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1、第四章第四章 应力应变关系应力应变关系静力平衡和几何变形通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系目录目录4.1弹性体的应变能原理弹性体的应变能原理4.2广义胡克定理广义胡克定理4.3拉梅常量与工程弹性常数拉梅常量与工程弹性常数4.4 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数能量原理能量原理是一个有效的分析工具。是一个有效的分析工具。根据能量关系，容易得到由于变形而存根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数应变能函数。 根据热力学概念推导弹性体的应变能函根据热力学概念推导弹性
2、体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的数表达式，并且建立应变能函数表达的材料材料本构方程本构方程。4.1 弹性体的应变能原理弹性体的应变能原理弹性体变形过程的功与能能量守恒是一个物理学重要原理利用能量原理可以使得问题分析简化能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理推导。外力作用弹性体变形变形过程外力作功弹性体内的能量也发生变化4.1应变能原理应变能原理2设弹性体变形时，外力所做的功为设弹性体变形时，外力所做的功为d dW W，则，则 4.1应变能原理应变能原理3dW=dW1+dW2dW1为表面力为表面力Fs所做的功所做的功dW2 为体积力为体积力Fb所做的功所做的功 根据热力学第一定
3、律根据热力学第一定律 dW1+dW2=dEdQ dE为弹性体的内能增量为弹性体的内能增量dQ为由外界输入热量为由外界输入热量回代可得回代可得 4.1应变能原理应变能原理4如果加载很快，变形在极短的时间内完成，如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换称为绝热过程。变形过程中没有进行热交换称为绝热过程。绝热过程中，绝热过程中，dQ=0 对于完全弹性体对于完全弹性体, ,内能就是物体的内能就是物体的应变能应变能，设设U0为弹性体单位体积的应变能为弹性体单位体积的应变能 dW1+dW2=dE4.1应变能原理应变能原理5设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分设应变能为应变的函数，
4、则由变应能的全微分 如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为物体的温度保持不变，称为等温过程等温过程。设等温过程中，。设等温过程中，输入物体的单位体积热量为输入物体的单位体积热量为dQ，熵的增量为，熵的增量为dS，对于，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律 因此得格林公式因此得格林公式 4.1应变能原理应变能原理6U0=E0- TS ，所以在等温条件所以在等温条件下，功能公式仍然成立。下，功能公式仍然成立。 如果材料的应力应变关系是线弹性的，则由格林公式，单如果材料的应力
5、应变关系是线弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。T 为绝对温度，为绝对温度，TS为输入单位体积的热能为输入单位体积的热能 dQ=TdS，Q=TS 应力应变关系属于材料性能应力应变关系属于材料性能称为称为物理方程物理方程或者或者本构方程本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定实验确定复杂应力状态复杂应力状态难以通过实验确定难以通过实验确定4.2 广义胡克定理广义胡克定理应力应变一般关系应力应变一般关系对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰
6、勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。4.2胡克定理胡克定理2广义胡克定理广义胡克定理4.2胡克定理胡克定理3l上式中上式中(f 1)0代表初始应力。代表初始应力。l根据无初始应力的假设根据无初始应力的假设，(f 1)0应为零。对于均匀材料，应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数材料性质与坐标无关，因此函数f 1对应变的一阶偏导数对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为 系数系数Cmn（m，n=1，2，6）称为弹性常称为弹性常数，一共有数，一共有3636个个, ,一般的
7、讲一般的讲, ,是坐标的函数是坐标的函数. . 广义胡克定理广义胡克定理4.2胡克定理胡克定理4l如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标是坐标x，y，z的函数。的函数。l但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。相同的应变，必承受同样的应力。l这一条件反映在广义胡克定
8、理上，就是这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。为弹性常数。广义胡克定理工程材料，应力应变关系受到一定的限制工程材料，应力应变关系受到一定的限制一般金属材料为各向同性材料一般金属材料为各向同性材料复合材料复合材料在工程中的应用日益广泛在工程中的应用日益广泛4.2胡克定理胡克定理5工程材料工程材料各向同性材料各向同性材料各向异性材料各向异性材料完全各向异性完全各向异性弹性体弹性体21个弹性常数个弹性常数 4.2胡克定理胡克定理6Cmn=Cnm 具有一个弹性对称面的具有一个弹性对称面的各向异性各向异性弹性体弹性体4.2胡克定理胡克定理7 xyzxl1=- -1m1=0n1=0yl2
9、=- -1m2=0n2=0zl3=- -1m3=0n3=0具有一个弹性对称面的具有一个弹性对称面的各向异性各向异性弹性体弹性体4.2胡克定理胡克定理8C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 变换后的应力和应变关系保持不变变换后的应力和应变关系保持不变 具有一个弹性对称面的具有一个弹性对称面的各向异性各向异性弹性体弹性体4.2胡克定理胡克定理913个弹性常数个弹性常数 正交正交各向异性各向异性弹性体弹性体4.2胡克定理胡克定理10正交正交各向异性各向异性弹性体弹性体4.2胡克定理胡克定理11C15=C25=C35=C64=0 9个弹性常数个弹性常数 两个弹性对称面9个
10、弹性常数个弹性常数 相互垂直的相互垂直的3个平面中有个平面中有两个弹性对称面，两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面第三个必为弹性对称面 拉压与剪切变形拉压与剪切变形不同平面内的剪切之间不同平面内的剪切之间称为称为正交各向异性正交各向异性 正应力仅与正应变有关；正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变切应力仅与对应的切应变有关。有关。没有耦合作用没有耦合作用4.2胡克定理胡克定理12正交正交各向异性各向异性弹性体弹性体物理意义物理意义物体各个方向上的弹性性质物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映数学反映应力和应变关系在所有方位应力和应
11、变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。不同的坐标系中都一样。金属材料金属材料各向同性弹性体，是最常见各向同性弹性体，是最常见的工程材料。的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体4.2胡克定理胡克定理13根据正交各向异性本构关系根据正交各向异性本构关系1.各向同性材料沿各向同性材料沿x，y和和z座座标轴的的的的弹性性性性质相相同；同；2.弹性性质与座标轴的任弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关意变换方位也无关 4.2胡克定理胡克定理14 各向同性材料广义胡克各向同性材料广义胡克（Hooke）定理定理4.2胡克定理胡克定理15x y z xl1=cos
12、m1=sin n1=0y l2=- -sinm2=cosn2=0zl3=0m3=0n3=1 各向同性材料广义胡克各向同性材料广义胡克（Hooke）定理定理4.2胡克定理胡克定理162C44=C11-C12 l, ml, m称称为拉梅拉梅（Lame）弹性常数弹性常数4.2胡克定理胡克定理17 各向同性材料广义胡克各向同性材料广义胡克（Hooke）定理定理各向同性材料主应力状态主应力状态对应的切应力分量均为零。对应的切应力分量均为零。所有的切应变分量也为零。所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体所以，各向同性弹性体应力主轴同时又是应变主轴应力主轴同时又是应变主轴应力主方向和应变主方向是重合的
13、应力主方向和应变主方向是重合的4.2胡克定理胡克定理184.3 拉梅常量与工程弹性常数拉梅常量与工程弹性常数设体积应力为设体积应力为将拉梅公式的前三式相加，可得将拉梅公式的前三式相加，可得体积应变的胡克定理体积应变的胡克定理 应力表示本构方程应力表示本构方程E为为弹性模量弹性模量G为为剪切弹性模量剪切弹性模量v为为横向变形系数横向变形系数泊松比泊松比4.3弹性常数弹性常数2杨泊松4.3弹性常数弹性常数3工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为两个独立的弹性常数两个独立的弹性常数实验测定：实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G4.3弹性常数弹性常数4应变能应变能4.4 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数应变表示的应变能函数应变表示的应变能函数 应力表示的应变能函数应力表示的应变能函数 泊松比泊松比n n恒小于恒小于1，所以，所以U0恒大于零。恒大于零。单位体位体积的的应变能能总是正的。是正的。 4.4应变能应变能2
