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1、第二章第二章 矩阵矩阵第一章第一章 行列式行列式第三章第三章 向量向量线性代数线性代数线性代数线性代数第四章第四章 线性方程组线性方程组第六章第六章 二次型二次型第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 1 行列式的定义行列式的定义3 行列式的展开定理行列式的展开定理第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式4 克拉默法则克拉默法则 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义一、二阶一、二阶、三阶行列式三阶行列式二二、排列及其逆序数排列及其逆序数三三、n阶行列式的定义阶行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义
2、行列式的定义行列式的定义用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组1、二阶行列式的引入、二阶行列式的引入一、二阶一、二阶、三阶行列式三阶行列式 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若
3、记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例例例1 1 1 1解解 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义2、三阶行列式、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6
4、6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. . 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的
5、定义行列式的定义 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义若记若记或或 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:得得 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例例例
6、解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组个数很多的线性方程组如如n元一次线性方程组元一次线性方程组:它的它的解解是否也有类似的结论呢？是否也有类似的结论呢？ 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义为此，我们需要解决如下问题：为此，我们需要解决如下问题：2 2）n阶行列式的性质与计算？阶行列式的性质与计算？1 1）怎样
7、定义）怎样定义n阶行列式？阶行列式？3 3）方程组）方程组( () )在什么情况下有解？在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？有解的情况下，如何表示此解？ 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义1、概念的引入、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种种放法放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义2、全排列及其逆序
8、数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数
9、排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和
10、即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在
11、排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1; 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1; 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
12、奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义1、概念的引入、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积三、三、n n阶行列式的定义阶行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于
13、不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义2、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;
14、2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为的符号为 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计
15、算上计算上三角行列式三角行列式 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例3 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式（熟记）（熟记） 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义
16、则依行列式定义证毕证毕 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义练习练习：计算行列式计算行列式答案：答案： 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义3 3、对换、对换定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义对换与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素
17、对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一
18、个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证
19、明证明按按行列式定义有行列式定义有 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之, 对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 1 1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.
