3.83.8 平面束方程平面束方程定义定义 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做做有轴平面束有轴平面束，这条直线叫做，这条直线叫做平面束的轴平面束的轴. 1授课：授课：XX 交于一条直线交于一条直线 L，那么，那么以以 L 为轴的有轴平面束方程为轴的有轴平面束方程是：是：其中其中 l，，m 是不全为零的任意实数是不全为零的任意实数.定理定理 仿射坐标系下仿射坐标系下，如果两个平面，如果两个平面2授课：授课：XX 例例 在直角坐标系下，求过直线在直角坐标系下，求过直线 且与且与平面平面 x + y + z – 1 ＝＝ 0 垂直的平面方程垂直的平面方程.即即由两平面垂直，由两平面垂直，即即因此，因此， 所求平面方程为所求平面方程为解解 设所求平面方程为：设所求平面方程为：3授课：授课：XX 例例 在直角坐标系下，在直角坐标系下，求直线求直线 在平面在平面 ：：2x + 2y + z -11=0 上的投影直线上的投影直线.解解1过直线过直线 l 作平面作平面 ’与与 垂直，则垂直，则 ’与与 的交线的交线 l’ 就是就是 l 在在 上的投影上的投影.将将 l 的方程改写为一般式的方程改写为一般式过过 l 的有轴平面束方程为的有轴平面束方程为x + 4y - 24 + (3y + z -17) = 0即即x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17 ) = 0其法向量为其法向量为n’ =(1, 4 + 3 , ).4授课：授课：XX 过过 l 的平面束方程为的平面束方程为x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17 ) = 0其法向量为其法向量为n’ =(1, 4 + 3 , ),由由 ’ 可得可得 ’的方程为的方程为例例 在直角坐标系下，在直角坐标系下，求直线求直线 在平面在平面 ：：2x + 2y + z -11=0 上的投影直线上的投影直线.解解17x - 2 y - 10z + 2 = 05授课：授课：XX 取取例例 在直角坐标系下，在直角坐标系下，求直线求直线 在平面在平面 ：：2x + 2y + z -11=0 上的投影直线上的投影直线.解解2l 在在 上的投影直线为上的投影直线为6授课：授课：XX 定义定义 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做做平行平面束平行平面束.定理定理仿射坐标系下仿射坐标系下，由平面，由平面 Ax + By + Cz + D ＝＝ 0 决定的平行平面束方程是：决定的平行平面束方程是：Ax + By + Cz + λ＝＝ 0其中其中 λ 是任意实数是任意实数.7授课：授课：XX 例例 仿射坐标系下，仿射坐标系下，求与平面求与平面 3x + y – z + 4 ＝＝ 0 平行平行且在且在 z 轴上截距等于轴上截距等于 -2 的平面方程的平面方程.解解 设所求平面方程为：设所求平面方程为：3x + y – z + λ ＝＝ 0.因平面在因平面在 z 轴上截距为轴上截距为 -2，，所以平面过点所以平面过点(0,0,-2),由此得由此得λ ＝＝ -2，，因此所求方程为：因此所求方程为：3x + y – z – 2 ＝＝ 08授课：授课：XX 例例 仿射坐标系下，证明两直线仿射坐标系下，证明两直线与与在同一平面上的在同一平面上的充要条件充要条件是是9授课：授课：XX 证证 过过 l1 的任意平面为的任意平面为（（1））其中其中 λ1，，λ2 是不全为零的任意实数是不全为零的任意实数.（（2））同一平面同一平面,其中其中 λ3，， λ4 是不全为零的任意实数是不全为零的任意实数.因此两直线因此两直线 l1 与与 l2 在同一平面的在同一平面的充要条件充要条件是：是：存在存在不全为零的实数不全为零的实数 λ1、、λ2 、、λ3、、λ4使使 (1)、、(2) 代表代表也就是也就是(1)、、(2)的左端仅相差一个的左端仅相差一个不为零不为零的数因子的数因子m.过过l2的任意平面为的任意平面为10授课：授课：XX 所以所以又又 λ1，，λ2，，λ3，，λ4不全为零，故不全为零，故而而 m ≠ 0，因此两直线，因此两直线 l1 与与 l2 共面的充要条件为共面的充要条件为11授课：授课：XX 例例 仿射坐标系下，证明两直线仿射坐标系下，证明两直线与与异面的充要条件是异面的充要条件是12授课：授课：XX 练习练习 证明两直线证明两直线与与平行的充要条件是（仿射坐标系下）平行的充要条件是（仿射坐标系下）练习练习：习题：习题3.8 3, 8作业：习题作业：习题3.8 1, 2, 4, 5, 6, 713授课：授课：XX 练习练习 仿射坐标系下，三张平面的方程为仿射坐标系下，三张平面的方程为在在 a 取什么数时，它们不相交于一点，又互相都不取什么数时，它们不相交于一点，又互相都不平行？平行？提示：提示： 计算系数矩阵行列式的值，使其为计算系数矩阵行列式的值，使其为0；；再由三张平面互不平行，可得再由三张平面互不平行，可得 a = -2.14授课：授课：XX Thank you!15 。