正方形的定义及性质

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1、18.2 .3特殊的平行四边形特殊的平行四边形 -正方形正方形（第（第1课时）课时）回顾：回顾：平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形, ,矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质? ?平行四边形平行四边形边边:角角:对角线对角线:对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等,邻角互补邻角互补对角线互相平分对角线互相平分矩形矩形矩形矩形角角:四个角是直角四个角是直角对角线对角线: 对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分边：边：边：边：对边平行且相等对边平行且相等具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质边边:

2、 四条边相等四条边相等对角线对角线:互相垂直平分互相垂直平分分别平分两组对角分别平分两组对角 对角相等对角相等,邻角互补邻角互补具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质角：角：探究小结探究小结矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形发现：发现： 一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫正方形正方形如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？1 正方形的定义正方形的定义由由正方形的定义正方形的定义可知，可知， 学案学案1、正方形既是（正方形既是（1）有）有一组邻边相等的矩形一组邻

3、边相等的矩形，又是（又是（2）有）有一个角为直角的菱形一个角为直角的菱形。（3）有）有一组邻边相等一组邻边相等，并且，并且一个角为直角一个角为直角的平行四边形。的平行四边形。 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方形。叫做正方形。 学案学案2 22. 如图正方形如图正方形 1)图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)求求ABD、DAC、DOC的度数。的度数。OABCD答案：1、八个 ABC、BCD、 CDA、 DAB 、AOB 、AOD、 BOC 、COD 2

4、AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD3、45；45，90正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)菱菱形形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行四边形平行四边形矩形矩形四边形四边形菱形菱形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、

5、正方形之间关系对称性特征 也是也是也是也是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形, ,对称中心为点对称中心为点对称中心为点对称中心为点OO它是它是它是它是轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形, ,有有有有4 4条对称轴条对称轴条对称轴条对称轴(1)(1)它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2)具有矩形

6、的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3)具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)学案学案2 正方形是特殊的平行四边形，也正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。是特殊的矩形，也

7、是特殊的菱形。正方形的性质正方形的性质= =知识拓展知识拓展:与同学讨论后填写下表：与同学讨论后填写下表： 边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平平 行行四边形四边形 矩矩 形形 菱菱 形形 正方形正方形 几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平行，对边平行，四边都相四边都相等等对边平行，对边平行， 四条边四条边 都相等都相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角线互相平分对角线互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分

8、对角线互相垂直对角线互相垂直平分，每条对角平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角对角线互相垂直平对角线互相垂直平分且相等，每条对分且相等，每条对角线平分一组对角角线平分一组对角不是轴对称图形不是轴对称图形 轴对称图形、轴对称图形、 轴对称图形、轴对称图形、 轴对称图形、轴对称图形、1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等 B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.BD4512cm2a+1练习练习3 3. .正方形的一边和对角线

9、的夹角为正方形的一边和对角线的夹角为_._.练习练习4 4. .已知正方形的面积为已知正方形的面积为9 9cmcm2 2, ,它的周长为它的周长为 _. _.4.正方形的边长为正方形的边长为a,当边长增加当边长增加1时时,其面积增加了其面积增加了_.OABCD文字命题的证明步骤：文字命题的证明步骤：第一步第一步:画图画图第二步第二步:写已知写已知第三步：写求证第三步：写求证第四步第四步:证明证明例例1求证：正方形的两条对角线把正方形分求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形成四个全等的等腰直角三角形。已知已知：如图正方形：如图正方形ABCD对对角线角线AC、BD相交于点相交

10、于点O。求证：求证： ABO BCO CDO ADO 例例1求证：正方形的两条对角线把正方形分求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形成四个全等的等腰直角三角形。思考：思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个个已知：如图，点已知：如图，点E E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边CDCD上一点，上一点，点点F F是是CBCB的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BFDE=BF求证：求证：（1 1）AE=AFAE=AF；（；（2 2）EAAFEAAF1 12 23 3例例例例2 2：答案证明：（1） ABC

11、D是正方形是正方形AD=AB，ADE=ABF=90在在ABF与与ADC中中AD=ABADE=ABF=90DE=BF ABFADE（SAS） FA=EA ,1=3（2）2+3=90 1+2=90 EAFA 1 12 23 3达标检测达标检测13 3、已知：正方形、已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相相交于点交于点O O，且且ABAB4cm4cm，如图。如图。求：求：ACAC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S S。 4已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且且AC6 cm，如图如图求：正方形的面积求：正方形的面积S。 达标

12、检测达标检测5 5：如图，已知如图，已知E E点在正方形点在正方形ABCDABCD的的BCBC边的延长线上，边的延长线上，且且CE=ACCE=AC，AEAE与与CDCD相交于点相交于点F F，则，则AFC=_AFC=_达标检测达标检测6：判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确1、四个角都相等的四边形是正方形；、四个角都相等的四边形是正方形； ( )2、四条边都相等的四边形是正方形；、四条边都相等的四边形是正方形； ( )3、对角线相等的菱形是正方形；、对角线相等的菱形是正方形； ( )4、对角线互相垂直的矩形是正方形；、对角线互相垂直的矩形是正方形； ( )5、对角线垂直且相等的四边形是正

13、方形、对角线垂直且相等的四边形是正方形; ( )6、四边相等，有一个角是直角的四边形、四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形是正方形. ( )对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结D D若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？想一想：想一想：该怎样证明这些结论？A AC CB BE EO O小结小结1、正方形定义、正方形定义有一组邻边

14、相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形的性质、正方形的性质对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角边边：角：角：对角线：对角线：对称性：对称性：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；OABCD菱菱形形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方例例3已知：如图在正方形已知：如图在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 一一点，点，CEAF于于E，交交AD于于M，

15、求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于由于MDF是直角三角形是直角三角形,须证须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，只须证得哪两个三角形全等只须证得哪两个三角形全等? CMDADF练习练习如图，在如图，在AB上取一点上取一点C，以以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1) ACFDCB(2) BHAF 例例4如图，如图，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，连结连结BG、CE，交点为交点为N。求证：求证：CEAABG 你还能得出其你还能得出其他结论吗？他结论吗？