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1、全微分的定义全微分的定义可微的条件可微的条件小结小结 思考题思考题 作业作业total differentiation第三节第三节 全全 微微 分分第七章第七章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时全全 微微 分分2全增量全增量的概念的概念域内域内有定义有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量. .全全 微微 分分一、全微分的定义一、全微分的定义3全微分的定义全微分的定义处的处的全微分全微分.
2、.全全 微微 分分可表示为可表示为可微分可微分, ,在点在点则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于4注注全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的两个性质两个性质: :全全 微微 分分的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小. .多元函数在某点可导多元函数在某点可导 可微可微一元函数在某点可导一元函数在某点可导 可微可微51. 可微的必要条件可微的必要条件( 可微必可导可微必可导).定理定理1 1 如果函数如果函数可可微分微分,且且全全
3、 微微 分分二、可微的条件二、可微的条件6证证同理可得同理可得上式仍上式仍成立成立, 此时此时则则如果函数如果函数可可微分微分,全全 微微 分分可可微分微分,7记全微分为记全微分为习惯上习惯上,全全 微微 分分如三元函数如三元函数则则可推广到二元以上函数可推广到二元以上函数8例例全全 微微 分分沿沿趋近于趋近于则则若点若点因此因此,可导可导 可微可微9解解全全 微微 分分计算函数计算函数在点在点的全微分的全微分.所以所以例例10解解全全 微微 分分例例11答案答案全全 微微 分分12 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证显然显然,定理定理3由全微分的定义有由全微分的定义有可得可
4、得多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数可可微分微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.全全 微微 分分 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证函数在该点连续函数在该点连续13 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：的极限、连续、可导、可微的关系：可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导全全 微微 分分14全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别注意：与一元函数有很大的区别)全全 微微 分分可微分的必要条件、可微分的必要条件、 可微分的充分条件可微分的充分条件四、小结四、小结15
