向量及其线性运算

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1、数量关系数量关系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中: 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1

2、的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径： 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 规定: 零向量与任何向量平行 ;平行向量：平行向量： 若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相

3、同或相反,a 与与 b 平行, ab ;记作则称 向量共线：向量共线： 当两个平行向量的起点放在同一 点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上 .因此，两向量平行又称两向量共线.时，如果 个终点和公共起点在一个平面上 . 就称这 个向量共面.向量共面：向量共面：当把 个向量的起点放在同一 点二、向量的线性运算1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .2. 2. 向量的减法向量的减法三角不等式一般地，一般地，任给向量任给向量 及点及点3 3、向量与数的乘法、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符

4、合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x x轴轴( (横轴横轴)

5、)y y轴轴( (纵轴纵轴) )z z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点 o o , 坐标面 卦限卦限( (八个八个) )zox面1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 2. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量分向量.此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;坐标轴 : 坐标面 :四、利用坐标作向

6、量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即说明: 由得定比分点公式: :点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例3.在 z 轴上求与两点等距解解: : 设该点为解得故所求点为及思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点

7、 . 提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例4. 已知两点和解解: :求解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或2. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.的夹角 , , 为其方向角方向角.方向余弦的性质方向余弦的性质: :例6.

8、 已知两点已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解: :计算向量例7. . 设点 A 位于第一卦限, ,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 解解3. 3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在空间一点在 轴上的投影轴上的投影空间向量在空间向量在 轴上的投影轴上的投影 称为向量在 轴上的分向量分向量.设数 称为向量在 轴上的投影，记作或设则或记作向量投影的性质向量投影的性质性质性质1 1其中 为向量 与 轴的夹角性质性质2 2性质性质3 3例8 一向量的终点在点 ，它在 轴、 轴、 轴上的投

9、影依次为 .求这向量的起点 的坐标.解 设 的坐标为由已知可得所以即解例例9 9 已知已知 ，它与，它与 的夹角为的夹角为 ，求，求 . .解解向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结四、小结向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.思考题思考题 1已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.解答解答思考题思考题 2解答解答对角线的长为对角线的长为练练 习习 题题 1练习题练习题1答案答案练练 习习 题题2练习题练习题2答案答案