一、复数项无穷级数二、复变函数项级数第一节第一节 幂级数幂级数三、小结1复数列及其极限2复数项级数的概念及其收敛性的判定1复数函数项级数的概念2幂级数及其收敛性1 一、复数列的极限一、复数列的极限2 此定理说明此定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.3 下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.而而解解 例例1 14 解解 所以数列发散所以数列发散.5 二、复数项二、复数项( (无穷无穷) )级数的概念级数的概念表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和6 收敛与发散收敛与发散说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:7 8 定理定理2说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理2)9 解解所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习10 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:11 不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.12 3. 3. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理定理3条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，13 证证由于由于而而根据实数项正项级数的比较审敛法根据实数项正项级数的比较审敛法, 知知由定理由定理2可得可得[证毕证毕]（实数项）（实数项）正项级数正项级数14 说明说明所以，由正项级数的比较审敛法知15 都收敛都收敛, 故原级数收敛故原级数收敛. 但是级数但是级数条件收敛条件收敛, 所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的是条件收敛的.解解 因为因为例例2 2 (1) (1)级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛? ? (2) (2) 级数级数 是否绝对收敛呢是否绝对收敛呢? 16 例例3 3故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解17 为复变函数项级数为复变函数项级数. . 为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和. .设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变函数列, 称称三、复变函数项级数三、复变函数项级数18 S(z) 称称为该级数在区域为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛, 即即 则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛, 且且 是级数的和是级数的和. 如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛, 则称其在则称其在 区域区域D内收敛内收敛. 此时级数的和是此时级数的和是D内的函数内的函数2. 2. 收敛概念及和函数收敛概念及和函数19 这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.或或 的特殊情形的特殊情形函数项级数函数项级数三、幂级数三、幂级数20 定理定理4 (Abel定理定理) 若级数 若级数 在在 处收敛，则当处收敛，则当 时时, 级数级数 绝对收敛绝对收敛; 若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时, 级数级数 发散发散. 2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性21 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1) 级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.(2) 级数仅在级数仅在 z=0 (即原点处即原点处)收敛，除原点外处收敛，除原点外处处发散处发散.(3) 在复平面内既存在使级数发散的点在复平面内既存在使级数发散的点, 也存在也存在使级数收敛的点。
使级数收敛的点由由 , 幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:22 ..收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域...设设 时时, 级数收敛级数收敛; 时时, 级数发散级数发散. 如图如图:23 幂级数幂级数的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别分别规定为规定为论比较复杂论比较复杂, 没有一般的结论没有一般的结论, 要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.24 收敛半径的求法收敛半径的求法设级数设级数 (比值法比值法) 如果如果则收敛半径则收敛半径 (根值法根值法) 如果如果则收敛半径则收敛半径 当当 时时, 收敛半径收敛半径 当当 时时, 收敛半径收敛半径 25 解解级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.绝对收敛绝对收敛, 且有且有在在 内内, 级数级数例例4 4 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.所以收敛半径所以收敛半径26 例例5 求下列幂级数的收敛半径： 求下列幂级数的收敛半径： (1)(2)27 由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质：可得出下面几个性质： (1) 设级数设级数 和和 的收敛半径分别的收敛半径分别为为 和和 则在则在 内内, 3.3.幂级数的性质幂级数的性质28 (2) 幂级数幂级数 的和函数的和函数在收敛圆在收敛圆 内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。
求导和逐项积分29 (3) 设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.如果在如果在 内内, 函数函数 解析解析, 并且并且则当则当 时时,30 例例6 6 求求 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解 因为因为 所以所以当当 时时,又因为又因为 从而从而,31 例例7 7 把函数把函数 表示成形如表示成形如的幂级数的幂级数, 其中其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数 .代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:32 当当 即即 时时,所以所以33 三、小结三、小结1.1.复数项无穷级数复数项无穷级数34 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.复级数的绝对收敛与条件收敛如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛35 方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法收敛半径的求法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径2.2.幂级数幂级数36 幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质37 。