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1、第三章：伪随机编码理论第三章：伪随机编码理论3.1 有限域理路简介有限域理路简介3.2 伪随机编码的基本概念伪随机编码的基本概念3.3 伪随机编码的分类及结构原理伪随机编码的分类及结构原理3.4 m序列序列3.5 Gold序列序列3.6 M序列序列3.7 截短序列截短序列3.8 其他扩频序列其他扩频序列3.2 伪随机编码的基本理论伪随机编码的基本理论什么是伪随机编码？什么是伪随机编码？ 伪随机码伪随机码(pseudo random code)又称为噪又称为噪声码声码(pseudo noise code)，简称，简称PN码，码，是一种具有类似白噪声性质的码。瞬态是一种具有类似白噪声性质的码。瞬态
2、值服从整台分布，功率谱在很宽的频带值服从整台分布，功率谱在很宽的频带内是均匀的，而且有良好的相关特性。内是均匀的，而且有良好的相关特性。在工程上常用二元域在工程上常用二元域0，1内的元素内的元素0和和1来表示伪随机码，它具有如下特性：来表示伪随机码，它具有如下特性：（1）在每一个周期内，）在每一个周期内，0元素和元素和1元素出元素出现的次数近似相等，最多只差现的次数近似相等，最多只差1个。个。（2）在每一个周期内，长度为）在每一个周期内，长度为k比特的元比特的元素游程出现的次数比长度为素游程出现的次数比长度为k+1比特的元比特的元素游程出现的次数多一倍。素游程出现的次数多一倍。（3）序列自相关
3、函数是一周期函数，且）序列自相关函数是一周期函数，且具有双值特性，满足具有双值特性，满足 可以作为扩频码用的伪随机码应该可以作为扩频码用的伪随机码应该具备那些特点呢？具备那些特点呢？（1）伪随机信号必须具有尖锐的自相关函）伪随机信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函数值应接近数，而互相关函数值应接近0值值（2）有足够长的码周期，以确保抗侦测与）有足够长的码周期，以确保抗侦测与抗干扰的要求抗干扰的要求（3）码的数量足够多，用来作为独立地址，）码的数量足够多，用来作为独立地址，以实现码分多址的要求以实现码分多址的要求（4）工程上易于产生、加工、复制和控制）工程上易于产生、加工、复制和控制3.3
4、伪随机编码的分类及构造原理伪随机编码的分类及构造原理3.3.1 几个基本定义几个基本定义设设ai i， bi i是周期为是周期为N的两个码序列的两个码序列n n互相相关函数：互相相关函数： 如果等于如果等于0，则，则ai i， bi i正交。正交。n n自相关函数：自相关函数： 可以把二元域可以把二元域0，1映射到二元域映射到二元域-1，1上那么上面的公式可以变为：上那么上面的公式可以变为： A是码字是码字ai i， bi+ti+t对应码元相同数目，对应码元相同数目，D对应码元不相同数目对应码元不相同数目 A是码字是码字ai i， ai+ti+t对应码元相同数目，对应码元相同数目，D对应码元不
5、相同数目对应码元不相同数目+1，+1，+1，-1，+1，-1，-1-1，+1，+1，+1，-1，+1，-1N=7 A=3 D=4 伪随机码的数学定义：伪随机码的数学定义：（1）若码长为）若码长为N的周期序列的周期序列ai i的自相关的自相关函数具有函数具有 形式，则码序列形式，则码序列ai i称为为随机码，又称称为为随机码，又称狭义伪随机码。狭义伪随机码。（2）若码长为）若码长为N的周期序列的周期序列ai i的自相关的自相关函数具有函数具有 形式，则码序列形式，则码序列ai i称为广义伪随机码。称为广义伪随机码。3.4 m序列序列 二元二元m序列是一种伪随机序列，有序列是一种伪随机序列，有优良
6、的自相关函数，是狭义伪随机序列。优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。m序列易于产生和复制，在扩频技术中序列易于产生和复制，在扩频技术中得到了广泛的应用。如，在直接序列扩得到了广泛的应用。如，在直接序列扩频系统中用于扩展基带信号，在频率跳频系统中用于扩展基带信号，在频率跳变系统中用来控制频率合成器，组成跳变系统中用来控制频率合成器，组成跳频图案。频图案。3.4.1 m序列的定义序列的定义 r级线性移位寄存器所产生的非级线性移位寄存器所产生的非零序列零序列ai i的周期为的周期为 ，称，称ai i是最大周期的是最大周期的r级线性移位寄存级线性移位寄存器序列，简称器序列，简称m序列。序列。 f(x)
7、称为本原多项式，产生称为本原多项式，产生m序列序列的特征多项式不可约多项式。的特征多项式不可约多项式。3.4.2 m序列的性质序列的性质1. 1.m序列的随机特性序列的随机特性（1）0-1分布特性。在一个周期内元素分布特性。在一个周期内元素0出现，元素出现，元素1出现，出现，1比比0多出现一次。多出现一次。（2）游程特性。在一个周期内共有）游程特性。在一个周期内共有 个个元素游程，其中元素元素游程，其中元素0的游程和的游程和1游程游程各占一半；各占一半；（3）移位相加特性。）移位相加特性。2. m序列的自相关函数序列的自相关函数+1，+1，+1，-1，+1，-1，-1+1，+1，+1，-1，+
8、1，-1，-1-+1， +1， +1， +1， +1， +1=7+1，+1，+1，-1，+1，-1，-1-1， +1，+1，+1，-1，+1，-1-1， +1， +1，-1， -1，-1，+1=-1 m码的自相关函数：将码的自相关函数：将m序列的每一个序列的每一个比特变换为宽度为比特变换为宽度为Tc，幅度为，幅度为1的波形的波形函数，函数，0元素取正极性，元素取正极性，1取负极性。取负极性。3. m序列的功率谱密度函数序列的功率谱密度函数m码功率谱的几个特点：码功率谱的几个特点：（1）m码的功率谱是离散的。码的功率谱是离散的。（2）m码的功率谱密度函数具有抽样函数码的功率谱密度函数具有抽样函数
9、的包络。的包络。（3）m码的功率谱的带宽有码元持续时间码的功率谱的带宽有码元持续时间Tc决定，与码长决定，与码长N无关。无关。（4）m码的直流分量与码的直流分量与N2 2成反比。成反比。4. m序列的互相关函数序列的互相关函数5. m序列的构造序列的构造 首选要确定本原多项式，然后根据本首选要确定本原多项式，然后根据本原多项式构造出原多项式构造出m序列移位寄存器结构逻序列移位寄存器结构逻辑图。辑图。例子：例子：r=5，N=31的本原多项式有的本原多项式有 (45)8 8 (75)8 8 与与 (67)8 8。(45)8 8 =100101=c5,c4,c3,c2,c1,c0M序列的最长周期为什
10、么是序列的最长周期为什么是0000010100111001011101113.5 Gold序列序列 m序列因为互相关特性不是很理想序列因为互相关特性不是很理想所以作为码分多址通信的地址码时，使所以作为码分多址通信的地址码时，使得系统内的多址干扰的影响增大，而且得系统内的多址干扰的影响增大，而且作为地址码的数量比较少。作为地址码的数量比较少。 Gold序列具有良好的自相关特性序列具有良好的自相关特性和互相关特性，可以用作地址码的数量和互相关特性，可以用作地址码的数量远大于远大于m序列，而且易于实现、结构简序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到了广泛的应用。单，在工程上得到了广泛的应用。3.5
11、.1 m序列优选对序列优选对 在在m序列集中，其互相关函数绝对值的序列集中，其互相关函数绝对值的最大值最大值 最接近互相关下限的一最接近互相关下限的一对对m序列。序列。 则则ai i和和bi i构成构成m序列优选对。序列优选对。3.5.2 Gold序列族序列族 1967年年R.Gold指出：给定移位寄存指出：给定移位寄存器级数器级数r时，总可以找到一对互相关函时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数和互相关函数均是有界而且自相关函数和互相关函数均是有界的。
12、这个新的码组被称为的。这个新的码组被称为Gold码或码或Gold序列。序列。 由两个由两个r次本原多项式产生的次本原多项式产生的m序序列可以组合出列可以组合出两种两种Gold序列移位寄存器结构：序列移位寄存器结构：乘积型：乘积型：模模2合型：合型：Gold码周期为：码周期为： Gold序列的互相关系数都比较小，而且序列的互相关系数都比较小，而且有有3值特性值特性3.5.4 平衡平衡Gold序列序列 在一个周期内，平衡码序列中在一个周期内，平衡码序列中1码码元与元与0码元的个数之差为码元的个数之差为1，非平衡中，非平衡中1码元与码元与0码元的个数之差多于码元的个数之差多于1。n n平衡吗具有良好
13、的频谱特性，没有载波泄露。3.5.5 平衡平衡Gold码的产生方法码的产生方法特征相位：特征相位： 每一个最大长度序列都具有特征相位，当序每一个最大长度序列都具有特征相位，当序 列处于特征相位时，序列每隔一位抽样与原序列处于特征相位时，序列每隔一位抽样与原序列一样。列一样。1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 11 1 1 0 1 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1例如：求本原多项式为 的特征相位 ？特征多项式由 来确定。 由下面的公式决定：原序列： 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0抽序列
14、： 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0长除后的结果：因为特征相位为111（r=3） 处于特征相位的序列ai和bi，当bi的第一个0对应与ai的第一个1时，模2和后产生的Gold序列就是平衡Gold序列列：设列：设r=5r=5的优选对：的优选对：生成函数：生成函数：特征相位长除后：特征相位长除后：ai=1110110011100001101010010001bi=100001010111011000111110011000001 0010 00101 01010 01011 01110 01100 00011 00111 01111 00110 01101 010001 00100 01
15、000 共可以产生17个平衡Gold码3.6 M序列序列 最长非线性移位寄存器序列，有最长非线性移位寄存器序列，有r级非线性移位寄存器产生的码长为级非线性移位寄存器产生的码长为 的周期序列。（也称全长序列）的周期序列。（也称全长序列） M序列可以在序列可以在m序列的基础上实现。序列的基础上实现。在在m序列上插入一个全序列上插入一个全0状态就可以得状态就可以得到到M序列。序列。10000 10000 000000000 000000000 000000001 000000001MM序列的生成多项式：序列的生成多项式：例:对于本原多项式 产生的m序列加长称为M序列。M序列的随机特性：（1）在一个周
16、期内0，1出现各占一半（2）游程特性（3）不具备移位相加特性。自相关函数已经不再是双值特性，而是多值特性。M序列的优点在于数量多。序列的优点在于数量多。3.7 截短序列截短序列 实现产生给定任意长度的序列常常实现产生给定任意长度的序列常常采用截取采用截取m序列某一段子序列，从而得序列某一段子序列，从而得到了缩短了的到了缩短了的m序列，称为截短序列。序列，称为截短序列。截短方法（截短后的长度为截短方法（截短后的长度为N）：）：（1）原）原m序列序列ai循环左移循环左移N得到得到ai+N再求他们的模再求他们的模2和序列和序列bi（2）bi中找出中找出100000（r-1个个0）（3）和）和1000
17、00对应的对应的ai+N状态就是状态就是跳跃点跳跃点例子：例子： 的的m序列序列 N=15， 阶段成阶段成 的序列。的序列。ai =010011010111100 和和1000对应的对应的状态状态ai+11=110001001101011 是是1100，因此，因此1100bi =100010011010111 就是跳跃点就是跳跃点0100 0100 1001 1001 0011 0011 0110 0110 1101 1101 1010 1010 0101 0101 1011 1011 0111 0111 1111 1111 1110 1110 1100 1100 1000 1000 0001
18、 0001 0010 0010 0100 0100 1001 1001 0011 0011 0110 0110 1101 1101 1010 1010 0101 0101 1011 1011 0111 0111 1111 1111 1110 1110 1100 1100 3.8 其他扩频序列其他扩频序列3.8.1 混沌序列混沌序列 混沌现象是在非线性动态系统中出混沌现象是在非线性动态系统中出现的确定性，类似伪随机过程。这种过现的确定性，类似伪随机过程。这种过程既没有周期又不收敛，并且对初值有程既没有周期又不收敛，并且对初值有极其敏感的依赖性，呈现出类随机行为极其敏感的依赖性，呈现出类随机行为的
19、确定性系统。的确定性系统。分类：分类： 以微分方程表述的时间连续系统以微分方程表述的时间连续系统 以动态方程表述的时间离散系统以动态方程表述的时间离散系统一个离散时间动态系统的定义：一个离散时间动态系统的定义： 初值初值x0一旦被确定后续的值都可以通过一旦被确定后续的值都可以通过迭代求出。迭代求出。优点：优点： 混沌序列的数量非常多。长度没有限制混沌序列的数量非常多。长度没有限制 没有周期性所以保密性非常好。没有周期性所以保密性非常好。1. Tent-Map 混沌系统混沌系统统计特性：统计特性：（1）（）（0，1）上均匀分布）上均匀分布（2）均值）均值 Ex=0.5（3）自相关函数）自相关函数
20、2. Logistic-Map 混沌系统混沌系统3.5699r=4 时具有混沌状态时具有混沌状态统计特性：统计特性：（1）概率密度函数）概率密度函数（2）均值）均值 Ex=0.5（3）自相关函数）自相关函数3.8.2 正交序列正交序列 互相关值等于互相关值等于0的序列称为正交序列。的序列称为正交序列。1 哈达玛（Hadamard）矩阵 法国数学家M.J.Hadamard于1893年首先构造出来，简记为H矩阵2阶阶H矩阵矩阵高阶高阶H矩阵矩阵2. 沃尔什序列沃尔什序列n nWalsh函数是一种非正弦的完备正交函数系。函数是一种非正弦的完备正交函数系。n n1923年沃尔什（年沃尔什（J.L.Wa
21、lsh)提出了关于这种提出了关于这种函数的完备数学理论。函数的完备数学理论。n n具有理想的互相关特性，彼此完全正交。具有理想的互相关特性，彼此完全正交。n n在在IS-95中，正向传输信道使用了中，正向传输信道使用了64阶俄沃阶俄沃尔什函数。尔什函数。 0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000
22、000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1 0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101 1 0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101 1 0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101 1 0101
23、010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101 2 0011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011 2 0011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011 2 0011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011 2 001100110011001100110011001100110011
24、0011001100110011001100110011 3 0110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110 3 0110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110 3 0110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110 3 0110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110 4 0
25、000111100001111000011110000111100001111000011110000111100001111 4 0000111100001111000011110000111100001111000011110000111100001111 4 0000111100001111000011110000111100001111000011110000111100001111 4 0000111100001111000011110000111100001111000011110000111100001111 5 010110100101101001011010010110100
26、1011010010110100101101001011010 5 0101101001011010010110100101101001011010010110100101101001011010 5 0101101001011010010110100101101001011010010110100101101001011010 5 0101101001011010010110100101101001011010010110100101101001011010 6 0011110000111100001111000011110000111100001111000011110000111100
27、6 0011110000111100001111000011110000111100001111000011110000111100 6 0011110000111100001111000011110000111100001111000011110000111100 6 0011110000111100001111000011110000111100001111000011110000111100 7 0110100101101001011010010110100101101001011010010110100101101001 7 011010010110100101101001011010
28、0101101001011010010110100101101001 7 0110100101101001011010010110100101101001011010010110100101101001 7 0110100101101001011010010110100101101001011010010110100101101001 8 0000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111 8 00000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111
29、11 8 0000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111 8 0000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111 9 0101010110101010010101011010101001010101101010100101010110101010 9 0101010110101010010101011010101001010101101010100101010110101010 9 010101011010101001010101101
30、0101001010101101010100101010110101010 9 0101010110101010010101011010101001010101101010100101010110101010 10 10 10 10 0011001111001100001100111100110000110011110011000011001111001100001100111100110000110011110011000011001111001100001100111100110000110011110011000011001111001100001100111100110000110011110011000011001111001100001100111100110000110011110011000011001111001100n作业作业 3-1 3-6 3-73-1 3-6 3-7
