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1、 第10章 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用一一 、格林公式、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 格林公式格林公式则有则有( 格林公式格林公式 )定理定理1. 设设区域区域 D 是由是由分段光滑分段光滑正向正向曲线曲线 L 围成围成,函数函数在在 D 上具有上具有连续一阶偏导数连续一阶偏导数,定理1 目录 上
2、页 下页 返回 结束 则则1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且证明证明:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 同理可证同理可证即即、两式相加得两式相加得:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 证毕证毕为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割证证: 由题由题意意则则利用利用格林公式格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 取正向，证取正向，证明明例例1.格林公式格林公式:定理
3、1 目录 上页 下页 返回 结束 并计并计算算椭圆椭圆所围图形的面积所围图形的面积A。例例2.分段光滑分段光滑正向正向曲线曲线 L围成围成 区域区域 D，证明，证明 D的面积的面积证证: 由题意由题意则则利用利用格林公式格林公式 取取则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 为利用为利用格林公式格林公式, 添添加加与与L 围成区域围成区域D , 原式原式从 O (0, 0) 到 A (4, 0).圆周圆周其中其中L 为上半为上半例例3. 计算计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 L 所围区域为所围区域为D,若若利用格林公式利用格林公式的分段光滑的分段光滑正向闭曲线正向闭曲线. 其
4、中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点例例4. 计算计算解解: 由题由题意意若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在D 内作内作取逆时针方向取逆时针方向,若若记记 L 和和 l 所围区域为所围区域为利用利用格林公式格林公式 , 对对机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是是单单连通域连通域 ,函数函数在在D 内内(1) 沿沿D内内 任一按段任一按段光滑闭曲线光滑闭曲线 L , 有有具有一阶具有一阶连续偏导数连续偏导数, 则以下四个条件等价则以下四个条件等价:(3) 是是D 内某二元函数
5、内某二元函数的全微分的全微分,即即 在在 D 内恒成立。内恒成立。(4)与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. (2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 设设为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1)证明证明 (1) (2)定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则同理可证同理可证因此有因此有在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分和
6、任一点和任一点B( x, y ),与与路径无关路径无关,有函数有函数 证明证明 (2) (3)定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使使得得则则P, Q 在在 D 内具有连续的内具有连续的偏导数偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有证明证明 (3) (4)定理2 目录 上页 下页 返回 结束 设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,所围区域为所围区域为(如图如图) ,利用利用格林公式格林公式 , 得得证毕证毕证明证明 (4) (1)或或说明说明:根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则3
7、) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy 在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点则原函数为则原函数为取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 设设则则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使机动 目录 上页 下页 返回 结束 。出这个函数出这个函数. 是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求例例5. 验证验证证证: 令令则则由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 数数 , 并求出它并求出它
8、. 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函例例6. 验证验证或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）任一简单闭曲线包围的区域）任一简单闭曲线包围的区域不含有原点不含有原点 ；（2）以原点为圆心的任一圆周。）以原点为圆心的任一圆周。 其中其中L为：为：补充例题补充例题1：计算计算解解: 由题由题意意P、Q在在不含原点不含原点的任意区域内具有一阶的任意区域内具有一阶连续偏导数连续偏导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）这个曲线积分与路径无关，所以）这个曲线积分与路径无关，所以（2）由这一圆周所包围的区域内）由这一圆周所包围的区
9、域内含有原点含有原点，因此，因此，不满足定理不满足定理2及格林公式的条件，及格林公式的条件，只能直接计算只能直接计算，这，这一圆周一圆周L的参数方程为的参数方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中例例2. 计算计算沿逆时针方向。沿逆时针方向。解解: 由题由题意意适当选取适当选取 作圆作圆周周机动 目录 上页 下页 返回 结束 使使L1包含在包含在L的内部，并取的内部，并取L1的方向为顺时针的方向为顺时针,则则P、Q在在L、L1所包围的区域所包围的区域 D内有连续的一阶偏导数，且内有连续的一阶偏导数，且L、L1构成构成D的边界，由格林公式的边界，由格林公式机动 目录 上页 下页 返回
10、结束 常见错误常见错误：错误原因错误原因：P、Q及其一阶偏导数在及其一阶偏导数在（0，0）点点没有没有意义意义，故不能直接利用格林公式。，故不能直接利用格林公式。机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中C为为单位圆周单位圆周的正向的正向.例例3. 计算计算解解: 因因C包围的区域中有洞包围的区域中有洞(0,0)，则，则不能用格林公式。不能用格林公式。积分比较繁琐，利用环绕同一些洞闭曲线（同方向）积分比较繁琐，利用环绕同一些洞闭曲线（同方向）如果直接用曲线如果直接用曲线C的参数方程的参数方程则则的积分相同，来计算就比较方便，取椭圆的积分相同，来计算就比较方便，取椭圆机动 目录 上页 下页 返
11、回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算计算顺时针顺时针.其中其中解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：利用利用L的方程简化被积函数。的方程简化被积函数。内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价条件等价条件1. 格林公式格林公式在在 D 内与路径无关内与路径无关.设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有在在 D 内有内有思考与练习思考与练习设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用利用格林公式格林公式 .原式原式 =的半圆的半圆, 计算计算到点到点从点从点依逆时针依逆时针备用题备用题 1. 设设 C 为沿为沿解解: 令令, 则则利用利用格林公式格林公式 , 有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , 2. 计算计算作业作业P215 4 ; 5 ; 9 ; 10(1)第四节 目录 上页 下页 返回 结束
