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1、一、一、【概念复习概念复习】： 1排排列列的的定定义义，理解排列定义需要注意的几点问题；从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一一定定的的顺顺序序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列一个排列.2排列数的定义，排列数的计算公式排列数的定义，排列数的计算公式 1.2.计算：3.选作：求证：选作：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!- 1排列应用题排列应用题一、无限制条件的排列问题1.一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需要停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？2.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿
2、途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？分析：个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1号站下，第二位乘客在2号站下，第三位乘客在4号站下，第四位乘客在6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A46=6543=360 3. 3. 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（A A组）联赛共组）联赛共有有1414个队参加，每队要与其余各队在主、个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛场比赛. .( (场场) )4从参加乒乓球团体比赛的从参加乒乓球团体比赛的5名运
3、动员中选出名运动员中选出3名名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不种不同的方法？同的方法？ 5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面, 2面或 3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？6.6.（1 1）从）从5 5本本不同的书中选不同的书中选3 3本送给本送给3 3名名同学，每人各同学，每人各1 1本，共有多少种不同的送本，共有多少种不同的送法？法？ （2 2）从）从5 5种种不同的书中买不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法本，
4、共有多少种不同的送法？ ( (种种) )( (种种) )百位百位十位十位个位个位解法一：对排列方法解法一：对排列方法分步思考分步思考。 0 0是是“特殊元素特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。特殊元素要特殊（优先）处理。例例1 1 用用 0 0 到到 9 9 这十个数字，可以组成多少这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？个没有重复数字的三位数？二、有限制条件的排列问题二、有限制条件的排列问题（一（一) )特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题解法二：解法二：间接法间接法. . 求总数：求总数： 从从0 0到到9 9这十个数字中任取三个数字的这十个数字中任取三个数字的排列数为
5、排列数为 ， 所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是 求以求以0 0为排头的排列数为为排头的排列数为 . . 从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数小小 结结一一：对于“在在”与“不不在在”等有特特殊殊元元素素或或特特殊殊位位置置的排列问题，通常是先先排排特特殊殊元元素素或或特特殊殊位置位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法）。例2.用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1) 五位数2)六位偶数3)大于213045的自然数1)解1.位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法，其余4个位置有A45种排法，由乘法原理
6、知共有5 A45=55432=600解2.（间接法） 6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等，0这样的数共有A56-A45=6002)可分为两类，第一类是个位为0的有A55个，第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有A44种排法，第二类共有24A44=192,由加法原理共有A55+192=312形如2134,2135的数有A12A22形如21054有一个因此满足要求的数共有449个3)形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有A13A55 形如 23，24，25这样的数都是满足条件的数共有A13A44形如214,215这样的数都是满足条件的数共有A12A3
7、3例例3、 7位同学站成一排，共有多少种不同的排位同学站成一排，共有多少种不同的排法？法？解：问题可以看作：7个元素的全排列A775040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66 =720 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66 种，共有A61 A66 =4320。解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列
8、，有A66 ，共有A61 A66 =4320。解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。 （4）7位位同同学学站站成成一一排排甲甲、乙乙只只能能站站在在两两端端的的排排法法共共有多少种？有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22（5） 7位同学站成一排，位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？法共有多少种？解：第一步 从（除
9、去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共有A52 A55 2400种排列方法（6）若甲不在排头）若甲不在排头、乙不在排尾、乙不在排尾,有多少种不有多少种不同的排法？同的排法？解解法法一一（直直接接法法）：以以 甲甲作作为为分分类类标标准准,分分为为两两类类：第第 一一 类类 ： 先先 安安 排排 甲甲 在在 中中 间间 ,再再 安安 排排 乙乙 ,有有第第二二类类：先先安安排排甲甲在在排排尾尾 ,再再安安排排其其他他人人 ,有有共共有有： 3720种种方方法法解解法法二二（间间接接法法）：所所
10、有有排排法法中中除除去去不不符符合合的的 .共共有有： 3720种种方方法法 所所有有排排法法：甲甲在在排排头头：乙乙在在排排尾尾：甲甲在在排排头头、乙乙在在排排尾尾：B例4七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？BAA解：A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，所以在全排列中， A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此有：排法。（种）例4.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（1） 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同
11、的排法？BA对对应应思思想想 例例5 5七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。捆捆 绑绑 法法（二）相邻问题 变式： 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）小小结结二二：对对于于相相邻邻问问题题，常常用用“捆捆绑绑法法”（先先捆捆后后松松）例6.七个家庭一起外出
12、旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有 种方法，所以共有： （种）排法。（三）不邻问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？插插 空空 法法小小结结三三：对于不不相相邻邻问题，常用“插空法插空法”（特殊元素特殊元素后后考虑考虑）变式、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，四
13、个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？不同的排法共有：（种）相间问题1.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成两排两排照相留念。（2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？AB解：A，B两小孩的站法有： （种），其余人的站法有 （种），所以共有 （种） 排法。引申练习引申练习解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开 ，如图表示没有命中，_命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25=54=20种排法2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少？ 3. .一排
14、一排8 8个座位，个座位，3 3人去坐，每人两边至少有一人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？个空座的坐法有多少种？4、一排长椅上共有、一排长椅上共有10个座位，现有个座位，现有4人就座，人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答）。（用数字作答）480解法二：可以画一个树状图，知满足要求的拿法 有9种（四)其他问题同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法一：第一步第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有3种，第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第三步、第四步各有一种
15、拿法，由乘法原理共有3311=91.四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法七个人排一列，三个女生任何两个都不能相邻排在一起七个人排一列，四个男生必须连排在一起男女生相间排列 巩固练习 男女男女男女男 共有A44 A35=144插空法：先排四个男生共有插空法：先排四个男生共有A A4 44 4种排法种排法_X_X_X_X _X_X_X_X _ 在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有A A3 35 5种排法种排法由乘法原理解共有由乘法原理解共有A A4 44 4 A A3 35 5=1440=1440捆绑法：四个男生看作一个元素和三个
16、女生共四个元素捆绑法：四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素有有A A4 44 4种排法种排法, ,四个男生全排列有四个男生全排列有A A4 44 4 种排法种排法由乘法原理共有由乘法原理共有A A4 44 4 A A4 44 4=576=5762. 7人排成一排，人排成一排，（1）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：将甲、乙两同学“捆捆绑绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学
17、“松松绑绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A52 A44 A22 960种方法（2）甲甲、乙乙两两同同学学必必须须相相邻邻，而而且且丙丙不不能能站站在在排排头头和和排尾的排法有多少种？排尾的排法有多少种？ 一共有A55A33 720种3：三三名名女女生生和和五五名名男男生生排排成成一排，一排，如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生全分开，有多少种不同排法？如果两端都都不不能能排女生，有多少种不同排法？如果两端不不能能都都排女生，有多少种不同排法？A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66=36000或A
18、88- A32 A66=36000某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）； 某些元素要求必必须须相相邻邻时，可以先将这些元素看看作作一一个个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法”； 某些元素不不相相邻邻排列时，可以先先排排其其他他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”。 有特特殊殊元元素素或或特特殊殊位位置置的排列问题，通常是先先排排特特殊殊元元素素或或特特殊殊位位置置，称为优优先先处处理理特特殊殊元元素素（位位置置）法法“优优限法限法”； 2基本的解题方法解题方法： 1对有约束条件的排列问题约束条件的排列问题，应注意如下类型： 小结：小结：
