《2018-2019学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时 函数的最大（小）值课件 新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时 函数的最大（小）值课件 新人教A版必修1（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时函数的最大第二课时函数的最大( (小小) )值值目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解函数的最大理解函数的最大值和最小和最小值的概念及其几何意的概念及其几何意义. .2.2.能借助函数的能借助函数的图象和象和单调性性, ,求一些求一些简单函数的最函数的最值. .3.3.能利用函数的最能利用函数的最值解决有关的解决有关的实际应用用问题. .素养达成素养达成通通过本本节内容的学内容的学习, ,使学生体会数形使学生体会数形结合思想、分合思想、分类讨论思想在求解最思想在求解最值中的作用中的作用, ,提高学生提高学生逻辑推理、数学运推理、数学运算的能力算的能力. .新知探求新知探求课堂探究
2、课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成【情境导学情境导学】 导入导入如图所示是某市房管局公布的如图所示是某市房管局公布的20132013年年1010月月20142014年年9 9月该市房价走势月该市房价走势图图: :想一想想一想 1:1:从导入图中能否得出从导入图中能否得出20132013年年1010月月20142014年年9 9月房价的最大值月房价的最大值? ?( (在在20142014年年5 5月月, ,房价达到最大值房价达到最大值, ,约为约为27 00027 000元元) )想一想想一想 2:2:从导入图中能否得出从导入图中能否得出20132013年年1010月月20142014年年
3、9 9月房价的最小值月房价的最小值? ?( (在在20132013年年1212月月, ,房价达到最小值房价达到最小值, ,约为约为25 40025 400元元) )知识探究知识探究1.1.最大值最大值(1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,设函数设函数y=y=f(xf(x) )的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足: :对于任意的对于任意的xIxI, ,都有都有f(xf(x) ) M;M;存在存在x x0 0I,I,使得使得 . .那么那么, ,称称M M是函数是函数y=y=f(xf(x) )的最大值的最大值. .(2)(2)几何意义几何意义: :函数函数y=y
4、=f(xf(x) )的最大值是图象最的最大值是图象最 点的点的 坐标坐标. .探究探究: :若函数若函数f(x)Mf(x)M, ,则则M M一定是函数的最大值吗一定是函数的最大值吗? ?答案答案: :不一定不一定, ,只有定义域内存在一点只有定义域内存在一点x x0 0, ,使使f(xf(x0 0)=M)=M时时,M,M才是函数的最大才是函数的最大值值, ,否则不是否则不是. .f(xf(x0 0)=M)=M纵纵高高2.2.最小值最小值(1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,设函数设函数y=y=f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足: :对于任意
5、的对于任意的xI,xI,都有都有f(xf(x) ) M;M;存在存在x x0 0I,I,使得使得 . .那么那么, ,称称M M是函数是函数y y= =f(x)f(x)的最小值的最小值. .(2)(2)几何意义几何意义: :函数函数y=y=f(x)f(x)的最小值是图象最的最小值是图象最 点的点的 坐标坐标. .f(xf(x0 0)=M)=M低低纵纵【拓展延伸拓展延伸】最值的求法最值的求法(1)(1)作出函数的图象作出函数的图象, ,尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数, ,从图象从图象直接观察可得最值直接观察可得最值. .(2)(2)求出函数的值域求出
6、函数的值域, ,其边界即为最值其边界即为最值, ,此时要注意边界值能否取到此时要注意边界值能否取到( (即最即最值是否存在值是否存在).).(3)(3)利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值, ,以下可以作为结论使用以下可以作为结论使用: :若函数在闭区间若函数在闭区间 a,ba,b 上是减函数上是减函数, ,则则f(xf(x) )在在 a,ba,b 上的最大值为上的最大值为f(af(a),),最最小值为小值为f(bf(b););若函数在闭区间若函数在闭区间 a,ba,b 上是增函数上是增函数, ,则则f(xf(x) )在在 a,ba,b 上的最大值为上的最大值为f(bf(b),),最最
7、小值为小值为f(af(a).).自我检测自我检测1.1.( (最大值最大值) )函数函数f(xf(x)=3-x)=3-x2 2的最大值为的最大值为( ( ) )(A)3(A)3 (B)2 (B)2(C)0(C)0 (D)4 (D)4A A2.2.( (最小值最小值) )函数函数y=-xy=-x2 2+2x-1+2x-1在在0,30,3上的最小值为上的最小值为( ( ) )(A)0(A)0 (B)-4 (B)-4(C)-1(C)-1 (D) (D)以上都不对以上都不对B BB B4.4.( (最值的应用最值的应用) )若函数若函数y=ax+1y=ax+1在在1,21,2上的最大值与最小值的差为上
8、的最大值与最小值的差为2,2,则实则实数数a a的值是的值是. .答案答案: :225.5.( (最值最值) )函数函数f(x)f(x)在在-2,+)-2,+)上的图象如图所示上的图象如图所示, ,则函数的最小值为则函数的最小值为 . .; ;最大值为最大值为. .答案答案: :不存在不存在3 3题型一题型一图象法求最值图象法求最值课堂探究课堂探究素养提升素养提升解解: :(1)(1)函数的图象如图所示函数的图象如图所示. .由图象可知由图象可知f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,0)(-,0)和和0,+),0,+),无递减区间无递减区间. .(2)(2)根据函数的图象求出函
9、数的最小值根据函数的图象求出函数的最小值. .解解: :(2)(2)由函数图象可知由函数图象可知, ,函数的最小值为函数的最小值为f(0)=-1.f(0)=-1.方法技巧方法技巧 利用图象求函数最值的方法利用图象求函数最值的方法:画出函数画出函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象; ;观察图象观察图象, ,找出图象的最高点和最低点找出图象的最高点和最低点; ;写出最值写出最值, ,最高点的纵坐标是函数的最大值最高点的纵坐标是函数的最大值, ,最低点的纵坐标是函数最低点的纵坐标是函数的最小值的最小值. .即时训练即时训练1 1- -1:1:用用mina,b,cmina,b,c表示表示a,b,c
10、a,b,c三个数中的最小值三个数中的最小值, ,则函数则函数f(x)= f(x)= min4x+1,x+4,-x+8min4x+1,x+4,-x+8的最大值是的最大值是. .解析解析: :在同一坐标系中分别作出函数在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后的图象后, ,取取位于下方的部分得函数位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象的图象, ,如图所示如图所示. .由图象可知由图象可知, ,函数函数f(x)f(x)在在x=2x=2时取得最大值时取得最大值6.
11、6.答案答案: :6 6【备用例备用例1 1】 已知函数已知函数f(x)= f(x)= 求求f(x)f(x)的最大值、最小值的最大值、最小值. .题型二题型二 单调性法求最值单调性法求最值【例例2 2】 已知函数已知函数f(x)= .f(x)= .(1)(1)判断函数在区间判断函数在区间(-1,+)(-1,+)上的单调性上的单调性, ,并用定义证明你的结论并用定义证明你的结论; ;(2)(2)求该函数在区间求该函数在区间2,42,4上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .方法技巧方法技巧 (1)(1)由函数单调性结合函数图象找出最高由函数单调性结合函数图象找出最高( (低低) )点的纵坐标即
12、为函点的纵坐标即为函数的最大数的最大( (小小) )值值. .(2)(2)分段函数的最大分段函数的最大( (小小) )值是函数整体上的最大值是函数整体上的最大( (小小) )值值. .即时训练即时训练2 2- -1:1:已知函数已知函数f(x)= ,x3,5.f(x)= ,x3,5.(1)(1)判断函数在区间判断函数在区间3,53,5上的单调性上的单调性, ,并给出证明并给出证明; ;(2)(2)求该函数的最大值和最小值求该函数的最大值和最小值. .【备用例备用例2 2】 求函数求函数y=2x-1- y=2x-1- 的最大值的最大值. .题型三题型三 二次函数的最值二次函数的最值【例例3 3】
13、 已知函数已知函数f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5,-12x+5,当自变量当自变量x x在下列范围内取值时在下列范围内取值时, ,求函数求函数的最大值和最小值的最大值和最小值. .(1)x(1)xR R; ;解解: :f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5=3(x-2)-12x+5=3(x-2)2 2-7.-7.(1)(1)当当xxR R时时,f(x)=3(x-2),f(x)=3(x-2)2 2-7-7,-7-7,当当x=2x=2时时, ,等号成立等号成立. .即函数即函数f(x)f(x)的最小值为的最小值为-7,-7,无最大值无最大值. .(2)0,3;(2)0,3;(
14、3)-1,1.(3)-1,1.解解: :(2)(2)函数函数f(x)=3(x-2)f(x)=3(x-2)2 2-7-7的图象如图所示的图象如图所示, ,由图可知由图可知, ,函数函数f(x)f(x)在在0,2)0,2)上递减上递减, ,在在2,32,3上递增上递增, ,并且并且f(0)=5,f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在所以在0,30,3上上,f(x),f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,f(x)f(x)minmin=f(2)=-7.=f(2)=-7.(3)(3)由图象可知由图象可知,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上
15、单调递减上单调递减, ,f(x)f(x)maxmax=f(-1)=20,=f(-1)=20,f(x)f(x)minmin=f(1)=-4.=f(1)=-4.变变式式探探究究: :(1)(1)若若本本例例函函数数解解析析式式不不变变, ,求求此此函函数数在在0,a0,a上上的的最最大大值值和和最最 小小值值; ;解解: :(1)(1)由题意知由题意知a0,f(x)=3xa0,f(x)=3x2 2-12x+5=3(x-2)-12x+5=3(x-2)2 2-7,-7,故此函数的对称轴为故此函数的对称轴为x=2,x=2,当当0a20a2时时,f(x),f(x)minmin=f(a)=3a=f(a)=3
16、a2 2-12a+5,-12a+5,f(x)f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,当当2a42a4时时,f(x),f(x)minmin=f(2)=-7,=f(2)=-7,f(x)f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,当当a4a4时时,f(x),f(x)minmin=f(2)=-7,=f(2)=-7,f(x)f(x)maxmax=f(a)=3a=f(a)=3a2 2-12a+5.-12a+5.(2)(2)若将函数若将函数“f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5-12x+5”变为变为“f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+2-2ax+2”, ,则函数在则函数在
17、-1,1-1,1上的最小值如何上的最小值如何? ?解解: :(2)f(x)=x(2)f(x)=x2 2-2ax+2=(x-a)-2ax+2=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2, ,其图象开口向上其图象开口向上, ,对称轴为对称轴为x=a,x=a,a-1a1a1时时,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上单调递减上单调递减,f(x),f(x)minmin=f(1)=3-2a,=f(1)=3-2a,综上综上,f(x),f(x)minmin= =即时训练即时训练3 3- -1:1:已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+2,-2ax+2,当当x-1,+)x-1,+)时时,f(x
18、)a,f(x)a恒成立恒成立, ,求求a a的取值范围的取值范围. .解解: :因为因为f(x)=(x-a)f(x)=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2, ,所以此二次函数图象的对称轴为所以此二次函数图象的对称轴为x=a.x=a.当当a(-,-1)a(-,-1)时时,f(x),f(x)在在-1,+)-1,+)上单调递增上单调递增, ,所以所以f(x)f(x)minmin=f(-1)=2a+3.=f(-1)=2a+3.要使要使f(x)af(x)a恒成立恒成立, ,只需只需f(x)f(x)minmina,a,即即2a+3a,2a+3a,解得解得a-3,a-3,即即-3a-1.-3a-1.当当a
19、-1,+)a-1,+)时时,f(x),f(x)minmin=f(a)=2-a=f(a)=2-a2 2. .要使要使f(x)af(x)a恒成立恒成立, ,只需只需f(x)f(x)minmina,a,即即2-a2-a2 2a,a,解得解得-2a1,-2a1,即即-1a1.-1a1.综上所述综上所述, ,实数实数a a的取值范围为的取值范围为-3,1.-3,1.【备用例【备用例3 3】 已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-3,-2x-3,若若xt,t+2,xt,t+2,求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值. .解解: :因为对称轴为因为对称轴为x=1,x=1,当当1t+21t+
20、2即即t-1t-1时时,f(x),f(x)maxmax=f(t)=t=f(t)=t2 2-2t-3,f(x)-2t-3,f(x)minmin=f(t+2)=t=f(t+2)=t2 2+2t-3.+2t-3.题型四题型四 函数最值的实际应用函数最值的实际应用【例例4 4】 经市场调查经市场调查, ,某城市的一种小商品在过去的近某城市的一种小商品在过去的近2020天内的日销售量天内的日销售量( (单位单位: :件件) )与单个商品的价格与单个商品的价格( (单位单位: :元元) )均为时间均为时间t(t(单位单位: :天天) )的函数的函数, ,且销售量近似满足且销售量近似满足g(t)= g(t)
21、= 80-2t,80-2t,单个商品的价格近似满足于单个商品的价格近似满足于f(t)=f(t)=(1)(1)试写出该种商品的日销售额试写出该种商品的日销售额y y关于时间关于时间t(0t20)t(0t20)的函数解析式的函数解析式; ;(2)(2)求该种商品的日销售额求该种商品的日销售额y y的最大值与最小值的最大值与最小值. .解解: :(2)(2)由由(1)(1)知知当当0t100t10时时,y=-t,y=-t2 2+10t+1 200=-(t-5)+10t+1 200=-(t-5)2 2+1 225,+1 225,函数图象开口向下函数图象开口向下, ,对称轴为直线对称轴为直线t=5,t=
22、5,该函数在该函数在(0,5(0,5上单调递增上单调递增, ,在在(5,10(5,10上单调递减上单调递减, ,所以所以y ymaxmax=1 225(=1 225(当当t=5t=5时取得时取得),y),yminmin=1 200(=1 200(当当t=10t=10时取得时取得).).当当10t2010t20时时,y=t,y=t2 2-90t+2 000=(t-45)-90t+2 000=(t-45)2 2-25,-25,图象开口向上图象开口向上, ,对称轴为直线对称轴为直线t=45,t=45,该函数在该函数在(10,20(10,20上单调递减上单调递减,y,ymaxmax1 200(1 20
23、0(当当t=10t=10时取得时取得),y),yminmin=600(=600(当当t=20t=20时取得时取得).).由由知知,y,ymaxmax=1 225(=1 225(当当t=5t=5时取得时取得),y),yminmin=600(=600(当当t=20t=20时取得时取得).).方法技巧方法技巧 函数的单调性在实际生活中的应用问题函数的单调性在实际生活中的应用问题, ,大多涉及最值的求大多涉及最值的求解解, ,如利润最大、用料最省等如利润最大、用料最省等. .解题的关键是先由题意确定函数的解析式解题的关键是先由题意确定函数的解析式, ,然后借助函数单调性求出最值然后借助函数单调性求出最
24、值. .但要注意函数的自变量的值要使实际问但要注意函数的自变量的值要使实际问题有意义题有意义. .即即时训练时训练4 4- -1:1:某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为200 m200 m2 2的三级的三级污水处理池污水处理池, ,由于地形限制由于地形限制, ,该污水处理池的长、宽都不能超过该污水处理池的长、宽都不能超过16 m.16 m.如果如果池外墙建造单价为每米池外墙建造单价为每米400400元元, ,中间两条隔墙建造单价为每米中间两条隔墙建造单价为每米248248元元, ,池底建池底建造单价为每平方米造单价为每平方米8080元元( (池壁的厚度忽略不计池壁的厚度忽略不计, ,且无池盖且无池盖),),求当污水处理池求当污水处理池的长和宽各为多少米时的长和宽各为多少米时, ,池的总造价最低池的总造价最低, ,并求出最低总造价并求出最低总造价. .
