第三章——导数及其应用 3.1 导 数3.1.1 函数的平均变化率[学习目标]1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义.2.会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.3.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤. 1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功 [知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？ [预习导引]1.函数的变化率的定义已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率. 2.平均变化率的计算过程 要点一 平均变化率例例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.解 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 解 当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)再计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； 跟跟踪踪演演练练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解 解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 求物体运动的平均速度解 解 由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0) (2)求物体在t＝10 s到10.4 s这段时间的平均速度.解 解 当t0＝10 s时，Δt＝0.4 s，则物体在t＝10 s到10.4 s这段时间的平均速度 规规律律方方法法 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率. 跟跟踪踪演演练练2 动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.解 解 动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为 ＝－1.6 ℃/min.∴从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. (2)体温T(t)对时间t的变化率. 规规律律方方法法 平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称.如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比.函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念. 跟跟踪踪演演练练3 一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.解 解 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，故铁板面积对温度的膨胀率为200(a＋a2t)＋100a2Δt. 1 2 3 41.一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )A.3Δt＋6 B.－3Δt＋6C.3Δt－6 D.－3Δt－6解析 解析 ∵Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)＝－3(Δt)2－6Δt，D 2.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于( )A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2解析 解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，1 2 3 4 C 1 2 3 4C 1 2 3 4∴m＝2或m＝－3(舍).2 课堂小结 (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况. 。
