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1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课函数与极限函数与极限一、 函数1. 函数的概念定义定义: 定义域 值域图形图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中2. 函数的特性函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数设函数为单射, 反函数为其逆映射4. 复合函数给定函数链则复合函数为5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.例1. 设函数设函数求解解:二、 连续与间断1. 函数连续的等价形式有2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理 ; 最
2、值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例例2. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例3. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .例4. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间上 , 若 f (x) 在连续,提示提示:阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .证证:P73 题5. 证明证明: 若若 令则对当时, 有又根据有界性定理, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.三、 极限1. 极限定义的等价形式 (以
3、 为例 )(即 为无穷小)有2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小无穷小的性质 ;无穷小的比较 ;4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 5. 求极限的基本方法 例5. 求下列极限：求下列极限：提示提示: 无穷小有界令令例6. 确定常数确定常数 a , b , 使使解解: 原式故于是而例7. 当当时,是的几阶无穷小?解解: 设其为的阶无穷小,则因故阅读与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解: x = 1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点 2. 求求解:原式 = 1 (2000考研)3. 求解解: 令则利用夹逼准则可知
