明说明15 [1] [1] 将矩阵将矩阵A A按列分块按列分块 , ,取取利用利用HouseholderHouseholder矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：分解的步骤：则则16 [2] [2] 将矩阵将矩阵 按列分块，按列分块，取取则则其中其中17 则则 A=QR A=QR依次进行下去，得到第依次进行下去，得到第n-1n-1个个n n阶的阶的HouseholdHousehold矩阵矩阵H Hn n-1-1，使得，使得[3][3]因因 为自逆矩阵，令为自逆矩阵，令 18 例例2：已知矩阵：已知矩阵利用利用HouseholderHouseholder变变换求换求A A的的QRQR分解分解因为因为记记令令则则从而从而记记则则令令19 记记则则取取则则20 GivensGivens变换变换x 2yx O我们知道，平面坐标系我们知道，平面坐标系 中的旋转角为中的旋转角为 变换可表变换可表示为示为T T是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。
是正交矩阵，称为平面旋转矩阵将其推广到一般的将其推广到一般的n n维酉空间中，维酉空间中，可以得到初等旋转变换，也称为可以得到初等旋转变换，也称为GivensGivens变换21 定义定义 设设记记n n阶矩阵阶矩阵由由 所确定的线性变换称为所确定的线性变换称为GivensGivens变换或初等旋转变换变换或初等旋转变换称称 为为GivensGivens矩阵或初等旋转矩阵；矩阵或初等旋转矩阵；容易验证，容易验证，GivensGivens矩阵是矩阵是酉矩阵酉矩阵，且，且 22 定理定理 对于任意向量对于任意向量 ，存在，存在GivensGivens变换变换 ，使得，使得 的的第第l l个分量为个分量为0 0，第，第k k个分量为非负实数，其余个分量为非负实数，其余分量不变分量不变证明证明 记记由由GivensGivens矩阵的定义可得矩阵的定义可得23 当当 时，取时，取c c=1,=1,s s=0=0，则，则T Tkl kl = = I I, ,此时此时当当 时，取时，取, ,结论成立。
结论成立则则24 与第一自然基向量与第一自然基向量推论推论 给定一个向量给定一个向量 ，则存在一组，则存在一组GivensGivens矩阵矩阵 ，， 使得使得称为用称为用GivensGivens变换化向量变换化向量证明证明 设设由上述定理存在由上述定理存在GivensGivens矩阵矩阵使得使得共线25 依此继续下去，可以得出依此继续下去，可以得出对于对于 又存在又存在GivensGivens矩阵矩阵 ，使得，使得26 例例3 3 用用GivensGivens变换化向量变换化向量 与第一自然基向量共线与第一自然基向量共线 解解 由于由于取取则构造则构造GivensGivens矩阵矩阵27 对于对于由于由于取取则则28 利用利用GivensGivens矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：分解的步骤：先将矩阵先将矩阵A A按列分块，按列分块，[1] [1] 对于对于存在一组存在一组GivensGivens矩阵矩阵于是于是使得使得29 又存在一组又存在一组GivensGivens矩阵矩阵使得使得[2] [2] 将矩阵将矩阵 按列分块按列分块30 [3][3]令令 。
依次进行下去，得到依次进行下去，得到因此因此其中，其中，则则A=QRA=QR31 说明说明：：利用利用GivensGivens矩阵进行矩阵进行QRQR分解，需要作分解，需要作 个初等个初等旋转矩阵的连乘积，旋转矩阵的连乘积， 当当n较大时，计算量较大，因此较大时，计算量较大，因此常用镜像变换来进行常用镜像变换来进行QRQR分解分解32 。