曲线、曲面及立体相交

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1、 第第第第6 6 6 6章章章章 曲线、曲面及立体相交曲线、曲面及立体相交曲线、曲面及立体相交曲线、曲面及立体相交6.1 6.1 曲线的形成与投影曲线的形成与投影6.2 6.2 常见曲面常见曲面6.3 6.3 立体的三面投影立体的三面投影6.4 6.4 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交6.4 6.4 两曲面立体相交两曲面立体相交 6.1 6.1 曲线的形成与投影曲线的形成与投影一、曲线概述 曲线可以看成是点的运动轨迹，也可以看作曲面与曲面或曲面与平面的交线。1、平面曲线：曲线上的所有点在同一平面内，如圆、双曲线、抛物线、摆线等；2、空间曲线：曲线上四个连续的点不在同一平面内，如螺旋线。3、

2、曲线投影性质：曲线的投影一般仍为曲线，其切线和割线的同面投影一般情况下仍为曲线投影的切线和割线。 二、圆的投影 圆的投影一般为椭圆。1、椭圆的常用概念和术语 椭圆的直径：过椭圆中心且两端点在椭圆周线上的直线段，如AB、CD； 共轭直径：图中点O为椭圆中心，AB是椭圆直径，过AB的平行弦MN的中点作直径CD，则AB和CD是该椭圆的一对共轭直径，椭圆共轭直径有无穷多对； 椭圆的长、短轴：椭圆共轭直径中互相垂直的一对共轭直径称为椭圆的长轴和短轴。2、圆的投影特性 1）圆上任何一对互相垂直的直径的投影必为投影椭圆的一对共轭直径； 2）圆上平行于切线的弦必被过切点的直径所平分，该性质在投影中保持不变；

3、3）圆的外切正方形的投影成为投影圆的外切平行四边形。 3、圆的投影作图1) 特殊位置圆的投影作图 圆与投影面平行，在该投影面上的投影为圆，在其余两个投影面上的投影集聚为直线；圆与投影面垂直时，在该投影面上积聚为直线，在另两个投影面上的投影为椭圆，长轴为圆直径的实长，短轴为圆直径实长下圆所在平面和投影面夹角的余弦的积。2) 一般位置圆的投影作图 已知平面S及面上一点O，求平面S上以点O 为圆心、直径为20mm的圆的投影。 三、圆柱螺旋线 1、螺旋线形成 动点M沿直线AB等速移动，同时直线AB又绕与它平行的轴线OO等速旋转，点M的轨迹称为圆柱螺旋线。 2、螺旋线投影作图6.2 6.2 6.2 6.

4、2 常见曲面常见曲面常见曲面常见曲面 曲面形成和分类曲面形成和分类 1 1、形成、形成 曲面是直线或曲线城空间运动所形成的轨迹曲面是直线或曲线城空间运动所形成的轨迹2 2、分类：、分类： 运动方式：运动方式： 回转面、非回转面；回转面、非回转面； 母线形状：母线形状： 直线曲面、曲纹曲面。直线曲面、曲纹曲面。6.3 6.3 6.3 6.3 立体的三面投影立体的三面投影立体的三面投影立体的三面投影6.3.1 6.3.1 立体的投影立体的投影6.3.26.3.2 平面立体平面立体6.3.3 6.3.3 平面截切平面立体平面截切平面立体6.3.4 6.3.4 曲面立体曲面立体6.3.5 6.3.5

5、曲面立体的截切与相贯曲面立体的截切与相贯 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环 6.3.4 6.3.4 6.3.4 6.3.4 平面立体平面立体平面立体平面立体1 1、 棱柱棱柱2 2 、棱锥棱锥平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥棱锥体棱锥体平面立体：平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。 棱柱体棱柱体 是平面立体各表面投影的集合-

6、由直线段组成的封闭图形。 平面立体的投影平面立体的投影平面立体的投影平面立体的投影11 由两个底面由两个底面和六个侧棱面组和六个侧棱面组成。侧棱面与侧成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相棱线，侧棱线相互平行。互平行。1 1）六棱柱）六棱柱）六棱柱）六棱柱1 1 1 1、 棱柱棱柱棱柱棱柱（1 1 1 1）六棱柱的）六棱柱的）六棱柱的）六棱柱的投影投影投影投影视图视图视图视图-无轴投影图无轴投影图无轴投影图无轴投影图13(2) (2) (2) (2) 棱柱表面上取点棱柱表面上取点棱柱表面上取点棱柱表面上取点a a(a )(b )bb 点的可见性点的可见性判别：判别： 若点所若

7、点所在的平面的在的平面的投影可见，投影可见，点的投影也点的投影也可见；若平可见；若平面的投影积面的投影积聚成直线，聚成直线，点的投影也点的投影也可见。可见。c c c（1 1）三棱柱的视图）三棱柱的视图）三棱柱的视图）三棱柱的视图 由两个底面和由两个底面和三个侧棱面组成。三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。棱线相互平行。2 2 2 2） 三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱 三棱柱的三棱柱的两底面为水平两底面为水平面，在俯视图面，在俯视图中反映实形。中反映实形。 其余三个其余三个侧棱面都是铅侧棱面都是铅垂面，水平投垂面，水平投影积聚，与三影积聚，与

8、三角形的边重合。角形的边重合。 点的可见性判别：点的可见性判别： 若点所在的若点所在的平面的投影可见，平面的投影可见，点的投影也可见；点的投影也可见；若平面的投影积若平面的投影积聚成直线，点的聚成直线，点的投影也可见。投影也可见。 由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。点与在平面上取点的方法相同。 mk k km 用相对坐标，量取坐标差用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。的方法在表面取点。m （2 2）三棱柱表面的点）三棱柱表面的点2 2 、棱锥、棱锥1 1 1 1）棱锥的组成）棱锥的组成）棱锥的组成）棱

9、锥的组成 由一个底由一个底面和若干侧棱面和若干侧棱面组成。侧棱面组成。侧棱线交于有限远线交于有限远的一点的一点锥锥顶。顶。s Basacs bCASb”(c”)a”cb 棱锥处于图示位棱锥处于图示位置时置时, ,其底面其底面ABCABC是水是水平面，在俯视图上反平面，在俯视图上反映实形。侧棱面映实形。侧棱面SBCSBC为侧垂面，另两个侧为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。棱面为一般位置平面。2 2 2 2）棱锥的投影三视图）棱锥的投影三视图）棱锥的投影三视图）棱锥的投影三视图s(c )s a ac b b cs ba 3 3 3 3）棱锥表面上取点）棱锥表面上取点）棱锥表面上取点）棱锥表面上

10、取点2 2 23(3 )3 BCASmm N1M1 n n1 一、一、一、一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交平面与平面立体相交平面与平面立体相交截平面截平面断面断面断面的边断面的边界界线是线是 截交线。截交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质三三三三. . . . 棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法作图方法作图方法:1 求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2 连线连线 3 根据可见性处理

11、轮廓线根据可见性处理轮廓线121222277565612345673434求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 例题例题1 1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影2 2 2 2棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”abc 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线

12、的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线的投影。3”具体步骤如下：abc123(4)1”3”4”1243 例题例题3 3 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy 例题例题44 求立体切割后的投影求立体切割后的投影235411166543264（5）2（3）1 1、 圆柱圆柱2 2 、圆锥圆锥3

13、3 、圆球圆球4 4 、圆环圆环6.3.5 6.3.5 6.3.5 6.3.5 回转体回转体回转体回转体工程中常见的曲面立体工程中常见的曲面立体, ,是是回转体。回转体。 直母线生成的回转曲面称为直线回直母线生成的回转曲面称为直线回转面如转面如: :圆柱面、圆锥面等。圆柱面、圆锥面等。 回转曲面回转曲面是由母线是由母线( (直线或曲线直线或曲线) )绕绕定轴线作回转运动生成的。定轴线作回转运动生成的。 曲母线生成的回转曲面称为曲线回曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如转面如: :圆球面、圆环面等。圆球面、圆环面等。回转体的表面主要由回转体的表面主要由回转曲面回转曲面构成。构成。表面由曲面或曲面

14、和平面构成的立体称为曲面立体。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。回转面的术语回转面的术语OO顶圆素线赤道圆喉圆纬圆底圆母线轴线1 1 1 1、 圆柱圆柱圆柱圆柱圆柱的形成圆柱的形成 圆柱面上与轴圆柱面上与轴线平行的任一直线平行的任一直线称为圆柱面的线称为圆柱面的素线素线。1 1 1 1）圆柱体的组成）圆柱体的组成）圆柱体的组成）圆柱体的组成 由圆柱面和上由圆柱面和上下两底圆组成。下两底圆组成。 圆柱面是由直圆柱面是由直母线母线AAAA1 1绕与之平绕与之平行的轴线旋转而行的轴线旋转而成。成。

15、2 2 2 2）圆柱的投影）圆柱的投影）圆柱的投影）圆柱的投影 圆柱面的俯圆柱面的俯视图积聚成一个视图积聚成一个圆，在另两个视圆，在另两个视图上分别以两个图上分别以两个方向的外形轮廓方向的外形轮廓线的投影表示。线的投影表示。 其上下底圆其上下底圆为水平面为水平面, ,在俯在俯视图上反映实形，视图上反映实形，在另两个视图上在另两个视图上分别积聚成为一分别积聚成为一直线。直线。（1 1）分析圆柱轮廓线的投影一）分析圆柱轮廓线的投影一（1 1）分析圆柱轮廓线的投影二）分析圆柱轮廓线的投影二（2 2）圆柱投影对）圆柱投影对V V面可见性的判别面可见性的判别前半面前半面可见可见后半面后半面不可见不可见曲

16、面的曲面的可见性可见性的判断的判断轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据（3 3）圆柱投影对）圆柱投影对W W面可见性的判别面可见性的判别左半面左半面可见可见右半面右半面不可见不可见曲面的曲面的可见性可见性的判断的判断3 3 3 3）圆柱表面上取点）圆柱表面上取点）圆柱表面上取点）圆柱表面上取点( )A(D)Cc” 轮廓线的投轮廓线的投影是判断曲面影是判断曲面可见性的依据可见性的依据( )B利用积聚性先求出水平投影利用积聚性先求出水平投影ac4 4 4 4）圆柱面上的曲线）圆柱面上的曲线）圆柱面上的曲线）圆柱面上的曲线曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；曲

17、线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。 利用积聚性利用积聚性先求出侧面投影先求出侧面投影注意求出特殊位注意求出特殊位置的点（置的点（A A、C C） -特殊点特殊点圆锥的形成圆锥的形成2 2 2 2、 圆锥圆锥圆锥圆锥圆锥面圆锥面是由直母线是由直母线SASA绕与它相交的轴绕与它相交的轴线线OOOO1 1旋转而成。旋转而成。1 1 1 1）圆锥体的组成圆锥体的组成圆锥体的组成圆锥体的组成由圆锥面和底圆组成。由圆锥面和底圆组成。 S S称为称为锥顶锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥

18、面的称为圆锥面的素线素线。S SA AO OO O1 12 2） 圆锥的投影圆锥的投影圆锥的投影圆锥的投影 如图示位置，俯视图为一圆。另两个如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。的两条轮廓素线的投影。(1) (1) 圆锥的投影特点圆锥的投影特点圆锥的投影特点圆锥的投影特点轮廓线的投影轮廓线的投影底圆的投影底圆的投影(2) (2) 圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别VV面面面面前半面前半面可见可见后半面后半面

19、不可见不可见曲面的可见曲面的可见性的判断。性的判断。注意：注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断轮廓线的投影与曲面的可见性的判断(3) (3) 圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别WW面面面面左半面左半面可见可见右半面右半面不可见不可见曲面的可见曲面的可见性的判断。性的判断。3 3） 圆锥表面上取点圆锥表面上取点圆锥表面上取点圆锥表面上取点辅助素线法辅助素线法辅助圆法辅助圆法Aaa 如何取圆的半径？如何取圆的半径？圆锥表面上特殊位置的取点圆锥表面上特殊位置的取点例：例：a a b ba b 4 4）圆锥面上的曲线）圆锥面上的曲线）圆锥面上的曲线）圆锥面上的曲线 求曲

20、线上一系求曲线上一系列点的投影；列点的投影； 注意：注意：特殊点特殊点 然后，再将这然后，再将这些点的投影依次些点的投影依次光滑地连接起来。光滑地连接起来。 圆球的形成圆球的形成3 3 3 3、 圆球圆球圆球圆球1 1 1 1）圆球的形成）圆球的形成）圆球的形成）圆球的形成 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。旋转而成。 2 2 2 2） 圆球的投影圆球的投影圆球的投影圆球的投影三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。（1 1）圆

21、球的投影特点）圆球的投影特点）圆球的投影特点）圆球的投影特点圆球的圆球的轮廓线的投影轮廓线的投影（2 2）圆球可见性的判别）圆球可见性的判别）圆球可见性的判别）圆球可见性的判别3 3 3 3）圆球表面上取点）圆球表面上取点）圆球表面上取点）圆球表面上取点采用辅助圆法求圆球面上的点采用辅助圆法求圆球面上的点圆的半径圆的半径？(c ) (b )bb a a圆球面上特殊点的求法圆球面上特殊点的求法A为一般点；为一般点；例：例： c a (c)B、C为特殊点。为特殊点。4 4 4 4）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线采用辅助圆法求圆球面上的线采用辅助圆法求圆球面上的线注意

22、：注意：特殊点特殊点注意：注意：特殊点特殊点采用辅助圆法求圆球面上的线采用辅助圆法求圆球面上的线4 4 4 4）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线 一圆母线绕其所在平面内的一条轴一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。线作回转而成。4 4 4 4、 圆环圆环圆环圆环 点击图片播放动画点击图片播放动画1 1 1 1）圆环的画法）圆环的画法）圆环的画法）圆环的画法2 2 2 2）圆环的投影特点）圆环的投影特点）圆环的投影特点）圆环的投影特点 主视图是主视图是素线极限位置素线极限位置和内、外环分和内、外环分圆的投影；圆的投影； 俯视图是俯视图是上、下环面的上、下环面的

23、投影；投影； 左视图与左视图与主视图相同。主视图相同。3 3 3 3）圆环投影可见性的判别）圆环投影可见性的判别）圆环投影可见性的判别）圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见圆环面上的辅助圆圆环面上的辅助圆圆环面上的辅助圆圆环面上的辅助圆m124 4 4 4）圆环表面上取点）圆环表面上取点）圆环表面上取点）圆环表面上取点m（n）12 采用辅采用辅助圆法求助圆法求圆环面上圆环面上的点或线的点或线截交线截交线截平面截平面截交线截交线截平面截平面6.4 6.4 6.4 6.4 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交一、截交线的性质：一、截交

24、线的性质：一、截交线的性质：一、截交线的性质： 截交线的形状取决于截交线的形状取决于曲面立体曲面立体表表 面的形状及面的形状及截平面与截平面与曲面立体曲面立体轴轴 线的相对位置。线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形。封闭的平面图形。 截交线是截平面与截交线是截平面与曲面立曲面立体表面体表面 的的共有线。共有线。二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转

25、体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。三、具体的作

26、图步骤三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点极限点极限点转向点转向点特征点特征点结合点结合点矩形矩形椭圆椭圆圆圆6.4.1 6.4.1 6.4.1 6.4.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面垂直于圆截平面垂直于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为垂直于轴线的垂直于轴线的圆圆 截平面平行于圆截平面平行于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为平行于轴线的平行于轴线的两条直线两条直线 截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为椭圆椭圆6.4.1 6.4.1 6

27、.4.1 6.4.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交平面与圆柱相交 例例1 1 求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影分析：分析：截平面与圆柱轴线斜截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。交，截交线为椭圆。作图方法作图方法: : 1.求特殊点求特殊点11” 122”23”4”342.适当求一般点适当求一般点343.连线连线4.处理轮廓线处理轮廓线作图方法作图方法: : 表面取点法表面取点法注意注意: :当截平面与圆柱轴线交线交角为当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，时， 截交线投影为圆。截交线投影为圆。 例例22 求圆柱截交线求圆柱截交线1115488832544(5)2(

28、3)23解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线的的侧侧面面投投影影为为圆圆，水水平平投投影为椭圆；影为椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3求求出出若若干干个个一一般般点点、 、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。766(7)67 例例33 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析侧侧面面投投影影为为圆圆的的一一部部分分，截截交线的水平投影为椭圆的一部分；交线的水平投影为椭圆的一部分；2 2求求出出截截交交线线上上的

29、的特特殊殊点点、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 ；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。3453 3334 4( (5 5) )5 5 4 4 1 1( (2 2) )221 11 12 2 例例4 4 求切口圆柱的水平投影和侧面投影求切口圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影影为为椭圆，侧面投影为圆；椭圆，侧面投影为圆；2 2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点、 、；4 4

30、光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且出截交线，并且判别可见性判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例55 求截切圆柱的水平投影和侧面投影求截切圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影影为为圆圆的的一一部部分分，侧侧面面投投影影为矩形；为矩形；2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3 顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线并交线并判别可见性判别可见性；4 整理轮廓线。整理轮廓线。6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 平面与圆锥相交平面与圆锥相交平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆三角形三

31、角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段 截平面垂直于圆截平面垂直于圆锥轴线，截交线为锥轴线，截交线为垂垂直于轴线的圆。直于轴线的圆。 截平面平行于圆锥截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线且过锥顶，截圆锥轴线且过锥顶，截交线为交线为两相交直线。两相交直线。平面截圆锥（一）平面截圆锥（一）截平面平行于圆锥轴截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且圆锥轴线，且bf，截交线为截交线为椭圆。椭圆。截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆锥轴线，且锥轴线，且b=f，截交线为截交线为抛物线。抛物线。平面截圆锥（二）平面截圆锥（二）求圆锥截交线上

32、点的方法求圆锥截交线上点的方法素线法素线法纬圆法纬圆法分析：分析：截平面过锥顶截平面过锥顶, ,截交线为截交线为 三角形。三角形。 例题例题11求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影作图：作图： 例题例题22 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线为为椭椭圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影和侧面投影均为椭圆；影和侧面投影均为椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3求出一般点求出一般点；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且

33、判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。3 33 33 3圆圆6.4.3 6.4.3 6.4.3 6.4.3 平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交截平面截圆球，截截平面截圆球，截交线为交线为圆。圆。平面截圆球平面截圆球纬圆法纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬圆与截平面的交点。纬圆与截平面的交点。求圆球截交线上点的方法求圆球截交线上点的方法 例例1 1 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线为为圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面投影均为椭圆；面投影均为

34、椭圆；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、 、 ；3 3求求出出若若干干个个一一般般点点A、B、C、D；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截交线，并且判别可见性；截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd 水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。在侧视图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。圆弧

35、，在俯视图上积聚为直线。 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线6.5 6.5 6.5 6.5 曲面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯 两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。体表面的共有点。 相贯线是两曲面立体表面的相贯线是两曲面立体表面的共有线共有线，相贯线上的点是两曲，相贯线上的点是两曲面立体表面的面立体表面的共有点共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。不

36、同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线空间曲线，特殊，特殊情况为情况为平面曲线平面曲线或或直线直线。1.1.两回转体相交两回转体相交, ,交线为相贯线交线为相贯线相贯线相贯线2.2.相贯线为二立体表面的公共线相贯线为二立体表面的公共线3.3.相贯线一般为封闭的空间曲线相贯线一般为封闭的空间曲线圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线为二立体表面公共线相贯线为二立体表面公共线相贯线相贯线相贯线相贯线圆柱与圆柱圆柱与圆柱封闭的空间曲线封闭的空间曲线10.5.1 10.5.1 两回转体相交两回转体相交一、曲面立体相贯线的

37、性质图例一、曲面立体相贯线的性质图例二、曲面立体相贯的三种基本形式二、曲面立体相贯的三种基本形式2 2 外表面与内表面相交；外表面与内表面相交；1 1 两外表面相交；两外表面相交；3 3 两内表面相交。两内表面相交。三、求曲面立体相贯线的方法三、求曲面立体相贯线的方法1表面取点法表面取点法2辅助平面法辅助平面法3辅助球面法辅助球面法求曲面立体相贯线的方法有：求曲面立体相贯线的方法有：四、求相贯线的一般步骤四、求相贯线的一般步骤2 2求作相贯线上的求作相贯线上的特殊点特殊点。3 3根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。4 4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。光滑且顺次

38、地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5 5整理轮廓线。整理轮廓线。特殊点特殊点分析分析: :1.相贯线水平投影不用求相贯线水平投影不用求2.相贯线侧面投影不用求相贯线侧面投影不用求作图作图: :最前点最前点 1最后点最后点 2最低点最低点最左点最左点 3最右点最右点 4最高点最高点2.适当求一般点适当求一般点3.连线连线12341234121.求特殊点求特殊点43 例例1 1 求二圆柱的相贯线求二圆柱的相贯线1. 1. 利用积聚性的表面取点法利用积聚性的表面取点法 圆柱表面交线的三种情况圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交两外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两内表面相

39、交 两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势变化趋势2、利用辅助平面法求相贯线辅助面的选用原则辅助面的选用原则 例例22 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线yyPW1PV14yy4 PV2PW23PV3PW351112 22453 35 解题步骤解题步骤1 1 分分析析 相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共有点；共有点；2 2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点 、 、；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点 、；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判判别别可可见见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。用辅助平面求共有点示意图用辅助平面求共有点示意图用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点特殊位置和形状的相贯线特殊位置和形状的相贯线 -等径正交两圆柱的相贯线等径正交两圆柱的相贯线三个圆柱的复合相贯三个圆柱的复合相贯相贯线的简化画法 国家标准规定，在不引起误解的情况下，相贯线允许采用简化画法，如可用直线或圆弧代替非圆曲线。本 章 结 束