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1、2.3.4 2.3.4 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系一一、 温故：温故：1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系: : 相离相离 相切相切 相交相交图图1图图2图图3d rd rd r2.2.判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与圆的位置关系的方法(1)(1)几何方法：根据圆心到直线的距离几何方法：根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系；与圆半径的大小关系；(2)(2)判别式法：由直线方程和圆方程组成一判别式法：由直线方程和圆方程组成一个方程组，通过代入法得到一个一元二次方个方程组，通过代入法得到一个一元二次方程，根据这个方程的判别式大于、等于或小程，根据这个方程的判别式大于、等于或
2、小于于0 0。外离1.1.回忆：初中学过的两圆的位置关系回忆：初中学过的两圆的位置关系内切外切相交内含二、知新二、知新外 离 外 切 相 交 内 切 内 含列表如下：列表如下：根据圆的方程求出圆心距根据圆的方程求出圆心距d d和两圆半和两圆半径径r r1 1, ,r r2 2，然后观察，然后观察d d与与r r1 1、r r2 2关系。关系。2. 2. 如何根据两圆的方程判断两圆的如何根据两圆的方程判断两圆的位置关系呢？位置关系呢？平面几何法判断圆与圆的位置关系步骤：平面几何法判断圆与圆的位置关系步骤： 1 1 求出两圆的圆心坐标和半径求出两圆的圆心坐标和半径r r1 1，r r2 2；2 2
3、 根据圆心坐标计算出两圆的圆心距根据圆心坐标计算出两圆的圆心距d d；3 3 根据根据d d与与r r1 1，r r2 2之间的关系，判断两圆的位之间的关系，判断两圆的位置关系置关系 。（1 1）外离：）外离：r r1 1+r+r2 2dd； （2 2）外切：）外切：r r1 1+r+r2 2=d=d；（3 3）相交：）相交：|r|r1 1r r2 2|dr|dd.|d.例例1 判断下列两圆的位置关系：判断下列两圆的位置关系：与与解：（解：（1）两圆圆心分别为）两圆圆心分别为(-2,2)和和(2,5)，半，半径分别为径分别为r1=1和和r2=4，且圆心距，且圆心距 ： 所以两圆外切所以两圆外切
4、 （2 2）化为标准方程后知两圆圆心分别为）化为标准方程后知两圆圆心分别为(-3,0)(-3,0)和和(0,-3)(0,-3)，半径分别为，半径分别为r1 1=4=4和和r2 2=6=6，且圆心距：且圆心距： 易见易见 ，所以两圆相交。，所以两圆相交。3.3.感受数学思想方法感受数学思想方法解析几何的核心坐标法解析几何的核心坐标法 坐标法又称解析法，是求解解析几何问题的重要坐标法又称解析法，是求解解析几何问题的重要方法。它通过建立适当的坐标系，把几何问题转化为方法。它通过建立适当的坐标系，把几何问题转化为代数问题，再加以计算和研究，从而巧妙的解决几何代数问题，再加以计算和研究，从而巧妙的解决几
5、何问题。问题。 总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是求满足给定条件点的轨迹，通过坐标本问题：一类是求满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过对方程的讨论，研究系建立它的方程；另一类是通过对方程的讨论，研究方程所表示的曲线的性质。方程所表示的曲线的性质。 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。许多几何学中的难题，都可以用坐标法更几何问题。许多几何学中的难题，都可以用坐标法更简单地解决。简单地解决。坐标法解决几何问题的步骤：坐标法解决几何问题的步骤：1.建立适当的
6、平面直角坐标系；建立适当的平面直角坐标系；2.把已知点的轨迹的几何条件把已知点的轨迹的几何条件“翻译翻译”成代数方程；成代数方程；3.运用代数工具对方程进行研究；运用代数工具对方程进行研究；4.把代数方程的性质用几何语言叙述，把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。从而得到原先几何问题的答案。让我们一起来感受坐标法的魅力！让我们一起来感受坐标法的魅力！1.1. 建立坐标系建立坐标系 如图，以如图，以O1为坐标原点，使为坐标原点，使x轴通过轴通过O1,O2，且，且O2在在x轴的正半轴上，建立直角坐标系轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy。yOO1r1O2 (d,0)xr22.2
7、.由已知几何条件求出由已知几何条件求出代数方程：代数方程：例例2 2 用坐标法讨论圆与圆的位置关系。用坐标法讨论圆与圆的位置关系。3.3.运用代数方法进行研究；运用代数方法进行研究；将将(1)(2)(1)(2)两式联立两式联立研究此方程组的解：研究此方程组的解：由由(1)-(2)(1)-(2)整理得：整理得：将将(3)(3)代入代入(1)(1)得：得：即：即：4. 4. 分析方程组的解，得出相应的几何特征：分析方程组的解，得出相应的几何特征：(1) (1) 当当 时，时，(4)(4)式右边大于式右边大于0 0，此，此时方程组有两组解：时方程组有两组解： 这时两圆相交于这时两圆相交于(x,y1)
8、,(x,y2)两点。两点。(x,y2)(x,y1)yOO1O2 (d,0)x(2) (2) 当当 时，时，(4)(4)式右边为式右边为0 0，此时方程组有唯一解：此时方程组有唯一解：(3) (3) 当当 时，时，(4)(4)式右边小于式右边小于0 0，此时方程组无解。，此时方程组无解。 这时两圆不相这时两圆不相交交(相离或内含相离或内含) 。这时两圆相切这时两圆相切(外切或内切外切或内切)于点于点(x,0)。(x,0)yOO1O2 (d,0)x(x,0)yOO1 O2 (d,0)xxyOO1O2 (d,0)xyOO1 O2 (d,0)求圆心坐标为求圆心坐标为(3,4)(3,4)并与圆并与圆 相
9、切的圆的方程。相切的圆的方程。三三、练习练习已知：已知： 圆圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2x-3=0;-2x-3=0; 圆圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-4x+2y+3=0;-4x+2y+3=0; 试判断两圆的位置关系；若有交点，试判断两圆的位置关系；若有交点，求出交点坐标。求出交点坐标。已知：已知： 圆圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2x-3=0;-2x-3=0; 圆圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-4x+2y+3=0;-4x+2y+3=0; 试判断两圆的位置关系，试判断两圆的位置关系，若有交点，求若有交点，求出交点坐标。出交点坐标。解解：(
10、1) (1) 变为标准方程：变为标准方程：C C1 1：(x1)2+y2=4; C C2 2：(x2)2+(y+1)2=2。圆心坐标分别为圆心坐标分别为(1,0)(1,0)和和(2,-1)(2,-1)，圆心距圆心距d d= ,= ,半径分别为半径分别为r1 1=2,=2,r2 2= ,= ,这两个圆相交。这两个圆相交。(2) (2) 将将C C1 1和和C C2 2的方程联立，削去的方程联立，削去x2和和y2项，项， 化简得：化简得： x=y+3，将上式代入将上式代入C C1 1得：得：解得：解得：相应地有：相应地有： x13，x21。即交点坐标为即交点坐标为(3,0)(3,0)和和(1,-2
11、)(1,-2)。求圆心坐标为求圆心坐标为(3,4)(3,4)并与圆并与圆C C1 1: : 相切的圆的方程。相切的圆的方程。设所求圆的方程设所求圆的方程C C2 2为为: (: (x-3)-3)2 2+(+(y-4)-4)2 2= =r22 2由两圆相切知两圆的圆心距由两圆相切知两圆的圆心距 ，解：由已知得圆解：由已知得圆C C1 1的圆心为的圆心为(0,0),(0,0),半径半径r1 1=1=1，故所求圆的方程为：故所求圆的方程为： ( (x-3)-3)2 2+(+(y-4)-4)2 2=16=16或或( (x-3)-3)2 2+(+(y-4)-4)2 2=36=36。则当两圆外切时有：则当两圆外切时有： ，即，即r2=4；当两圆内切时有：当两圆内切时有： ，即，即r2 2=6=6；四四、小结小结学到了什么？1.1.两圆的位置关系的两圆的位置关系的判断方法。判断方法。2.2.重要的数学方法坐标法。重要的数学方法坐标法。作作 业业必做：必做： 课本课本P104 习题习题23A，B； 基础训练基础训练A选做：选做： 基础训练基础训练B
