矢量场的环量及旋度

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1、1.4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度1 1、环量、环量 矢量场沿闭合线的线积分矢量场沿闭合线的线积分 从变力作功问题引入矢量场环量的概念。从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 一段积分路径及其细分一段积分路径及其细分iliFibal1 若若将将F(r)看看成成是是任任意意的的矢矢量量场场，上上述述积积分分则则代代表表矢矢量量场场F(r)沿沿路路径径 l 的的标标量量线线积积分分。矢矢量量场场的的环环量量是是上上述述矢矢量量场场线线积积分分概概念念推推广广应应用用于于闭闭合合路路径径的的结结果果，因因此此，F(r)的环量为的环量为 环量不为零的矢量场叫做环量不为零的矢量场叫做旋涡场旋涡场

2、，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源检源作用作用。环量为零的矢量场叫做环量为零的矢量场叫做保守场保守场或守恒或守恒场，静电场就是保守场。场，静电场就是保守场。 FnFtF环量的计算环量的计算2水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动，无涡旋运动 流体做涡旋运动流体做涡旋运动C0，有产生，有产生涡旋的源涡旋的源例：例：流速场流速场在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设 F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ezdl = dx ex+ dy ey+ dz e

3、z 则环量可写成则环量可写成3 过点过点P P 作一微小有向曲面作一微小有向曲面S, ,它的边界曲线记为它的边界曲线记为l, ,曲面曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当S点点P P 时时, ,存在极限存在极限上式称为上式称为环量密度环量密度过点过点P P 的有向曲面的有向曲面S 取不同的方向，其环量密度将会不同。取不同的方向，其环量密度将会不同。2 2、旋度、旋度（1 1）环量密度）环量密度 面面元元法法向向矢矢量量与与周周界界循行方向的右手关系。循行方向的右手关系。PlS4（2 2）旋度）旋度 P P 点的点的旋度旋度定义为该点的定义为该点的最大的

4、环量密度最大的环量密度，并令其方向，并令其方向为为en , ,即即旋度旋度与与环量密度环量密度的关系：投影的关系：投影5旋度直角坐标式的推导旋度直角坐标式的推导于是得于是得旋度的旋度的x方向分量：方向分量： Fz l1 x y z sx (x,y,z) y z Fy Fz(x,y+y,z) Fy(x,y,z+z)o 推推导导旋旋度度的的直直角角坐坐标标式所取的面元和它的围线式所取的面元和它的围线6同理可求得同理可求得 curlF 的的y，z分量分量所以所以或用或用 算符将其写成算符将其写成7(3(3）旋度的物理意义）旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是

5、空间坐标点的函数。 点点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若F=J0, 称之为称之为旋度场旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )，J 称为称为旋度源密度旋度源密度( (或涡旋源密度或涡旋源密度) )； 点点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场若矢量场处处处处F=0，称之为无称之为无旋场或旋场或保守场保守场。8(4(4）有关旋度的几个关系式）有关旋度的几个关系式 相对位置矢量的旋度为零，即相对位置矢量的旋度为零，即 f(r)与与F(r)之积之积 fF 的旋度有恒等式的旋度有恒等

6、式 f(R) 与与 R 之积的旋度，有之积的旋度，有证明：证明：9例例 4 已知已知F=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez试就图所示试就图所示xoy平平面上面上 以原点为心以原点为心、3为为半径的圆形路径，求半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。沿其逆时针方向的环量。 解解 在在 xoy 平面上平面上，有有 F = (2xy)ex+(x+y)ey+(3x2y)ez ， dl=dxex+dyey 设设 x = 3cos ，y = 3sin 则则xy(x,y)l3o10例例 5 5 求矢量场求矢量场 F=xyz（exey+ez) 在点在点 M(1,3,2)处的旋度处的旋度。解：解：11作业：作业：1.81.8 12