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1、第2课时 分析法 利用利用已知条件已知条件和某些数学和某些数学定义、定理、公理定义、定理、公理等等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推导出所要证明最后推导出所要证明的结论成立的结论成立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. .其特点是其特点是:“:“由因导果由因导果”. . 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. . 则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为: :综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时综合法是
2、万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难候进展更难. .会需要高超的技巧，深刻的解题指导思会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想想. . 但开头难怎么办？如何找到开头呢？但开头难怎么办？如何找到开头呢？1.1.结合已合已经学学过的数学的数学实例，了解直接例，了解直接证明的两种明的两种 基本方法之一的分析法基本方法之一的分析法. . （重点）（重点）2.2.了解分析法的思考了解分析法的思考过程、特点程、特点. . （难点）点）探究点探究点 分析法的定分析法的定义引例：证明不等式：引例：证明不等式： 证法证法1:1:因为因为 所以所以所以所以所以所以 成立成立证法证法1:1:因为因为所以所以所以
3、所以所以所以 成立成立只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法证法证法2:2:要证要证思考：思考：上述两种证法有什么异同？上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止要证明的结论为止. . 综合法综合法相同相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立
4、的条件结论成立的条件. . 分析法分析法分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下： 一般地，从要证明的一般地，从要证明的 出发，逐步寻出发，逐步寻求使它成立的求使它成立的 ，直至最后，把要证明的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法. .其特点是：其特点是：执果索因，即要证结果执果索因，即要证结果Q Q，只需，只需证条件证条件P.P
5、.分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）结论结论充分条件充分条件得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件 类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法法. .用用P Pi i表示使所要证明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表表示所要证明的结论示所要证明的结论, ,则分析法的思路过程，特点用则分析法的思路过程，特点用框图表示为框图表示为: :注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等. . 分析：分析：从待证不等式
6、不易发现证明的出发点，从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件分条件. . 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由但由于我们很难想到从于我们很难想到从“2125”入手，所以用综入手，所以用综合法比较困难合法比较困难.【提升总结提升总结】【变式练习变式练习】 求证：求证：证法一：证法一：为了证明为了证明成立成立.因为因为所以只需证明所以只需证明成立成立展开得展开得即即因为因为成立，成立，成立成立.所以所以证
7、法二：证法二：例例2 2 如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂垂足为足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂足为垂足为F,F,求证求证AFSC.AFSC.F FE ES SC CB BA A分析：分析：本例所给的已知条件中，本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因定如何在证明中使用它们，因而综合法比较困难而综合法比较困难. .这时，可以这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件分条件. .证
8、明证明: : 证法一：要证证法一：要证 AFSCAFSC只需证只需证 SCSC平面平面AEFAEF只需证只需证 AESCAESC只需证只需证 AEAE平面平面SBCSBC只需证只需证 AEBCAEBC只需证只需证 BCBC平面平面SABSAB只需证只需证 BCSABCSA由由SASA平面平面ABCABC可知，上式成立可知，上式成立. .所以所以AFSCAFSC成立成立还有其他证还有其他证明方法吗？明方法吗？证法二证法二: :因为因为 SA SA平面平面ABABC C所以所以 AEBC AEBC又因为又因为AESB,AESB,且且BCSB=BBCSB=B所以所以 AE AE平面平面SBCSBC所
9、以所以 AESC AESC又因为又因为EFSC,EFSC,且且AEEF=EAEEF=E所以所以 SC SC平面平面AEFAEF所以所以 AFSC AFSC所以所以 BCSABCSA所以所以 BC BC平面平面SABSAB又因为又因为ABBC,ABBC,且且ABSA=AABSA=A分析：分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角 ,因此第一步工作可以从已知条件中消去因此第一步工作可以从已知条件中消去 .观察已知观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（sin +cos )2-2sin cos =1,于是，由于是
10、，由(1)2-2(2)得得4sin2-2sin2=1. 把把4sin2-2sin2=1与结论相比较，发现角相与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论把结论转化为转化为cos2-sin2= (cos2-sin2),再与再与4sin2-2sin2=1比较，发现只要把比较，发现只要把cos2-sin2= (cos2-sin2)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.由于上式与（由于上式与（3 3）相同，于是问题得证
11、）相同，于是问题得证. .【提升总结提升总结】 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法. .在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件知条件. .综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题. .对于解对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为答证明来说，分析法表现为执果索因，综
12、合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛应用十分广泛. .1.1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法则用综合法，否则用分析法. .2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性语言的规范性和逻辑性. .3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点点. . 坚决的信心，能使平凡的人们，做出惊人的事业.马尔顿
