分形几何概述浙江大学数学系 阮火军 内容n分形几何的发展历史n分形几何的研究对象和研究方法n分形几何的应用 分形几何产生的背景n经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等．n问题： 对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？ 分形几何的历史n萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出.n形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，《分形对象：形，机遇和维数》. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的. 分形几何的历史(续)n发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》. 英国的海岸线有多长?n测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。
用一只小老鼠代替人测量 用苍蝇代替小老鼠测量n测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长 英国的海岸线有多长(续)?nRichardson的经验数据 L()与成正比，其中的值依赖于具体的海岸线而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的在Richardson看来， 没有什么特别意义nMandelbrot的贡献 把的意义挖掘出来，将1+ =D解释为“分形维数” 其它例子 迭代（动力系统）的问题 Julia集的定义 Julia集的图象C = -1C = -0.5+0.5iC=-0.2+0.75 iC=0.64 i Mandelbrot集 Mandelbrot集 微积分中的一个问题n如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：如Weierstrass函数？ 分形几何的研究对象（一）—自相似集n1 Cantor集n2 Sierpinski垫片n3 Koch曲线 Cantor集C Cantor集C中的点的表示 Cantor集C的基本性质n1. “长度”为零.n2. 没有孤立点.n3. 闭集.n4. 自相似. Sierpinsk垫片 Sierpinsk垫片的生成过程—第0步、第1步 Sierpinsk垫片的生成过程—第2步、第3步 Sierpinski垫片的基本性质n与Cantor集类似。
n面积等于0. Koch曲线 Koch曲线的生成过程—第0步、第1步 Koch曲线的生成过程—第2步、第3步 Koch曲线与雪花曲线—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线 Koch曲线的一些基本性质n Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质.n长度等于无穷. 自相似集合的定义n相似压缩映射的定义：相似压缩映射的定义： 设f是从Rn到Rn的映射，如果存在常数1>c>0,使得对于Rn中的任意两点x,y,有 |f(x)-f(y)|=c|x-y|, 我们称f是一个Rn上的相似映射，相似比为c.n关于自相似集合的定理及定义：关于自相似集合的定理及定义： 设f1, f2, …,fm 是Rn上的一组相似压缩映射，则 存在Rn的一个非空子集E，使得 E=∪fi(E). 我们称集合E是一个自相似集合. 分形几何的研究对象（二）n自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）n迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）n分形函数（如：Weierstrass函数）n随机分形（如：随机Koch曲线） 随机Koch曲线——对海岸线的模拟 分形集合的基本特征 我们很难给出分形的定义，但我们认为一个分形集合E应该有如下的特征：uE具有精细的结构，即有任意小比例的细节。
uE是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述uE通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的 分形集合的基本特征（续）u一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数u在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生 分形几何的研究方法——维数和测度我们仅讨论维数n传统意义下的维数： 点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，…n用这个维数去刻画分形集合时的困难：uCantor集：含有无穷多个点，长度为0.uKoch曲线：长度为无穷，面积为0.uSierpinski垫片：长度为无穷，面积为0. 分形维数的一种定义（1）n换种角度看维数. 把线段放大两倍后，所得线段可以看成是2个原来个线段叠加而成 把正方形放大两倍后，所得正方形可以看成是4＝22个原来的正方形叠加而成 把立方体放大两倍后，所得立方体可以看成是8＝23个原来的立方体叠加而成 分形维数的一种定义（2）n分形维数的一种直观定义直观定义(不很确切). 如果我们把集合E放大倍，得到的新集合可以由d个集合叠加而成，则称集合E的分形维数是d. 几个典型自相似集的分形维数nCantor集: log2/log3.nSierpinski垫片: log3/log2.nKoch曲线: log4/log3. 自相似集合的分形维数公式n设f1, f2, …,fm 是一组Rn上的相似压缩映射，fi的相似比为ci, E是对应的自相似集，如果fi(E)是两两不交的，那么E的分形维数d由下面的公式给出：c1d+ c2d+…+ cmd=1.n注：带下划线的条件可以放宽到“开集条件”，使得Koch曲线，Sierpinski垫片的维数公式也可由此计算。
迭代函数系----预备知识n度量空间(X;d)n柯西序列n完备度量空间n压缩映射n不动点nBanach不动点定理：完备度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点 迭代函数系----分形空间(H(X);h)nRn中紧集的定义：有界闭集n给定完备度量空间(X;d)，定义H(X)为X的所有非空紧子集所组成的集合nH(X)上的度量h如下定义：n(H(X);h)是一个完备度量空间 Hausdorff距离计算实例nX=R. A=[0,1], B=[3,5]. 问h(A,B)=? 迭代函数系----定义及其性质 迭代函数系----意义 双曲迭代函数系中对应的A也称为吸引子或者不变集，在许多情况下，它是一个分形集合，而自相似集、甚至更一般的自仿射集一定是某个双曲迭代函数系的吸引子 此外，前面所提到的性质也为在计算机画出吸引子的近似图象提供了理论依据 分形几何的应用n图像，数据压缩方面的研究 如：对某一个静态场景的分形压缩n自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶n 分形生长模型 对某一个静态场景的分形压缩原图分形压缩得到的图形 分形山 分形树叶 分形树叶(续1) 。