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1、第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为定义定义. 设存在,称为体积元素体积元素, 若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V
2、 为 的体积, 积和式” 极限记作记作二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作投影法方法方法3
3、. 三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:当被积函数在积分域上变号时, 因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解解:面及平面例例2. 计算三重积分解解: 用用“先二后一先二后一 ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三重积分的换元法三、三重积分的换
4、元法定理定理:满足:(3) 变换则：2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.其中为由例例3. 计算三重积分所围解解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标
5、的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.例例5. 计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面例例6.求曲面所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分
6、也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;1. 将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成 ,2. 设计算提示提示: 利用对称性原式 = 奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 计算所围成. 其中 由分析分析：若用“先二后一”, 则有计算较繁! 采用“三次积分”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围, 故可 思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算其中解解:利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束
