模糊决策与分析方法模糊决策与分析方法主讲人主讲人天津大学管理学院天津大学管理学院杜杜 纲纲1. 目目录录一、模糊数学的基本知识一、模糊数学的基本知识一、模糊数学的基本知识一、模糊数学的基本知识1 1、模糊集及其隶属函数、模糊集及其隶属函数2 2、模糊集的分解定理与扩张原理、模糊集的分解定理与扩张原理3 3、模糊数、模糊数4 4、可能性分布与模糊概率、可能性分布与模糊概率二、模糊线性规划二、模糊线性规划二、模糊线性规划二、模糊线性规划1 1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划、约束不等式有宽容度的模糊线性规划2 2、系数是模糊数的模糊线性规划、系数是模糊数的模糊线性规划3 3、区间规划、区间规划2. 三、模糊线性回归三、模糊线性回归三、模糊线性回归三、模糊线性回归1 1、普通线性回归、普通线性回归2 2、模糊线性回归、模糊线性回归3 3、应用举例、应用举例四、模糊层次分析法四、模糊层次分析法四、模糊层次分析法四、模糊层次分析法(FAHP)(FAHP) 1 1、普通层次分析法、普通层次分析法(AHP)(AHP) 2 2、基于模糊（互补）一致矩阵的、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHPFAHP 3 3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHPFAHP 4 4、基于区间数判断矩阵的、基于区间数判断矩阵的FAHPFAHP3. 五、模糊统计决策五、模糊统计决策五、模糊统计决策五、模糊统计决策 1 1、普通统计决策（贝叶斯决策）、普通统计决策（贝叶斯决策） 2 2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）六、模糊矩阵对策六、模糊矩阵对策六、模糊矩阵对策六、模糊矩阵对策 1 1、普通矩阵对策、普通矩阵对策 2 2、模糊矩阵对策、模糊矩阵对策七、模糊数据包络分析七、模糊数据包络分析七、模糊数据包络分析七、模糊数据包络分析 1 1、普通、普通数据包络分析数据包络分析 2 2、模糊数据包络分析、模糊数据包络分析八、应用八、应用八、应用八、应用4. 第一节第一节模糊数学的基本知识模糊数学的基本知识5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 例例4:4:证明证明证明证明在区间在区间在区间在区间[8[8[8[8，，，，10]10]10]10]上没有根。
上没有根上没有根上没有根解：解：把把x x=[8=[8，，10]10]代入函数代入函数f f，可得：，可得： f f([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]-([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]-……=[1.5,23.9], 0……=[1.5,23.9], 0[1.5,23.9].[1.5,23.9].[1.5,23.9].[1.5,23.9].23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 对称的三角模糊数对称的三角模糊数31. 32. 33. x x1 12 23 34 45 56 67 78 8π π( (x x) )1 11 11 11 10.80.80.60.60.40.40.20.2P P( (x x) )0.10.10.80.80.10.10 00 00 00 00 034. x x1 12 23 34 45 56 6π π( (x x) )1 11 10.80.80.60.60.40.40.20.235. 36. 37. 第二节第二节模糊线性规划模糊线性规划38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 简单的情形：无等式和非正变量约束简单的情形：无等式和非正变量约束55. 如果模型是极小型、大于等于约束呢？如果模型是极小型、大于等于约束呢？56. 三、区间线性规划三、区间线性规划三、区间线性规划三、区间线性规划（（interval linear programminginterval linear programming，简称，简称IvLPIvLP））IvLPIvLP的一般模型：的一般模型：57. (1) (1) (1) (1) 方法一方法一方法一方法一( (不需要决策者参与不需要决策者参与) )思路：思路：与具有模糊系数的线性规划的截集区间规划求解与具有模糊系数的线性规划的截集区间规划求解相同相同, ,分别解相应于最大、小范围约束的确定规划问题。
分别解相应于最大、小范围约束的确定规划问题最大、小范围约束的几何解释最大、小范围约束的几何解释最大、小范围约束的几何解释最大、小范围约束的几何解释：：：：如如 [1,2]x[1,2]x1 1+ [1,4]x+ [1,4]x2 2≥[2,4]≥[2,4]其边界不等式：其边界不等式：其边界不等式：其边界不等式：1 x1 x1 1+ 1x+ 1x2 2≥2≥21 x1 x1 1+ 4x+ 4x2 2≥2≥22x2x1 1+ 1x+ 1x2 2≥2≥22 x2 x1 1+ 4x+ 4x2 2≥2≥21 x1 x1 1+ 1x+ 1x2 2≥4≥41 x1 x1 1+ 4x+ 4x2 2≥4≥42x2x1 1+ 1x+ 1x2 2≥4≥42 x2 x1 1+ 4x+ 4x2 2≥4≥41 x1 x1 1+ 1x+ 1x2 2≥4≥42 x2 x1 1+ 4x+ 4x2 2≥2≥2最大范围不最大范围不最大范围不最大范围不等式等式等式等式最小范围不最小范围不最小范围不最小范围不等式等式等式等式58. 方法：方法：方法：方法：确定最好最优值模型确定最好最优值模型确定最好最优值模型确定最好最优值模型最差最优值模型：最差最优值模型：最差最优值模型：最差最优值模型：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：IvLPIvLPIvLPIvLP的最优值为：的最优值为：的最优值为：的最优值为： , , , ,相应的解为最好和最差最优解。
相应的解为最好和最差最优解相应的解为最好和最差最优解相应的解为最好和最差最优解59. 例例例例12:12:12:12: 求解求解求解求解IvLPIvLPIvLPIvLP的最优值区间的最优值区间的最优值区间的最优值区间解解解解: : : : 分别建立该分别建立该分别建立该分别建立该IvLPIvLPIvLPIvLP的最好、最差模型：的最好、最差模型：的最好、最差模型：的最好、最差模型：分别求解两分别求解两分别求解两分别求解两LPLPLPLP，得，得，得，得IvLPIvLPIvLPIvLP的最优值区间为：的最优值区间为：的最优值区间为：的最优值区间为：[0.5,8][0.5,8][0.5,8][0.5,8]60. (2) (2) (2) (2) 方法二方法二方法二方法二( (需要决策者参与需要决策者参与) )思路：思路：思路：思路：基于区间数的序关系，将基于区间数的序关系，将基于区间数的序关系，将基于区间数的序关系，将IvLPIvLPIvLPIvLP化为一确定型化为一确定型化为一确定型化为一确定型LPLPLPLP并求解两个区间数两个区间数两个区间数两个区间数、、称称称称为为为为A≤BA≤B的满意度。
的满意度的满意度的满意度当决策者给定满意度当决策者给定满意度当决策者给定满意度当决策者给定满意度λ λ0 0 ，，，，IvLPIvLPIvLPIvLP中的约束中的约束中的约束中的约束为什么？为什么？为什么？为什么？61. 于是，于是，于是，于是，IvLPIvLPIvLPIvLP化为化为化为化为一个一个一个一个确定型确定型确定型确定型LPLPLPLP62. 例例例例13:13:13:13: 给定满意度给定满意度给定满意度给定满意度0.50.50.50.5，求解，求解，求解，求解IvLPIvLPIvLPIvLP解解解解: : : : 化为确定型化为确定型化为确定型化为确定型LPLPLPLP求解求解求解求解63. 64. 第三节第三节模糊线性回归模糊线性回归65. 二、模糊线性回归二、模糊线性回归模糊线性回归的两种类型模糊线性回归的两种类型模糊线性回归的两种类型模糊线性回归的两种类型n n可能性线性回归（可能性线性回归（FLRFLR）：）：属于经典的内容，属于经典的内容，19821982年由日本学者年由日本学者TanakaTanaka等提出其方法简单统等提出其方法简单统一，但与统计中的最小二乘法不相容。
一，但与统计中的最小二乘法不相容n n模糊最小二乘法模糊最小二乘法(LS)(LS)：：属于后来发展的内容，属于后来发展的内容，19871987年由年由DiamondDiamond提出其计算与统计中的最小提出其计算与统计中的最小二乘法相似，但由于需要定义模糊数之间的距离，二乘法相似，但由于需要定义模糊数之间的距离，因此形式多样不统一因此形式多样不统一66. 67. 68. 69. 70. 样本序号样本序号j jy yj jx xj1j1x xj2j2x xj3j3x xj4j4x xj5j51 16066061 138.0938.0936.4336.435 51 12 27107101 162.1062.1026.5026.506 61 1…………………………………………………………………………N N169916993 3120.5120.50 032.2532.256 63 371. 72. 73. 74. 75. 76. 三、应用举例：三、应用举例：模糊回归理论在QFD系统建模中的应用研究基于基于陈以增陈以增等的文章等的文章( (机械工程学报，机械工程学报，2003(4))2003(4))1.1.1.1.QFDQFD简介简介简介简介QFDQFD是质量功能展开（是质量功能展开（Quality Function Quality Function DeploymentDeployment）的缩写，由日本学者）的缩写，由日本学者Yoji Akao1966Yoji Akao1966年提出，年提出，19721972年首先在日本三菱重工神户造船厂年首先在日本三菱重工神户造船厂得到应用。
之后，丰田将该方法应用于汽车产品得到应用之后，丰田将该方法应用于汽车产品设计；设计；8080年代初，该方法传入美国，并被福特等年代初，该方法传入美国，并被福特等首先应用首先应用 QFDQFD最成功的应用领域是汽车制造业，最成功的应用领域是汽车制造业，其次也应用于建筑、航空、服务等领域其次也应用于建筑、航空、服务等领域77. QFD的定义：的定义：是一种结构化的产品计划与开发方法，以顾客需求为导向，确定产品的工程（技术）特征，根据对顾客的满意程度和竞争者能力的评价，制定每项工程特征的技术目标QFD的表现形式的表现形式————质量屋质量屋：由顾客需求(A)、竞争者评价(B)、产品工程特征(C)、工程特征与需求的关联关系(D)、工程特征的技术目标(E)、工程特征的内在关联关系(F)5个矩阵组合而成的产品设计框架78. 1 1A AB Bx x1 12 2x x2 23 39 9x x1+41+4x x2 2=9*B1+4*B2=9*B1+4*B24 44 4x x1+51+5x x2 2=4*B1+5*B2=4*B1+5*B25 53 3x x1+101+10x x2 2=3*B1+10*B=3*B1+10*B2 26 6z z=7*B1+12*B=7*B1+12*B2 2 在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到。
的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到79. 80. 第四节第四节模糊层次分析法模糊层次分析法(FAHP)一、普通层次分析法一、普通层次分析法一、普通层次分析法一、普通层次分析法(AHP)(AHP) 层次分析法层次分析法(The Analytic Hierarchy (The Analytic Hierarchy Process)Process)是是2020世纪世纪7070年代中期由美国匹兹堡大年代中期由美国匹兹堡大学教授学教授T.L.SaatyT.L.Saaty提出的一个多准则决策方法，提出的一个多准则决策方法，自提出以来，得到迅速普及和广泛应用自提出以来，得到迅速普及和广泛应用81. 82. 83. 84. 85. A A B B1 1 B B2 2 B B3 3 B B4 4B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4 1 3 4 4 1 3 4 41/3 1 1/2 31/3 1 1/2 31/4 2 1 1/21/4 2 1 1/21/4 1/3 2 11/4 1/3 2 186. C C层总层总排序排序 b b1 1 b b2 2 b b3 3 b b4 4 c c1111 c c1212 c c13 13 c c1414C C1 1C C2 2C C3 3 B B1 1 B B2 2 B B3 3 B B4 4 B B C C87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. B B1 1C C1 1C C2 2C C3 3X X- -X X+ +α α, ,β βWWC C1 1[1,1[1,1] ][1/7,1/5[1/7,1/5] ][1/3,1/2[1/3,1/2] ]0.1090.1094 40.0990.0993 3αα=0.9279=0.9279ββ=1.0691=1.0691[0.1015,[0.1015,0.1062]0.1062]C C2 2[5,7[5,7] ][1,1][1,1][2,4][2,4]0.6490.6498 80.6550.6557 7[0.6029,[0.6029,0.7010]0.7010]C C3 3[2,3[2,3] ][1/4,1/2[1/4,1/2] ][1,1][1,1]0.2400.2408 80.2450.2450 0[0.2235,[0.2235,0.2619]0.2619]105. 106. 107. 第五节第五节模糊统计决策模糊统计决策108. 模糊状态模糊状态 行动行动 F F1 1F F2 2A A1 1800800-300-300A A2 2500500200200109. θ θθ θ1 1θ θ2 2θ θ3 3θ θ4 4θ θ5 5θ θ6 6θ θ7 7θ θ8 8θ θ9 9θ θ10108008009009001001000 01101100 01201200 01301300 01401400 01501500 01601600 01701700 0μμF1(F1(θ θ) )0 00 00 00.20.20.40.40.60.60.80.81 11 11 1μμF2(F2(θ θ) )1 11 11 10.80.80.60.60.40.40.20.20 00 00 0P(P(θ θ) )0.050.05 0.050.050.10.10.10.10.20.20.20.20.10.10.10.10.050.05 0.050.05110. 信息源信息源 s ss s1 1s s2 2s s3 3s s4 4s s5 5s s6 6s s7 7s s8 8s s9 9s s1010s s1111s s1212s s1313s s1414500500600600700700800800900900100010001100110012001200130013001400140015001500160016001700170018001800μμM1M1( (s)s)0.20.20.40.40.60.60.80.81 11 1P(S|800)P(S|800)0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1P(S|900)P(S|900)0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1…………………………………………………………………………………………………………………………………………P(S|1700P(S|1700) )0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1111. 112. 113. 第六节第六节模糊矩阵对策模糊矩阵对策114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 第七节第七节模糊数据包络分析模糊数据包络分析 一、普通数据包络分析一、普通数据包络分析 数数 据据 包包 络络 分分 析析 (Data Envelopment Analysis ，，简记简记DEA)是著名运筹学家A. Charnes和W.W. Cooper等在“相对效率”概念基础上发展起来的一种效率评价方法。
自1978年第一个DEA模型建立以来，有关理论不断深入，其已经成为现代管理中一种重要和有效的分析工具125. DEA可使用数学规划模型计算和比较决策单元间的相对效率，从而对决策单元做出评价决策单元(Decision Making Unit，简记DMU)的特点是：每个DMU都可以看作是相同的实体，各DMU具有相同的输入和输出通过对输入输出数据的综合分析，DEA可以得出每个DMU综合效率的数量指标，据此将各DMU定级排序，确定有效的(即相对效率最高的)DMU，并指出其他DMU非有效的原因和程度，给主管部门提供管理信息126. DEA的特点和优点的特点和优点特点：特点：特点：特点：- -效率评价效率评价 - -相对有效性相对有效性 - -根据根据投入产出数据，使用数学规划模型计算每一投入产出数据，使用数学规划模型计算每一评价单元的有效值评价单元的有效值优点：优点：优点：优点： - -客观性客观性（通过数据和数学规划模型评估）（通过数据和数学规划模型评估） - -方便（不用考虑量纲）方便（不用考虑量纲） - -经济意义明确经济意义明确 - -给主管部门提供管理信息给主管部门提供管理信息127. DEA方法的主要步骤方法的主要步骤1.确定N个同类评价单元DMUJ 2.选择投入产出指标投入指标：X=（x1x2 ……Xm）产出指标：Y=（y1y2……Ys）3.选择模型类型：常用C2R，，BCC模型模型4.对每一一评价单元DMU求解其对应的模型得其有效性评价值128. DEA的数据结构与效率评价指数的数据结构与效率评价指数y y1111 y y1212 ………… y y1 1n ny y2121 y y22 22 ………… y y2 2n n…… …… ………… ……y ys1s1 y ys2s2 ………… y ysnsnx x1111 x x 1212 ………… x x 1 1n nx x 2121 x x2 22 2 ………… x x2 2n n…… …… ………… ……x xm1m1 x xm2m2 ………… x x mnmnDMUDMU1 1 DMU DMU2 2 ………… DMUDMUn n v v1 1 1 1 v v2 2 2 2 …… …… v vm m m m1 1 u u1 12 2 u u2 2…… ……s s u us s129. DEA的原始模型的原始模型n n 对第j0个决策单元进行效率评价。
可建立下面的数学规划模型n n其中模型的变量为υ和u这是一个分式规划130. n n利用Charnes-Cooper变换，可以将其化为一个等价的线性规划问题令得：n n其中WT=（w1,…,wn）和μT=(μ1,…,μs)是变量这即C C2 2R R模型模型(Charnes(Charnes，，CooperCooper，，Rhodes)Rhodes)，记为，记为P P131. n n加入松驰变量s+及s-以后可得对偶规划模型：n n记该对偶规划模型为Dn nλ=(λ1,λ2,…,λn)及θ为n+1个变量132. C2R模型下DEA有效的定义n nP P模型下：模型下：模型下：模型下：n n弱弱弱弱DEADEA有效：有效：有效：有效：若线性规划问题若线性规划问题( (P P1)1)的最优解的最优解w w0 0及及 满足满足 VpVp1= 1= T TY Y0 0=1=1，则称，则称DMUj0DMUj0为弱为弱DEADEA有效n nDEADEA有效：有效：有效：有效：若线性规划问题若线性规划问题( (P P1)1)存在某一最优解存在某一最优解 w w0 0与与 满足满足V VP P1 1= = T TY Y0 0=1=1，并且，并且w w0 0>0, >0>0, >0，则称，则称 DMUDMUj0j0为为DEADEA有效。
有效n nD D模型下：模型下：模型下：模型下：n n弱弱弱弱DEADEA有效：有效：有效：有效：规划问题规划问题( (D D1)1)的最优值的最优值θ* = θ* = V VD D1 1 =1 =1n nDEADEA有效：有效：有效：有效：规划问题规划问题( (D D1)1)的最优值的最优值θ* = θ* = V VD D1 1 =1 =1 ，并，并且它的每个最优解都满足且它的每个最优解都满足S S- -0 0= =S S+ +0 0=0=0133. 具有非阿基米德无穷小量的具有非阿基米德无穷小量的C2R模型模型n nP P模型和模型和D D模型判断模型判断DEADEA有效的困难：有效的困难：n n1. 1. 在在P P模型中，需要判断模型中，需要判断是否存在是否存在是否存在是否存在最优解最优解 w w0 0，， 满足：满足：n n2. 2.在在D D模型中，需要判断是否其模型中，需要判断是否其所有最优解所有最优解所有最优解所有最优解都满足：都满足：n n非阿基米德无穷小量非阿基米德无穷小量非阿基米德无穷小量非阿基米德无穷小量ε ε是一个小于任何正数且大于零是一个小于任何正数且大于零的的“ “抽象数抽象数” ”。
在实际使用中一般取在实际使用中一般取ε=ε=1010-7-7134. 有具非阿基米德无穷小量的模型有具非阿基米德无穷小量的模型（（P））135. 具有非阿基米德无穷小量的模型（具有非阿基米德无穷小量的模型（Dε））136. 二、模糊数据包络分析二、模糊数据包络分析n n模糊性主要表现在：输入与输出数据的模糊性n n从而，相应的模型成为具有模糊系数的线性规划一些文献基于模糊线性规划的常用方法进行了处理，如采用截集的方法化为区间规划n n但严格地说，还应该定义模糊DEA有效137. n nTriantis和Girod（1998）用隶属函数将模糊输入输出转换为精确值而提出了一个数学规划方法n nGuo和Tanaka（2001）提出了一个模糊CCR模型，它是通过事先定义可能性水平并利用模糊数的比较规则将包括模糊等式和不等式在内的约束转换为确定性约束而实现的n n基于相同的思想，Leon（2003）等提出了一个模糊BCC模型n nKao和Liu（2000）提出了利用截集将模糊数转换为区间数从而利用传统DEA模型求解的方法138. 部分中文参考文献部分中文参考文献1.模糊DEA方法及在相对经济效益评价中的应用2.具有三角模糊要素的非径向DEA模型3.具有模糊三角要素的机会约束型DEA模型4.模糊DEA有效性5.基于模糊数变换的DEA模型与应用139. 。