《2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章圆与方程第四章圆与方程本章概览本章概览一、地位作用一、地位作用解析几何是几何学的一个分支解析几何是几何学的一个分支, ,是通过坐标法是通过坐标法, ,运用代数工具研究几何问运用代数工具研究几何问题的一门学科题的一门学科, ,它把数学的两个基本对象它把数学的两个基本对象形与数有机地联系起来形与数有机地联系起来, ,一一方面方面, ,几何概念可用代数表示几何概念可用代数表示, ,几何目标可通过代数方法达到几何目标可通过代数方法达到; ;另一方面另一方面, ,又可给代数语言以几何的解释又可给代数语言以几何的解释, ,使代数语言更直观、更形象地表达出来使代数语言更直观、更形象地表达出来, ,这对
2、人们发现新结论具有重要的意义这对人们发现新结论具有重要的意义, ,近代数学的发展近代数学的发展, ,在很大程度上应在很大程度上应该归功于解析几何该归功于解析几何. .本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程, ,运用代数方法研究它运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系们的几何性质及其相互关系, ,体会数形结合思想体会数形结合思想, ,初步培养用代数方程解初步培养用代数方程解决几何问题的能力决几何问题的能力, ,为以后选修圆锥曲线打下基础为以后选修圆锥曲线打下基础. .二、内容标准二、内容标准1.1.圆与方程圆与方程(1)(1)掌握确定圆的几何
3、要素掌握确定圆的几何要素, ,掌握圆的标准方程与一般方程掌握圆的标准方程与一般方程. .(2)(2)能根据给定直线、圆的方程能根据给定直线、圆的方程, ,判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系; ;能根据给定两能根据给定两个圆的方程个圆的方程, ,判断两圆的位置关系判断两圆的位置关系. .(3)(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. .(4)(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想. .2.2.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)(1)了解空间直角坐标系了解空间直角坐标系, ,会用空间直角坐标表示点的位置会用空
4、间直角坐标表示点的位置. .(2)(2)会推导空间两点间的距离公式会推导空间两点间的距离公式. .本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程. .难点是坐标法难点是坐标法的应用的应用. .坐标法是研究解析几何的基本方法坐标法是研究解析几何的基本方法, ,由曲线求方程和由方程研究由曲线求方程和由方程研究曲线是解析几何的基本问题曲线是解析几何的基本问题, ,应注意展现过程应注意展现过程, ,揭示思想方法揭示思想方法, ,强调学生的强调学生的感受和体验感受和体验. .在活动中逐步提高认识和加深理解在活动中逐步提高认识和加深理解. .三、核心素
5、养三、核心素养在学习过程中在学习过程中, ,学生体会几何问题代数化学生体会几何问题代数化, ,用代数语言描述几何要素及其用代数语言描述几何要素及其关系关系, ,进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题、分析代数结果的进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题、分析代数结果的几何意义几何意义, ,最终解决几何问题最终解决几何问题, ,不断体会不断体会“数形结合数形结合”的思想方法的思想方法, ,对学生对学生达成直观想象达成直观想象, ,数学运算对数学核心素养大有帮助数学运算对数学核心素养大有帮助. . 4.1 4.1圆的方程圆的方程 4.1.14.1.1圆的标准方程圆的标准方程目标导航目标导航
6、课标要求课标要求1.1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征特征. .2.2.能根据所给条件求圆的标准方程能根据所给条件求圆的标准方程. .3.3.会判断点与圆的位置关系会判断点与圆的位置关系. .素养达成素养达成通过圆的标准方程的学习通过圆的标准方程的学习, ,促进学生的数形结合思想促进学生的数形结合思想方法的养成方法的养成, ,帮助数学抽象、数学运算等核心素养的帮助数学抽象、数学运算等核心素养的达成达成. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情境导学知识探究知识探究圆的标准方程圆
7、的标准方程(1)(1)以以C(a,bC(a,b) )为圆心为圆心, ,r(rr(r0)0)为半径的圆的标准方程为为半径的圆的标准方程为 . .(2)(2)以原点为圆心以原点为圆心,r,r为半径的圆的标准方程为为半径的圆的标准方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. .(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2探究探究: :若圆的标准方程为若圆的标准方程为(x+m)(x+m)2 2+(y+n)+(y+n)2 2=a=a2 2(a0),(a0),此圆的半径一定是此圆的半径一定是a a吗吗? ?圆圆心坐标是心坐标是(m,n)(m,n)吗吗? ?答案答案: :圆的半
8、径不一定是圆的半径不一定是a,a,当当a0a0时时, ,半径是半径是a;a;当当a0a0时时, ,半径是半径是-a.-a.圆心坐标圆心坐标不是不是(m,n),(m,n),应是应是(-m,-n),(-m,-n),因为因为(x+m)(x+m)2 2+(y+n)+(y+n)2 2=a=a2 2化为标准形式是化为标准形式是x-(-m)x-(-m)2 2+y-(-n)+y-(-n)2 2=|a|=|a|2 2. .自我检测自我检测1.1.( (圆的标准方程圆的标准方程) )已知点已知点A(-4,-3),B(2,7),A(-4,-3),B(2,7),则以线段则以线段ABAB为直径的圆的方程为直径的圆的方程
9、是是( ( ) )(A)(x+1)(A)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=136=136(B)(x-1)(B)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=34=34(C)(x+1)(C)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=34=34(D)(x-1)(D)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=136=136C C2.2.( (点与圆的位置关系点与圆的位置关系) )若点若点A(a,a-1)A(a,a-1)在圆在圆(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=2=2的外部的外部, ,则实数则实数a a的的取值范围是取值范围是( ( ) )(A)(2
10、,4)(A)(2,4)(B)(-,2)(B)(-,2)(C)(4,+)(C)(4,+) (D)(-,2)(4,+)(D)(-,2)(4,+)D D3.3.( (圆的标准方程圆的标准方程) )圆心为圆心为(1,1)(1,1)且过原点的圆的方程是且过原点的圆的方程是( ( ) )(A)(x-1)(A)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1(B)(x+1)(B)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1(C)(x+1)(C)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2=2(D)(x-1)(D)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2D D4.4.( (
11、点与圆的位置关系点与圆的位置关系) )已知圆的方程是已知圆的方程是(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4,=4,则点则点P(3,2)(P(3,2)( ) )(A)(A)是圆心是圆心(B)(B)在圆上在圆上(C)(C)在圆内在圆内(D)(D)在圆外在圆外C C5.5.( (圆的标准方程圆的标准方程) )与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=16=16同心同心, ,且过点且过点P(-1,1)P(-1,1)的圆的方程是的圆的方程是. .答案答案: :(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25=25题型一题型一 点与圆的位置关系点与
12、圆的位置关系课堂探究课堂探究素养提升素养提升【思考思考】1.1.在平面几何中在平面几何中, ,点与圆有哪几种位置关系点与圆有哪几种位置关系? ?提示提示: :在圆内在圆内, ,在圆上在圆上, ,在圆外在圆外. .2.2.在平面几何中在平面几何中, ,如何确定点与圆的位置关系如何确定点与圆的位置关系? ?提示提示: :利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断. .3.3.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,已知点已知点M(xM(x0 0,y,y0 0) )和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,如何
13、判断点如何判断点M M在圆外、圆上、圆内在圆外、圆上、圆内. .提示提示: :当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2时时, ,点点M M在圆上在圆上; ;当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rrr2 2时时, ,点点M M在圆外在圆外. .【例例1 1】 写出圆心为写出圆心为A(2,-3),A(2,-3),半径等于半径等于5 5的圆的标准方程的圆的标准方程, ,并判断点并判断点M M1 1(5,-(5,-7),M7),M2 2(4,-1),M(4,-1),M3 3(6,1)(6,1)与圆的位置关系与圆的位置关系
14、. .解解: :圆心为圆心为A(2,-3)A(2,-3)半径等于半径等于5 5的圆的标准方程为的圆的标准方程为(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25.=25.把点把点M M1 1(5,-7)(5,-7)代入圆的方程得代入圆的方程得(5-2)(5-2)2 2+(-7+3)+(-7+3)2 2=25,=25,所以点所以点M M1 1在圆上在圆上; ;把点把点M M2 2(4,-1)(4,-1)代入圆的方程得代入圆的方程得(4-2)(4-2)2 2+(-1+3)+(-1+3)2 225,25,25,所以点所以点M M3 3在圆外在圆外. .方法技巧方法技巧 判断点与圆的位置关
15、系有两种方法判断点与圆的位置关系有两种方法(1)(1)几何法几何法: :计算点与圆心的距离与半径的大小关系计算点与圆心的距离与半径的大小关系; ;(2)(2)代代数数法法: :将将点点的的坐坐标标代代入入圆圆的的方方程程, ,判判断断式式子子两两边边的的大大小小关关系系, ,并并得得出出 结论结论. .即时训练即时训练1 1- -1:1:若点若点(1,1)(1,1)在圆在圆(x-a)(x-a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部的内部, ,则则a a的取值范围是的取值范围是( () )(A)(-1,1) (A)(-1,1) (B)(0,1)(B)(0,1)(C)(-,-1)(1,
16、+)(C)(-,-1)(1,+)(D)a=1(D)a=1解析解析: :若点若点(1,1)(1,1)在圆的内部在圆的内部, ,则则(1-a)(1-a)2 2+(1+a)+(1+a)2 24,4,化简得化简得a a2 21,1,因此因此-1a1.-1a1.故选故选A.A.【备用例【备用例1 1】 已知已知A(-1,4),B(5,-4).A(-1,4),B(5,-4).求以求以ABAB为直径的圆的标准方程为直径的圆的标准方程, ,并判并判断断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系与圆的位置关系. .题型二题型二 求圆的标准方程求圆的标准
17、方程【思考思考】1.1.确定圆的标准方程的条件是什么确定圆的标准方程的条件是什么? ?提示提示: :圆心坐标和半径圆心坐标和半径, ,其中圆心是圆的定位条件其中圆心是圆的定位条件, ,半径是圆的定量条件半径是圆的定量条件. .2.2.方程方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2一定表示圆吗一定表示圆吗? ?提示提示: :不一定不一定. .当当m=0m=0时表示点时表示点( (a,ba,b),),当当m0m0时表示圆时表示圆. .【例【例2 2】 (12 (12分分) )已知已知ABCABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C
18、(-3,-A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),4),求该三角形的外接圆的方程求该三角形的外接圆的方程. .方法技巧方法技巧 一一般地般地, ,不在同一条直线上的三点可以确定一个圆不在同一条直线上的三点可以确定一个圆; ;三角形有三角形有唯一的外接圆唯一的外接圆, ,圆心为三角形三边垂直平分线的交点圆心为三角形三边垂直平分线的交点; ;已知圆心所在的直线已知圆心所在的直线及圆上两点及圆上两点, ,则两点连线则两点连线( (圆的弦圆的弦) )的垂直平分线与圆心所在直线的交点为的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心圆心. .求圆的标准方程求圆的标准方程, ,关键是确定圆心坐标和半径关键是
19、确定圆心坐标和半径. .即即时时训训练练2 2- -1:1:已已知知圆圆M M与与直直线线3x-4y=03x-4y=0及及3x-4y+10=03x-4y+10=0都都相相切切, ,圆圆心心在在直直线线y= y= - -x-4x-4上上, ,则圆则圆M M的方程为的方程为( () )(A)(x+3)(A)(x+3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1(B)(x-3)(B)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1(C)(x+3)(C)(x+3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1(D)(x-3)(D)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1【备用例备用例
20、2 2】 圆心在直线圆心在直线y y=-4x=-4x上上, ,并且与直线并且与直线l:x+y-1=0l:x+y-1=0相切于点相切于点P(3,-2)P(3,-2)的圆的方程为的圆的方程为. .答案答案: :(x-1)(x-1)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=8=8题型三题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【例例3 3】 已知圆心在已知圆心在x x轴上的圆轴上的圆C C与与x x轴交于两点轴交于两点A(1,0),B(5,0).A(1,0),B(5,0).(1)(1)求此圆的标准方程求此圆的标准方程; ;解解: :(1)(1)由题意由题意, ,结合图结合图(1)(1)可知圆心为可知圆
21、心为(3,0),r=2,(3,0),r=2,所以圆所以圆C C的标准方程为的标准方程为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4.=4.(2)(2)设设P(x,y)P(x,y)为圆为圆C C上任意一点上任意一点, ,求点求点P(x,y)P(x,y)到直线到直线x-y+1=0x-y+1=0的距离的最大值和的距离的最大值和最小值最小值. .方法技巧方法技巧 一般地一般地, ,求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题, ,常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决, ,充分体现了转化与化归的充分体现了转化与化归的数学思想数学思想. .即时训练即时训练3 3- -1:1:已知已知M M为圆为圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-14y+45=0-4x-14y+45=0上任意一点上任意一点, ,且点且点Q(-2,3).Q(-2,3).(1)(1)求求|MQ|MQ|的最大值和最小值的最大值和最小值; ;(2)(2)圆圆x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=4=4上的点到直线上的点到直线l:x+y=1l:x+y=1的距离的最大值为的距离的最大值为, ,最小值最小值为为. .
