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1、第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、 多元函数的极多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域内有的某邻域内有机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束 说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点 . 例如例如,定理定理1 (必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 ,则有则有存在存在故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二
3、阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当证明见证明见 第九节第九节(P65) . 时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点解解例例3. 讨论函数函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此为极小值为极
4、小值. .正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 可能为可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最二、最值应用用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, 为极小为极小 值值为为 最小最小 值值( (大大) ) ( (大大) )依据依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻
5、点处的函数值及在D D的的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值. .解解如图如图,2024/9/517例例5 某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？使用料最省？解：解：设水箱的长为设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,则其高为则其高为此水箱的用料面积此水箱的用料面积2024/9/518时，时，A A取得最小值，取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一根据题意
6、可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域定存在，并在开区域D(x0,y0)D(x0,y0)内取得。又函数内取得。又函数在在D D内只有唯一的驻点，因此可断定当内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到效果函数为盒录音磁带达到效果函数为 设每张磁盘设每张磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如元
7、，问他如何分配这何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质：实质：求求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转转化化机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等
8、价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记例如例如,故故 故有故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为称为拉格朗日拉格朗日( Lagrange )函数函数.利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条
9、件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求 x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍
10、时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:长、宽、高尺寸相等 .例例7抛物面抛物面 被平面被平面截得一椭圆，截得一椭圆，圆到原点的最长与最短距离圆到原点的最长与最短距离解：解： 目标函数为目标函数为条件为条件为作函数作函数求这个椭求这个椭即即由此得拉氏方程组由此得拉氏方程组解此方程组得解此方程组得代入目标函数得代入目标函数得所以最长距离为所以最长距离为所以最短距离为所以最短距离为解解可得可得即即多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结
