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1、1第三章第三章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS主要内容：主要内容： .周期信号的频域分析周期信号的频域分析 .傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质 .LTI.LTI系统的频域分析系统的频域分析2 3.0 3.0 引言引言 IntroductionIntroduction v时域分析方法的基础时域分析方法的基础 ： 1)1)信号在时域的分解信号在时域的分解 2)2)LTILTI系统满足线性、时不变性系统满足线性、时不变性 v从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两从分解信号的角度出
2、发，基本信号单元必须满足两个要求个要求： 1)1)本身简单，以便本身简单，以便LTILTI系统对它的响应简便得到系统对它的响应简便得到 2)2)具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号 3 本章将找到另一种满足上述要求的本章将找到另一种满足上述要求的基本信号单元基本信号单元-复指数信号复指数信号 , LTI, LTI系统对复指数信号的响应是十分简单。系统对复指数信号的响应是十分简单。4傅里叶生平傅里叶生平1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何任何周期信号都可用正弦周期信号都可用正弦函数级数表示函数级数表示”1829年狄里赫利第年狄里赫利第一个
3、给出收敛条件一个给出收敛条件拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表1822年首次发表年首次发表“热的分析理论热的分析理论”5傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和正弦信号的加权和”傅里叶的第傅里叶的第一个主要论点一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点63.2 LTI3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to The Response of L
4、TI Systems to Complex ExponentialsComplex Exponentials 一个一个LTILTI系统对复指数信号的响应也是系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即：上的变化，即：7特征函数：特征函数： 如果如果系统对某一信号的响应只是该信系统对某一信号的响应只是该信号乘以一个常数号乘以一个常数，则则称该信号是这个称该信号是这个系统系统的特征函数的特征函数。系统对。系统对该信号加权的常数该信号加权的常数称称为系统与特征函数相对应的为系统与特征函数相对应的特征值特征值。 证明：证明：复指数（复指
5、数（est、zn）是）是LTI系统的特征函数。系统的特征函数。8例例例例: : : :对单位冲激响应对单位冲激响应对单位冲激响应对单位冲激响应 的的的的LTILTILTILTI系统，其特征函数，系统，其特征函数，系统，其特征函数，系统，其特征函数， 相应的特征值是什么相应的特征值是什么相应的特征值是什么相应的特征值是什么? ? ? ? 例例例例: : : :如果一个如果一个如果一个如果一个LTILTILTILTI系统的单位冲激响应为，系统的单位冲激响应为，系统的单位冲激响应为，系统的单位冲激响应为， 找出一个信号，该信号不具有找出一个信号，该信号不具有找出一个信号，该信号不具有找出一个信号，该
6、信号不具有 的形式，但却是的形式，但却是的形式，但却是的形式，但却是 该系统的特征函数，且特征值为该系统的特征函数，且特征值为该系统的特征函数，且特征值为该系统的特征函数，且特征值为1 1 1 1。补充例题：补充例题：补充例题：补充例题：9 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTILTI系统的系统的特征函数。同时特征函数。同时: : 分别是分别是LTILTI系统与复指数信号相对应的系统与复指数信号相对应的特征特征值值。只有只有复指数函数才能成为一切复指数函数才能成为一切LTILTI系统系统的特征函数。的特征函数。例题例题例题例题3.13.13.13.110只需求出系统的特征值 ,即可求出的
7、输出。例3.1 已知系统的输入输出关系为！时，系统的输出 。，求：，求：分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据时，系统的输出 ;解：解：又11不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将其分解为特征函数的线性组合：以上4个特征函数的输出用 步的方法求出，分别为：由叠加原理1213同理同理：则：则：14综上：综上：对于连续时间和离散时间来说，如对于连续时间和离散时间来说，如果一个果一个LTILTI系统的输入能够系统的输入能够表示成复指数的表示成复指数的线性组合线性组合，那么，那么系统的输出也能够表示成系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合相同复指数信号的线性组合；并且在输出；并且在输出表
8、示式中每一个系数可以用输入中表示式中每一个系数可以用输入中相应的相应的系数系数 分别与特征函数分别与特征函数 或或 有关有关的系统特征值的系统特征值 或或 相乘来求相乘来求得。得。15其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，为周期的，公共周期为公共周期为 ，且该集合中所有，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。信号都是各不相同彼此独立的。3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示 Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals一一 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数成谐
9、波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: : 其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，为周期的，公共周期为公共周期为 ，且该集合中所有，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。信号都是各不相同彼此独立的。其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，为周期的，公共周期为公共周期为 ，且该集合中所有，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。信号都是各不相同彼此独立的。16如果将该信号集中的所有信号如果将该信号集中的所有信号如果将该信号集中的所有信号如果将该信号集中的所有信号线性组合线性组合线性组合线性组合起来起来起来起来， 它也是以它也是以 ?为周期为周期该级数就是该级数就是
10、傅里叶级数傅里叶级数，这，这表明表明用傅里叶级数用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。即可以表示连续时间周期信号。即: : 连续时间周连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量期信号可以分解成无数多个谐波分量。 17图形见下页1819二二 频谱的概念频谱的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）分量） 间的区别也仅仅是间的区别也仅仅是幅度幅度（可以是复数）（可以是复数）和和频率频率不同。因此，可以用不同。因此，可以用一根线段来表示一根线段来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。率。 一根线段一根线段某个分量的
11、幅度某个分量的幅度线段的位置线段的位置相应的频率相应的频率代表代表代表代表即：即：2021因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，22232425傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式26四四 连续时间傅里叶级数的系数确定连续时间傅里叶级数的系数确定 27在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：282930解：方法一：直接利
12、用公式进行求解解：方法一：直接利用公式进行求解方法二：方法二：31解：解：的幅度和相位图如下图所示：的幅度和相位图如下图所示：3233五、周期性矩形脉冲信号的频谱（例五、周期性矩形脉冲信号的频谱（例3.53.5）Sample FunctionSample Function其频谱系数为：K K不等于不等于0 0其中为抽样函数抽样函数抽样函数的性质抽样函数的性质: :l谱线为离散的（谐波性），在 时取值， 脉冲周期越大，谱线间隔 越小，越密；l各点频谱大小与脉宽 成正比，与周期 成反比；l频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为l主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:1. 1. 矩形脉冲频谱
13、分析矩形脉冲频谱分析 1 1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度 不变，周期不变，周期 增增 大时，具体看频谱如何变化？大时，具体看频谱如何变化？2. 2. 矩形脉冲谱线随参数的变化矩形脉冲谱线随参数的变化为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应2 2） 设矩形脉冲的高度不变，周期设矩形脉冲的高度不变，周期 不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 减小时，观察频谱变化情况减小时，观察频谱变化情况T1为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应谱线
14、间隔 变小幅度下降频谱包络形状不变，0点频率不变主瓣内包含的谐波分量数增加谱线间隔不变幅度下降频谱的包络改变，0点频率变化主瓣内包含的谐波数量也增加不变不变不变不变3 3）谱线随参数变化的结论：）谱线随参数变化的结论：41周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散性离散性 2. 2. 谐波性谐波性 3. 3. 收敛性收敛性 (1)(1)离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。(2)(2)谐波性谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频谱线在频谱轴上的位置是基频
15、的整数的整数倍。倍。(3)(3)收敛性收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小小4243443.43.4连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 Convergence of the Fourier series 这一节来研究用傅氏级数表示周期信这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。信号可以表示为傅里叶级数。一一 、傅里叶级数是对信号的最佳近似、傅里叶级数是对信号的最佳
16、近似4546结论结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。即即 是是 中的傅里叶级数中截取一部分，中的傅里叶级数中截取一部分，当当N越大越大EN越小，越小，N趋于无穷时，能量误差趋于无穷时，能量误差EN为为零。零。474849 这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足级数收敛的充分
17、条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。期信号具有相当的普遍适用性。期信号具有相当的普遍适用性。期信号具有相当的普遍适用性。5051三三、吉伯斯（、吉伯斯（GibbsGibbs）现象）现象 满足满足DirichletDirichlet条件的信号，其傅里叶级条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于数是如何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于于 。525
18、35455GibbsGibbs现象表明：现象表明：用有限项傅氏级数表示有用有限项傅氏级数表示有 间断点的信号时，在间断点附近会不可避免间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现的出现振荡和超量振荡和超量。超量的幅度不会随项数。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有的能量减少。的能量减少。56P179179作业：作业：9 9月月月月1313日日日日3.4 3.24573.53.5连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里
19、叶级数的性质 Properties of Continuous-Time Fourier SeriesProperties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号的展开号的展开. .5859推论：推论：60 傅里叶级数的系数没变，傅里叶级数的系数没变，但是函数的基波频率但是函数的基波频率却发生了变化却发生了变化，所以整个傅里叶级数还是变化了。，所以整个傅里叶级数还是变化了。6162六六. .共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性七七. .帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（PassivalPassival ）
20、定理）定理说明：说明：一个周期信号的平均总功率一个周期信号的平均总功率就就等于等于它的全它的全部谐波分量的平均功率之和部谐波分量的平均功率之和v掌握表掌握表3.1636465例例1：-T1T010-TT例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其微分后可利用例将其微分后可利用例1表示为表示为（不记直流分量）（不记直流分量）6610设设由时域由时域微分性质微分性质有有由例由例1知知根据根据时移时移和和线性线性特性，有特性，有67P180P180作业作业2011.09.152011.09.153.8683.63.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里
21、叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 Fourier Series Representation of Discrete-Time Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic SignalsPeriodic Signals成谐波关系的复指数信号集可表示为：对离散时间复指数信号若离散时间信号周期为N，则有一一. .成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号的线性组合，其中 易知，成谐波关系的易知，成谐波关系的离散时间复指数信号离散时间复指数信号集中，每一集中，每一个信号都以个信号都以N为周期，为周期，且在该信号
22、集中只有且在该信号集中只有N信号个是互信号个是互不相同彼此独立的，为什么？不相同彼此独立的，为什么？69 将这将这N N个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以示一个以N N为周期为周期的序列。即：的序列。即： 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数DFS也称为周期信号也称为周期信号 的的频谱频谱70补充内容：补充内容：Sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q1)二二 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定71 由由 两边两边 同乘以同乘以 得得 显然显然 仍是以仍是以 N N 为周期的为周期的 72 当当r r的选取范围和
23、的选取范围和k k一样时一样时, ,只有只有r=kr=k时时因为因为73 显然上式满足显然上式满足 即即 也是以也是以N N 为为周期的周期的, ,或者说或者说 中只有中只有 N N 个是独立的个是独立的例题例题讨论：讨论：离散时间傅里叶级数表示式，就是一个离散时间傅里叶级数表示式，就是一个N N项的有限级数；项的有限级数；而连续时间信号的傅里叶级数表示式，是一个无限项的级数。而连续时间信号的傅里叶级数表示式，是一个无限项的级数。74.三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱1. 例：例： 求图示方波的傅里叶系数。求图示方波的傅里叶系数。解：解：用傅里叶系数的求解公式用傅里叶系数的求
24、解公式求和项数仍然求和项数仍然是周期间隔，是周期间隔，即即2N1项项整理得，系数整理得，系数由欧拉公式由欧拉公式所以所以显然，离散方波序列的频谱包络具有显然，离散方波序列的频谱包络具有 的形状。的形状。1）当）当 不变、不变、 时时谱线间隔变小谱线间隔变小1.周期离散信号频谱具有：离散性、谐波性、周期性周期离散信号频谱具有：离散性、谐波性、周期性（与连续时间不同）（与连续时间不同）2.周期序列频谱，随参数变化而改变周期序列频谱，随参数变化而改变频谱的包络形状不变，变量频谱的包络形状不变，变量 不变不变幅度减小幅度减小,所以谱线密度增大所以谱线密度增大2）当）当 不变、不变、 时时谱线间隔不变谱
25、线间隔不变频谱的包络变化，频谱的包络变化， 变小，第一变小，第一0点远离原点，从而从而使频谱主瓣变宽点远离原点，从而从而使频谱主瓣变宽幅度不变幅度不变79四四 DFSDFS的收敛的收敛 DFS DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系式也是的关系式也是有限项的和式有限项的和式，因而不存在，因而不存在收敛问题，也不会产生收敛问题，也不会产生GibbsGibbs现象现象。802.2.2.2.差分差分差分差分 周期卷积周期卷积周期卷积周期卷积Properties of Discrete-Time Fourier SeriesProperties of Discrete-Tim
26、e Fourier Series 3.7 DFS3.7 DFS的性质的性质1.1.1.1.相乘相乘相乘相乘813.Passival3.Passival定理定理左边是左边是xnxn 在一个周期内的平均功率在一个周期内的平均功率, ,右边的右边的 是是xnxn 的第的第k k次谐波的平均功率次谐波的平均功率. .上式表明：上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的一个周期信号的平均功率等于它的 所有的谐波分量的所有的谐波分量的平均功率之和平均功率之和. .828384例例3.13： xn是周期的，周期是周期的，周期N=6. 在满足上述三个条件的所有信号中，在满足上述三个条件的所有信号中，xn具有每个
27、周具有每个周 期内最小的功率。期内最小的功率。 求出满足上述条件的信号。求出满足上述条件的信号。例例3.14：关于某一序列给出如下的条件关于某一序列给出如下的条件分析：分析：由离散信号的傅里叶级数表达式由离散信号的傅里叶级数表达式信号可以由周期和傅里叶系数决定，周期为已知，因此只需信号可以由周期和傅里叶系数决定，周期为已知，因此只需求出系数即可。求出系数即可。解：解：由由N6，所以由傅里叶系数公式，所以由傅里叶系数公式由已知条件由已知条件由已知条件由已知条件-10 1 2 根据帕斯瓦尔定理，信号一个周期的平均功率等于它所有谐波分量的平均功率之和：已知，所以要使平均功率最小，须使连续时间：连续时
28、间： 离散时间：离散时间： 在在 3.2节，我们知道复指数信号是节，我们知道复指数信号是LTI系统的特征函数系统的特征函数其中对应特征值其中对应特征值3.8 3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTILTI系统系统系统的频率响应系统的频率响应Fourier Series and LTI SystemFourier Series and LTI SystemFourier Series and LTI SystemFourier Series and LTI System当当s和和z为一般的复数时，称为一般的复数时，称 、 为系统的为系统的系统函数。系统函数。1.令令定义：连续时间定义：连续时间LT
29、I系系统的频率响应（自变量统的频率响应（自变量为频率）。为频率）。2.令令定义：离散时间定义：离散时间LTI系统的频率响应。系统的频率响应。随随 以以 为周期变化为周期变化3. 对对LTI系统的特征函数系统的特征函数及及LTI系统的线性性质：系统的线性性质：同理，对于用傅里叶级数表示的连续时间信号同理，对于用傅里叶级数表示的连续时间信号 ，对应有：，对应有：表明：表明： LTI系统对周期信号的响应仍为一个周期信号，系统对周期信号的响应仍为一个周期信号，LTI系系统的作用是对统的作用是对各个频点的信号进行不同的加权处理各个频点的信号进行不同的加权处理。91例例3.16 已知已知解：解：所以：所以
30、：即有：即有：92求输出求输出yn解：解：所以：所以：933.9 3.9 滤波器滤波器Filter一一. . 滤波滤波 通过系统通过系统改变改变信号中信号中各频率分量的相对大小各频率分量的相对大小 和相位和相位，甚至，甚至完全去除完全去除某些频率分量某些频率分量的过程称为的过程称为 滤波。滤波。滤波器可分为两大类：滤波器可分为两大类： 1.1.频率成形滤波器频率成形滤波器 （音响中的均衡电路）（音响中的均衡电路） 2.2.频率选择性滤波器频率选择性滤波器94微分滤波器：微分滤波器：在图像处理中用于边缘的增晰。在图像处理中用于边缘的增晰。9596二二二二. . . . 理想频率选择性滤波器的频率
31、特性理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。频段内频率响应等于零。理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的的通带（通带（pass band pass band ），），完全不允许信号通过的完全不允许信号通过的频段称为频段称为阻带（阻带（stop ba
32、ndstop band）。连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性带通低通高通带阻带通低通 高通- 带阻- - 离散时间滤波器类型：离散时间滤波器类型： 离散时间理想滤波器的特性，在离散时间理想滤波器的特性，在 到到 区间上，与相区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。应的连续时间滤波器特性完全相似。99 3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器用微分方程所描述的连续时间滤波器 Continuous-Time Filter Described by Continuous-Time Filter Described by Differential Equ
33、ationDifferential Equation一一. . 简单的简单的RCRC低通滤波器低通滤波器+R-+C-V(t) + - 输入输入 输出输出100 RC越大（越大（ 1/RC越小），越小）， 对应的频率对应的频率1/RC越越小，如果希望通过很低的一些频率，则需要小，如果希望通过很低的一些频率，则需要RC越大越好。越大越好。RC低通滤波器的单位冲激响应为：单位阶跃响应为： RC越大，说明阶跃响应要很长时间才能达到长期稳态值1，如果要有较快的阶跃响应，则需要RC越小越好。结论：结论： RC控制通频带宽度和响应时间在滤波器的频域特性和时域特性之间需要折衷。102二二. 简单的简单的RC高
34、通滤波器高通滤波器输入输入: 输出输出:+R-+C-V(t) + - ()tvr系统的频率响应系统的频率响应系统的阶跃响应系统的阶跃响应RC越大（越大（1/RC越小），越小）， 高通滤波的通带向更低频率的方向发展，高通滤波的通带向更低频率的方向发展，RC越小带宽越窄、越好。越小带宽越窄、越好。104 1/RC越大，说明阶跃响应变迟钝，如果要越大，说明阶跃响应变迟钝，如果要有较快的阶跃响应，则需要有较快的阶跃响应，则需要RC越大操作越好。越大操作越好。单位阶跃响应为：单位阶跃响应为：结论：结论： 根据实际需要，调整根据实际需要，调整RC来设计滤波器。来设计滤波器。 3.11 用差分方程描述的离散
35、时间滤波器Discrete-Time Filter Described by Difference Equation主要内容主要内容一阶递归离散时间滤波器一阶递归离散时间滤波器非递归离散时间滤波器非递归离散时间滤波器一一. .一阶递归离散时间滤波器一阶递归离散时间滤波器设输出为：若输入：设描述一阶滤波器的方程：则代入差分方程，可得：由差分方程，可求得系统的单位冲激响应和单位阶跃响应：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器1.上述方程表示的系统中，当 时是不稳定；注意：注意：参考P82系统稳定条件2. 在设计IIR系统时，要调整参数 ，使得到 的系统稳定性；3. 基于傅里叶方法和频域分析都是集
36、中在对复指 数具有有限响应的系统上。二二. .非递归离散时间滤波器非递归离散时间滤波器一个非递归差分方程的一般形式是：1. 低通滤波器低通滤波器这里以移动平均滤波器为例。 基本思想： 局部平均，输入中的快速变化的高频分量被平均掉，而低频变化部分得到保留，即对原始序列做平滑处理或低通滤波。 这种形式的系统，可以满足频率选择性滤波器的要求等。 三点移动平均滤波器中没有任何三点移动平均滤波器中没有任何参数可变化以调节有效的参数可变化以调节有效的截止频率。截止频率。 例如，例如，三点移动平均滤波系统：三点移动平均滤波系统：相应的单位冲激响应为：相应的频率响应是： 对一般化的平均滤波器，设其在N+M1个
37、相邻点上求平均值，表示为差分方程：相应的单位脉冲响应为：该滤波器的频率响应为： 通过调节M+N+1的大小，就可以改变截止频率的大小2. 非递归滤波器实现高通滤波非递归滤波器实现高通滤波 例如例如单位脉冲响应为：该滤波器的频率响应为：注意：注意： 因为任何因为任何FIR系统的单位脉冲响应都是有限长的，系统的单位脉冲响应都是有限长的，因此无论怎样选取系数因此无论怎样选取系数 ,它总是绝对可和的，所它总是绝对可和的，所以以全部这种类型的滤波器都是稳定的，这是全部这种类型的滤波器都是稳定的，这是FIR系统系统与与IIR系统的不同之处。系统的不同之处。1153.12 3.12 小结小结（SummaryS
38、ummary）复指数函数复指数函数是一切是一切LTILTI系统的特征函数系统的特征函数 建立建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解现了对周期信号的频域分解 以以周期性矩形脉冲信号周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连为典型例子，研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响点及信号参量改变对频谱的影响举例说明了连续时间滤波器和离散时间滤波器举例说明了连续时间滤波器和离散时间滤波器（FIRFIR滤波器以及滤波器以及IIRIIR滤波器）滤波器）116通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别大区别在对信号分析的基础上，研究了在对信号分析的基础上，研究了LTILTI系统的系统的频率响应及频率响应及LTILTI系统对周期信号的系统对周期信号的响应响应117P181181作业作业2011年年9月月20日日3.133.15
