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1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念第二节第二节 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系第三节第三节 初等函数初等函数一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件小结与思考小结与思考例例2 解解例例3解解例例4 练习：证明练习：证明 在在 处可导处可导, 但处处不解析但处处不解析. . 证明根据导数的定义，证明根据导数的定义，因此因此 在在 处可导处可导，且且 当当 时时, 由由 得得 故故虽然虽然但是当但是当 z分别从平行于分别从平行于x, y轴方向趋于轴方向趋于z0时，时， 分别分别 以以1
2、和和-1为极限，因此为极限，因此 不存在不存在. 例例6 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:解解:偏导数在复平面上处处连续偏导数在复平面上处处连续，但只在但只在z=0满足满足CR方程，方程，四个偏导数均连续四个偏导数均连续指数函数指数函数指数函数指数函数四个偏导数均连续四个偏导数均连续例例7 证证要使要使CR方程成立，则有方程成立，则有例例8 练习：练习： 解解证证参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: :思考题思考题答案答案反之不对反之不对.一、调和函数的定义一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系小结与思考小
3、结与思考三、求已知实部或虚部的解析函数三、求已知实部或虚部的解析函数例例2 2解解曲线积分法曲线积分法故故A 2.2.2.2.凑全微分法凑全微分法凑全微分法凑全微分法3. 3. 偏积分法偏积分法偏积分法偏积分法4. 4. 不定积分法不定积分法不定积分法不定积分法解解例例3 3得解析函数得解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为例例4 解解所求解析函数为所求解析函数为例例解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得一、指数函数一、指数函数二、对数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数四、三角函数与双曲函数三、幂函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考小结与
4、思考例例1 解解例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:例例3 解解注意注意注意注意: : 在实变函数中在实变函数中在实变函数中在实变函数中负数无对数，负数无对数，负数无对数，负数无对数， 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. . . .例例4解解例例5解解. . . . 对数函数的性质对数函数的性质对数函数的性质对数函数的性质例例6 6解解注注: :因为因为所以所以与与的不一致性的不一致性. .约定约定: :答案答案课堂练习课堂练习例例7 7解解例例8 8解
5、解例例9 9解解例例1010解解例例1111解解思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质实变三角函数与复变三角函数在性质实变三角函数与复变三角函数在性质实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同上有哪些异同上有哪些异同上有哪些异同? ?思考题答案思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的类似的类似的类似的, , 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方
6、和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式. . 最大的区别是最大的区别是最大的区别是最大的区别是, , 实变三角函数中实变三角函数中实变三角函数中实变三角函数中, , 正余弦函数都正余弦函数都正余弦函数都正余弦函数都是有界函数是有界函数是有界函数是有界函数, , 但在复变三角函数中但在复变三角函数中但在复变三角函数中但在复变三角函数中, , (3)(4)错了错了指出下列解法有何错误指出下列解法有何错误荒谬透顶！荒谬透顶！决不会相决不会相等！等！原因原因Bernoulli悖论悖论 Lnz是集合是集合记号，应该记号，应该理解为两个理解为两个集合相加集合相加A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A 2A
