线性规划模型和单纯形法课件

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1、运筹学运筹学Operations Research第第 1 章章 线性规划模型和单纯形法线性规划模型和单纯形法Linear Programming and Simplex Method1.1LP的数学模型及标准型的数学模型及标准型1.2图解法图解法 1.31.理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用及生产中的应用2.掌握线性规划数学模型的组成及其特征掌握线性规划数学模型的组成及其特征3.清楚线性规划数学模型的一般表达式。清楚线性规划数学模型的一般表达式。1.1 线性规划线性规划数学模型数学模型 Mathematical Model of

2、Linear Programming线性规划线性规划（Linear Programming,缩写为缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原

3、标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。、利润最大）。【例【例1.11.1】最优生产计划问题。】最优生产计划问题。某某企企业业在在计计划划期期内内计计划划生生产产甲甲、乙乙、丙丙三三种种产产品品。这这些些产产品品分分别别需需要要要要在在设设备备A A、B B上上加加工工，需需要要消消耗耗材材料料C C、D D，按按工工艺艺资资料料规规定定，单单件件产产品品在在不不同同设设备备上上

4、加加工工及及所所需需要要的的资资源源如如表表1.11.1所所示示。已已知知在在计计划划期期内内设设备备的的加加工工能能力力各各为为200200台台时时，可可供供材材料料分分别别为为360360、300300公公斤斤；每每生生产产一一件件甲甲、乙乙、丙丙三三种种产产品品，企企业业可可获获得得利利润润分分别别为为4040、3030、5050元元，假假定定市市场场需需求求无无限限制制。企企业业决决策策者者应应如如何何安安排排生生产产计计划划，使使企企业业在在计计划划期期内内总总的的利润收入最大？利润收入最大？1.1.1 应用模型举例应用模型举例 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设

5、备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50表表1.1 产品资源消耗产品资源消耗【解】设【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：为： 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资现有资源源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50最优解最优解X=(50,30,10);Z=3400目标函数目标函数

6、资源约束资源约束线性规划的数学模型由线性规划的数学模型由 决策变量决策变量 Decision variables 目标函数目标函数 Objective function约束条件约束条件 Constraints构成。称为三个要素构成。称为三个要素。n其特征是：其特征是：n1解决问题的解决问题的目标函数目标函数目标函数目标函数是多个决策变量的是多个决策变量的线性线性函数，函数，通常是求最大值或通常是求最大值或 最小值；最小值；n2解决问题的解决问题的约束条件约束条件约束条件约束条件是一组多个决策变量的是一组多个决策变量的线性线性不不等式或等式。等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一

7、个模型是线性规划模型？【例例1.2】某某商商场场决决定定：营营业业员员每每周周连连续续工工作作5天天后后连连续续休休息息2天天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。所示。表表1.2 营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400【解】【解】 设设 xj(j=1，2，7)为休息为休息2天后星期一到星期日

8、开天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人数人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400目标函数：总人数最少目标函数：总人数最少约束条件：上班人数大于每天需要人数约束条件：上班人数大于每天需要人数1 1 X1X10 0 C1C1404404 =3003001041042 2 X2X26767 C2C2301301 =3003001 13 3 X3X3146146 C3C3350350 =3503500 04 4 X4X4170170 C4C4400400 =

9、4004000 05 5 X5X59797 C5C5480480 =4804800 06 6 X6X6120120 C6C6600600 =6006000 07 7 X7X71717 C7C7550550 =5505500 0最优解：最优解： Z617（人）（人）【例【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为钢长度为4 m。现在要制造。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来

10、生产这些轴？辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】这是个条材下料问题【解】这是个条材下料问题 ，设切口宽度为零。，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表表示，求这个不等式关于示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有组，也就是有10种下料方式，如表种下料方式，如表1.3所示。所示。表表13 下料方案下料方案 方案方案规格规格 1234 5678910

11、需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5设设xj( j= 1,2,10)为为第第j种种下下料料方方案案所所用用圆圆钢钢的的根根数数。则则用用料料最最少数学模型少数学模型为为为为: : 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.

12、20.5求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。初选。1 1 X1X15005002 2 X2X20 03 3 X3X30 04 4 X4X40 05 5 X5X50 06 6 X6X662.562.57 7 X7X70

13、 08 8 X8X80 09 9 X9X92502501010 X10X100 0Z812.5最优解：最优解：【例例1.4】配配料料问问题题。某某钢钢铁铁公公司司生生产产一一种种合合金金，要要求求的的成成分分规规格格是是：锡锡不不少少于于28%，锌锌不不多多于于15%，铅铅恰恰好好10%，镍镍要要界界于于35%55%之之间间，不不允允许许有有其其他他成成分分。钢钢铁铁公公司司拟拟从从五五种种不不同同级级别别的的矿矿石石中中进进行行冶冶炼炼，每每种种矿矿物物的的成成分分含含量量和和价价格格如如表表1.4所所示示。矿矿石石杂杂质质在在治治炼炼过过程程中中废废弃弃，现现要要求求每每吨吨合合金金成成本

14、本最最低低的的矿矿物物数数量量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表表1.4 矿石的金属含量矿石的金属含量 合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍% 杂质杂质费用（元费用（元/t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解解: 设设xj（j=1,2，5）是第）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模种矿石数量，得到下列线性规划模型型 矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）1251010253034024000303026030155

15、20601804202004020230585151755190注注意意，矿矿石石在在实实际际冶冶炼炼时时金金属属含含量量会会发发生生变变化化，建建模模时时应应将将这这种种变变化化考考虑虑进进去去，有有可可能能是是非非线线性性关关系系。配配料料问问题题也也称称配配方方问问题题、营营养养问问题题或或混混合合问问题题，在在许许多多行业生产中都能遇到。行业生产中都能遇到。1 1 X1X10 02 2 X2X20.33330.33333 3 X3X30 04 4 X4X40.58330.58335 5 X5X50.66670.6667最优解：最优解： Z=347.5第五年：第五年：(x7/2+x9)=

16、x8+2x5第一年：第一年：x1+x2=200(万元万元)第二年：第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2第三年第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型，整理后得到下列线性规划模型 【解】设【解】设 x1：第一年的投资；：第一年的投资； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金：第三年的保留资金 x7：第四

17、年新的投资：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金【例【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。所掌握的资金最多。1 1

18、X1X155.284655.28462 2 X2X2144.7155144.71553 3 X3X3117.0732117.07324 4 X4X40 05 5 X5X552.032552.03256 6 X6X60 07 7 X7X7208.1301208.13018 8 X8X80 09 9 X9X90 0最优解：最优解：Z 416.26万元万元x1：第一年的投资；：第一年的投资； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金：第三年的保留资金 x

19、7：第四年新的投资：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金【例例1.6】均均衡衡配配套套生生产产问问题题。某某产产品品由由2件件甲甲、3件件乙乙零零件件组组装装而而成成。两两种种零零件件必必须须经经过过设设备备A、B上上加加工工，每每件件甲甲零零件件在在A、B上上的的加加工工时时间间分分别别为为5分分钟钟和和9分分钟钟，每每件件乙乙零零件件在在A、B上上的的加加工工时时间间分分别别为为4分分钟钟和和10分分钟钟。现现有有2台台设设备备A和和3台台设设备备B，每每天天可可供供加加工工时时间间为为8小小时时。为为了了保保持持两两种种设设备

20、备均均衡衡负负荷荷生生产产，要要求求一一种种设设备备每每天天的的加加工工总总时时间间不不超超过过另另一一种种设设备备总总时时间间1小小时时。怎怎样样安安排排设设备备的的加加工工时时间间使使每每天天产产品品的的产量最大。产量最大。【解】【解】 设设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是设备设备A、B每天加工工时的约束为每天加工工时的约束为要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束小时的约束为为 目标函数线性化。产品的产量目标函数线性化。产品的产量y等价于等价于整理得到线性

21、规划模型整理得到线性规划模型 约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式【例例1.7】（书书上上P4例例1.1-1题题）饼饼干干生生产产问问题题。某某厂厂生生产产两两类类饼饼干干，需需搅搅拌拌机机A1，成成形形机机A2 ，烘烘箱箱A3三三种种设设备备，每每天天的的所所需需机机时时及及机机时时限限制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？【解】【解】 设设x1、x2为每天生产为每天生产 、 两种饼干的产量（单位：吨），则两种饼干的产量（单位：吨），则目标函数是目标函数是产品资源产品资源每天

22、现每天现有工时有工时搅拌机搅拌机A13515成形机成形机A2215烘箱烘箱A32211利润利润/（百元（百元/吨）吨）54约束条件有：约束条件有：搅拌机约束搅拌机约束成形机约束成形机约束烘箱约束烘箱约束非负约束非负约束本问题的数学模型本问题的数学模型【例例1.8】（书书上上P6例例1.1-2题题）运运输输问问题题。总总公公司司收收到到上上海海B1，青青岛岛B2 ，西西安安B3三三家家商商场场的的电电机机订订单单，需需求求分分别别为为100台台，80台台，90-120台台，现现有有北北京京A1，武武汉汉A2二二个个仓仓库库，库库存存分分别别为为200台台，150台台，所所需需运运费费如下表，问如

23、何调运电机，可使总运费最少？如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？B1B2B3库存库存A1152118200A2202516150需求需求1008090-120【解】【解】 设设 xij为从仓库为从仓库 Ai调到商场调到商场 Bj的电机数量（的电机数量（i=1,2, j=1,2,3），），则目标函数是则目标函数是库存约束库存约束需求约束需求约束非负约束非负约束问题的数问题的数学模型学模型小结：建立线性规划数学模型小结：建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。关键的一步。建立正确的数学模型要掌握建立正确的数学模型要掌握3个要素

24、：个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。作业：作业：第1次作业.doc1.1.2 线性规划的一般模型及标准形线性规划的一般模型及标准形一一般般地地，假假设设线线性性规规划划数数学学模模型型中中，有有m个个约约束束，有有n个个决决策策变变量量xj, j=1,2,n，目目标标函函数数的

25、的变变量量系系数数用用cj表表示示, cj称称为为价价值值系系数数。约约束束条条件件的的变变量量系系数数用用aij表表示示，aij称称为为工工艺艺系系数数。约约束束条条件件右右端端的的常常数数用用bi表表示示，bi称称为为资资源源限限量量。则则线线性性规规划划数数学学模模型型的的一一般般表表达达式可写成式可写成为了书写方便，上式也可写成：为了书写方便，上式也可写成： 在实际中一般在实际中一般xj0,但有时但有时xj0或或xj无符号限制。无符号限制。线性规划的线性规划的一般模型一般模型线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问在

26、用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。线性规划问题的标准型为线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程约束条件都为等式方程3变量变量xj非负非负4常数常数bi非负非负max(或或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn注：本教材默认目标函数是注：本教材默认目标函数是 min或写成下列形式或写成下列形式：或用矩阵形式或用矩阵形式通常通常 x记为：记为： 称为约束方称为约束方程的系数矩阵，程的系数矩阵，m是约束方程的个数，是约束方程的个数，n是决

27、策变量的个数，是决策变量的个数，一般情况一般情况mn，且，且r()m。其中其中:如何将一般模型化为标准形如何将一般模型化为标准形对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边加入一个非的不等式，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式。负变量（称为松驰变量），使之变为等式。对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边减去一个非的不等式，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式。负变量（称为剩余变量），使之变为等式。对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如x1无符号限制，则令无符

28、号限制，则令x1=x2x3， x2x3为非负变量。为非负变量。【例【例1.9】将下列线性规划化为标准形】将下列线性规划化为标准形 【解】（）因为【解】（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令可取负值，标准型中要求变量非负，所以令 (2) 第一个约束条件是第一个约束条件是号，在号，在左左端加入松驰变量端加入松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；化为等式；(4)第三个约束条件是第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在号且常数项为负数，因此在左边加入左边加入松驰变量松驰变量x6，x60，同时两边乘以，同时两边乘

29、以1。 （5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到得到max Z=Z，即当，即当Z达到最小值时达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。达到最大值，反之亦然。 (3)第二个约束条件是第二个约束条件是号，在号，在 左左端减去剩余变量端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量。也称松驰变量综合起来得到下列标准型综合起来得到下列标准型 当某个变量当某个变量xj0时时,令令x/j=xj。 当某个约束是绝对值不等式当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束时，将绝对值不等式化为两个不等式

30、，再化为等式，例如约束 将其化为两个不等式将其化为两个不等式 再加入松驰变量化为等式。再加入松驰变量化为等式。 【例例1.10】将下例线性规划化为标准型】将下例线性规划化为标准型【解】解】 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令令 则有则有得到线性规划的标准形式得到线性规划的标准形式 对于对于axb(a、b均大于零均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方的有界变量化为标准形式有两种方法。法。 一种方法是增加两个约束一种方法是增加两个约束xa及及xb 另一种方法是令另一种方法是令x=xa，则，则axb等价于等价于0 xba，增加，增加一个约束一个约束xba并且

31、将原问题所有并且将原问题所有x用用x= x+a替换。替换。1.如何化标准形式？如何化标准形式？ 可以对照四条标准逐一判断！可以对照四条标准逐一判断！ 标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。2.用用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材作业：教材P63 T2，3，6，8，10中的线性规划化为标准形。中的线性规划化为标准形。下一节：图解法下一节：图解法1.2 图解法图解法Graphica

32、l Method若若x*满足约束条件，则称之为满足约束条件，则称之为LP问题的问题的可行解可行解。所有可行解的集合称为所有可行解的集合称为可行域可行域。使目标函数达到最优值的可行解称为使目标函数达到最优值的可行解称为最优解最优解。对给定的对给定的LP问题，若存在最优解，则称该问题，若存在最优解，则称该LP问题有解问题有解，否则，否则称称LP问题无解问题无解。线性规划线性规划的标准形的标准形几个概念几个概念图解法的步骤：图解法的步骤：1.求可行解集合。求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为区域，其交集就是可行解

33、集合，或称为可行域可行域；2.绘制目标函数图形。绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大

34、值时直线沿着矢量方向移动求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动x1x2O1020304010203040(3,4)(15,10)最优解最优解X=(15,10)最优值最优值Z=85例例1.11246x1x2246最优解最优解X=(3,1)最优值最优值Z=5(3,1)minZ=x1+2x2例例1.12(1,2)246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)minZ=5x1+5x2例例1.13有无穷多个最优解有无穷多个最优解即具有多重解即具有多重解,通解为通解为 01 当当=0.5时时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5

35、(3,1)=(2,2) 246x1x2246(1,2)无界解无界解(无最优解无最优解)maxZ=x1+2x2例例1.14x1x2O10203040102030405050无可行解无可行解即无最优解即无最优解maxZ=10x1+4x2例例1.15由以上例题可知，线性规划的解有由以上例题可知，线性规划的解有4种形式种形式：1.有唯一最优解有唯一最优解(例例1.11例例1.12)2.有多重解有多重解(例例1.13)3.有无界解有无界解(例例1.14)4.无可行解无可行解(例例1.15)1、2情形为有最优解情形为有最优解3、4情形为无最优解情形为无最优解1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解

36、法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动作业：教材作业：教材P63 T1，2，3 下一节：线性规划的有关概念及基本定理下一节：线性规划的有关概念及基本定理1.4 线性规划的有关概念线性规划的有关概念Basic Concepts of LP1. 线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点（凸点）、可行解、基本解、基本（凸点）、可行解、基本解、基本 可行解、最优可行解、最优解、基

37、本最优解、基、可行基、最优基解、基本最优解、基、可行基、最优基2.线性规划的三个基本定理。线性规划的三个基本定理。凸集凸集(Convex set)设设K是是n维空间的一个点集，对任意两点维空间的一个点集，对任意两点 时，则称时，则称K为凸集。为凸集。 就就是是以以X（1）、X（2）为为端端点点的的线线段段方方程程，点点X的的位位置置由由的的值值确确定定，当当=0时时，X=X（2），当当=1时时X=X（1）凸凸组组合合(Convex combination) 设设 是是Rn中的点若存在中的点若存在 使使得得 成成立立， 则则称称X为为 的的凸组合。凸组合。极极点点(Extreme point)

38、设设K是是凸凸集集， ，若若X不不能能用用K中两个不同的中两个不同的 点点 的凸组合表示为的凸组合表示为 )10()1 ()2()1( - -+ += =a aa aa aXXX则称则称X是是K的一个极点或顶点。的一个极点或顶点。 X X是凸集是凸集K K的极点是指的极点是指X X不不可能是可能是K K中某一线段的内中某一线段的内点，只能是点，只能是K K中某一线段中某一线段的端点。的端点。 O 设线性规划的标准型设线性规划的标准型 minZ=CX （1.1）AX=b （1.2）X0 （1.3）式式中中A是是mn矩矩阵阵，mn并并且且r（A）=m，显显然然A中中至至少少有有一一个个mm子矩阵子

39、矩阵B，使得，使得r（B）=m。基基 (basis)A中中mm子矩阵子矩阵B并且有并且有r（B）=m，则称，则称B是线性规是线性规划的一个基（或基矩阵划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当）。当m=n时，基矩阵唯一，时，基矩阵唯一，当当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过【例【例1.14】线性规划】线性规划 求所有基矩阵求所有基矩阵。 【解】约束方程的系数矩阵为【解】约束方程的系数矩阵为25矩阵矩阵 容易看出容易看出r(A)=2，2阶子矩子矩阵有有C52=10个，其中第个，其中第1列与第列与第3列构成列构成的的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有

40、阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即个，即由线性代数知，基矩阵由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且必为非奇异矩阵并且|B|0。当矩阵。当矩阵B的行列式等于零（即的行列式等于零（即|B|=0）时就不是基）时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基基向量向量(basis vector)，其余列向量称为，其余列向量称为非基向量非基向量 基向量对应的变量称为基向量对应的变量称为基变量基变量(basis variable)，非基向量，非基向量对应的变量称为对应的变量称为非基变量非基变量 在在上上例例中中B2的的基基向向量量是是A

41、中中的的第第一一列列和和第第四四列列，其其余余列列向向量量是是非非基基向向量量，x1、x4是是基基变变量量，x2、x3、x5是是非非基基变变量量。基基变变量量、非非基基变变量量是是针针对对某某一一确确定定基基而而言言的的，不不同同的的基基对对应应的的基基变量和非基变量也不同。变量和非基变量也不同。可行解可行解(feasible solution) 满足式（满足式（1.2）及（）及（1.3）的解）的解x=（x1,x2，xn)T称为可行解称为可行解 。基基本本可可行行解解(basis feasible solution) 若若基基本本解解是是可可行行解解则则称称为是基本可行解（也称基可行解）。为是

42、基本可行解（也称基可行解）。 例如，例如， 与与X=(0，0，0，3，2)都是例都是例1 的可行解。的可行解。 基本解基本解(basis solution) 对某一确定的基对某一确定的基B，令非基变量等于零，令非基变量等于零，利用式（利用式（1.） 解出基变量，则这组解称为基解出基变量，则这组解称为基的基的基本解。本解。 最最优优解解(optimal solution) 满满足足式式 （1 .1）的的可可行行解解称称为为最最优优解解，即即是是使使得得目目标标函函数数达达到到最最大大值值的的可可行行解解就就是是最最优优解解，例如可行解例如可行解 是例是例2的最优解。的最优解。非可行解非可行解(I

43、nfeasible solution) 无界解无界解 (unbound solution)显然，只要基本解中的基变量的解满足式（显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.）的非负要求，）的非负要求，那么这个基本解就是基本可行解。那么这个基本解就是基本可行解。 在在例例1.13中中，对对来来说说，x1,x2是是基基变变量量，x3,x4，x5是是非非基基变变量，令量，令x3=x4=x5=0，则式（，则式（1.）为）为对对B2来说，来说，x1,x4,为基变量，令非变量为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式为零，由式（1.2）得到）得到，x4=4，因因|B1|，由克莱姆法，由克莱姆法则知，知，x

44、1、x2有唯一解有唯一解x12/5,x2=1则则 基基本解为本解为由于由于 是基本解，从而它是基本可行解，在是基本解，从而它是基本可行解，在 中中x10i表表1-4(1)XBx1x2x3x4bx3211040x4130130j3400(2)x3x2j(3)x1x2j基变量基变量110001/301/3105/31- -1/3405/30- -4/330103/5- -1/51801- -1/5 2/5400- -1- -1将将3化为化为1乘乘以以1/3后后得得到到3018最优解最优解X=(18，4，0，0)T，最优值，最优值Z=70O20301040(3,4)X(3)=(18,4)最优解最优解

45、X=(18,4)最优值最优值Z=70X(1)=(0,0)2010x2x130X(2)=(0,10)单单纯纯形形法法全全过过程程的的计计算算，可可以以用用列列表表的的方方法法计计算算更更为为简简洁洁，这种表格称为单纯形表（表这种表格称为单纯形表（表1.4）。）。计算步骤：计算步骤：1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；基变量的检验数必为零； 2.判断：判断： （a）若）若j（j，n）得到最解；）得到最解； （b）某某个个k0且且aik（i=1，2,m）则则线线性性规规划划具具有有无无界解界解(见例见例1.18

46、)。 （c）若存在）若存在k0且且aik (i=1,m)不全非正，则进行换基；不全非正，则进行换基；第第个个比比值值最最小小 ，选选最最小小比比值值对对应应行行的的基基变变量量为为出出基基变变量量，若若有相同最小比值，则任选一个。有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；为主元素； (c）求求新新的的基基可可行行解解：用用初初等等行行变变换换方方法法将将aLk 化化为为,k列列其其它它元元素素化化为为零零（包包括括检检验验数数行行）得得到到新新的的可可行行基基及及基基本本可可行解，再判断是否得到最优解。行解，再判断是否得到最优解。（b）选出基变量）选出基变量 ，求最小比值：，求最小比值：3.

47、换基：换基：（a）选进基变量）选进基变量设设k=max j | j 0,xk为进基变量为进基变量【例【例1.16】 用单纯形法求解用单纯形法求解【解】将数学模型化为标准形式：【解】将数学模型化为标准形式：不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.所示所示 。 Cj12100bCBXBx1x2x3x4x50x423210150x51/3150120j121000x42x2j1x12x2j表表151/3150120301713751/30902M2025601017/31/31250128/91/92/335/30098/91/97/3

48、最优解最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值，最优值Z=145/3【例【例1.17】用单纯形法求解】用单纯形法求解【解】【解】 这是一个极小化的线性规划问题这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题可以将其化为极大化问题求解求解,也可以直接求解也可以直接求解,这时判断标准是：这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到时得到最优解最优解。容易观察到容易观察到,系数矩阵中有一个系数矩阵中有一个3阶单位矩阵阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。为基变量。目标函数中含有基变量目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入，并代入目标函数消去目标

49、函数消去x4得得XBx1x2x3x4x5bx3x4x51- -1611210001000156215621/2j1- -1000x2x4x51- -241001- -1- -20100015111j20100表中表中j0,j=1,2,5所以最优解为所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值最优值 Z=2x12x2x4=251=11极小值问题极小值问题,注意判断标准注意判断标准,选进基变量时选进基变量时,应选应选j0,x2进进基基，而而a120，a220且且aik（i=1，2,m）则线）则线性规划具有无界解性规划具有无界解退化基本可行解的判断退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可

50、存在某个基变量为零的基本可行解。行解。在在实实际际问问题题中中有有些些模模型型并并不不含含有有单单位位矩矩阵阵，为为了了得得到到一一组组基基向向量量和和初初基基可可行行解解，在在约约束束条条件件的的等等式式左左端端加加一一组组虚虚拟拟变变量量，得得到到一一组组基基变变量量。这这种种人人为为加加的的变变量量称称为为人人工工变变量量，构构成成的的可可行行基基称称为为人人工工基基，用用大大M法法或或两两阶阶段段法法求求解解，这这种种用用人人工工变变量量作作桥梁的求解方法称为人工变量法。桥梁的求解方法称为人工变量法。【例【例1.20】用大】用大M法解法解 下列线性规划下列线性规划1. 大大M 单纯形法

51、单纯形法1.5.2大大M和两阶段单纯形法和两阶段单纯形法【解】首先将数学模型化为标准形式【解】首先将数学模型化为标准形式式式中中x4，x5为为松松弛弛变变量量，x5可可作作为为一一个个基基变变量量，第第一一、三三约约束束中中分分别别加加入入人人工工变变量量x6、x7，目目标标函函数数中中加加入入Mx6Mx7一一项项，得得到到人人工工变量单纯形法数学模型变量单纯形法数学模型用前面介绍的单纯形法求用前面介绍的单纯形法求解，见下表。解，见下表。 Cj32100MMbCBXBx1x2x3x4x5x6x7M0Mx6x5x74123121211000101000014101j3-2M2+M-1+2MM00

52、0M01x6x5x3632532001100010100381j5-6M5M0M00201x2x5x36/53/52/51000011/53/52/50103/531/511/5j50000231x2x1x301010000111025/32/31331/319/3j0005-25/3（1）初初始始表表中中的的检检验验数数有有两两种种算算法法，第第一一种种算算法法是是利利用用第第一一、三三约约束束将将x6、x7的的表表达达式式代代入入目目标标涵涵数数消消去去x6和和x7，得得到到用用非非基基变变量量表表达达的的目目标标函函数数，其其系系数数就就是是检检验验数数；第第二二种种算算法法是是利利用用

53、公式计算，如公式计算，如（2）M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；理解为它能大于给定的任何一个确定数值；最优解最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值；最优值Z152/3注意：注意：【例【例1.21】求解线性规划】求解线性规划 【解】加入松驰变量【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型化为标准型在第二个方程中加入人工变量在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上，目标函数中加上Mx5一项，一项，得到得到 用单纯形法计算如下表所示。用单纯形法计算如下表所示。 Cj5800MbCBXBx

54、1x2x3x4x50Mx3x5311210010164j5M8+2M0M05Mx1x5101/37/31/31/3010122j029/3+7/3M5/3+1/3MM0表表中中j0，j=1，2，5，从从而而得得到到最最优优解解X=（2，0，0，0，2）， Z=10+2M。但但最最优优解解中中含含有有人人工工变变量量x50说说明明这这个个解解是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。 两阶段单纯形法与大两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量从基单纯形法的目的类似，将人工变量从基变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两变量中换

55、出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标函数个阶段求解，第一阶段的目标函数是是约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶当第一阶段的最优解段的最优解w0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。问题无可行解。2. 两阶段单纯形法两阶段单纯

56、形法【例【例1.22】用两阶段单纯形法求解例】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。的线性规划。【解】标准型为【解】标准型为在第一、三约束方程中加入人工变量在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为后，第一阶段问题为用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：Cj0000011 bCBXBx1x2x3x4x5x6x7101x6x5x74123121211000101000014101j2121000100x6x5x3632532001100010100381j650100000x2x5x36/53/52/51000011/53/

57、52/50103/531/511/5j00000最最优优解解为为 最最优优值值w=0。第第一一阶阶段段最最后后一一张张最最优优表表说说明明找找到到了了原原问问题题的的一一组组基基可可行行解解，将将它它作作为为初初始始基基可可行行解解，求求原问题的最优解，即第二阶段问题为原问题的最优解，即第二阶段问题为Cj32100bCBXBx1x2x3x4x5201x2x5x36/53/52/51000011/53/52/50103/531/5 11/5j5 0000231x2x1x301010000111025/32/31331/319/3j000525/3用单纯形法计算得到下表用单纯形法计算得到下表最优解

58、最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值；最优值Z152/3【例【例1.23】用两阶段法求解例】用两阶段法求解例1.21的线性规划。的线性规划。【解】例【解】例1.21的第一阶段问题为的第一阶段问题为用单纯形法计算如下表：用单纯形法计算如下表：Cj00001bCBXBx1x2x3x4x501x3x5311210010164j1201001x1x5101/37/31/31/3010122j07/31/310j0,得到第一阶段的最优解得到第一阶段的最优解X=(2,0,0,0,2)T,最优目标值最优目标值w=20,x5仍在基变量中仍在基变量中,从而原问题无可行解。从而原问题无可行解。解

59、的判断解的判断唯一最优解的判断唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯一最优解规划具有唯一最优解 多重最优解的判断多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零最优表中存在非基变量的检验数为零,则则线则性规划具有多重最优解。线则性规划具有多重最优解。 无无界界解解的的判判断断: 某某个个k0且且aik（i=1，2,m）则则线线性性规规划具有无界解划具有无界解退化基本可行解的判断退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。存在某个基变量为零的基本可行解。无无可可行行解解的的判判断断：(1)当当用用大大M单单纯纯形形法

60、法计计算算得得到到最最优优解解并并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。(2) 当第一阶段的最优值当第一阶段的最优值w0时，则原问题无可行解时，则原问题无可行解。设有线性规划设有线性规划其中其中Amn且且r(A)=m,X0应理解为应理解为X大于等于零向量，即大于等于零向量，即xj0,j=1,2,n。1.5.3 计算公式计算公式不不妨妨假假设设A（P1，P2，Pn）中中前前m个个列列向向量量构构成成一一个个可可行行基基，记记为为B=(P1，P2，Pm)。矩矩阵阵A中中后后nm列列构构成成的的矩矩阵阵记记为为N（Pm+1,Pn）,则则A可可以以写写成成分分块

61、块矩矩阵阵A=（B，N）。对对于于 基基 B， 基基 变变 量量 为为 XB=（ x1,x2， ， xm ）T, 非非 基基 变变 量量 为为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。则则X可表示成可表示成 同理将同理将C写成分块矩阵写成分块矩阵C=（CB，CN），），CB=(C1,C2,Cm),CN=(Cm+1Cm+2，cn) 则则AX=b可写成可写成因为因为r（B）=m（或（或|B|0）所以）所以B1存在，因此可有存在，因此可有 令令非非基基变变量量XN=0，XB=B1b，由由 B是是 可可行行基基的的假假设设，则则得得到到基本可行解基本可行解X=(B1b，0)T将目标函数写成将目标函数写成

62、得到下列五个计算公式：得到下列五个计算公式：(令令XN=0)上上述述公公式式可可用用下下面面较较简简单单的的矩矩阵阵表表格格运运算算得得到到，设设初初始始矩矩阵阵单纯形表单纯形表1-15将将B化化为为I（I为为m阶阶单单位位矩矩阵阵）,CB化化为为零零,即即求求基基本本可可行行解解和和检验数。用检验数。用B1左乘表中第二行左乘表中第二行,得到表得到表1-16XBXNbXBIB-1NB-1bCj-ZjCBCN0XBXNbXBBNbCj-ZjCBCN0表表115表表116再将第二行左乘再将第二行左乘CB后加到第三行后加到第三行,得到得到XBZ0XBXNbXBIB- -1NB- -1 1bCj-Zj

63、0CN- -CBB1NCBB1b表表117五个公式的应用五个公式的应用【例【例1.24】线性规划】线性规划已知可行基已知可行基 求求(1)单纯形乘子单纯形乘子; (2)基可行解及目标值基可行解及目标值; (3)求求3; (4)B1是否是最优基是否是最优基,为什么为什么;(5)当可行基为当可行基为 时求时求1及及3。 【解解】(1)因因为为B1由由A中中第第一一列列、第第二二列列组组成成,故故x1、x2为为基基变变量量，x3、x4、x5为非基变量为非基变量,有关矩阵为有关矩阵为CB=(c1,c2)=(1,2)CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)故单纯形乘子故单纯形乘子 (2)基变量的解为基

64、变量的解为故基本可行解为故基本可行解为目标函数值为目标函数值为(3) 求求3(4) 要判断要判断B1是不是最优基是不是最优基,亦是要求出所有检验数则否满亦是要求出所有检验数则否满足足j0,j=1,5。x1,x2是基变量是基变量, 故故1=0,2=0,而而 剩下来求剩下来求4,5，由，由N计算公式得计算公式得 因因j0, j=1,5,故故B1是最优基。是最优基。(5) 因因B2是是A中中第第四四列列与与第第二二列列组组成成的的,x4、x2是是基基变变量量x1、x3、x5是非基变量是非基变量,这时有这时有即即【例【例1.26】求解线性规划】求解线性规划解解 用大用大M单纯形法，加入人工变量单纯形法

65、，加入人工变量x4、x5，构造数学模型，构造数学模型1.5.4 退化与循环退化与循环 Cj121MMbCBXBx1x2x3x4x5(1)MMx4x51429414100141618/7j15M2+11M118M00(2)1Mx3x51/41/21/22101/47/2011244j3/41/2M5/2+2M01/4+9/2M0(3)1Mx1x5102142140140j04+M3+2M1+5M0(4)12x1x2100182942140j0011M17M4(5)11x1x31041/2011221/240j015/20M17M3/2表表118单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的，很少出现不收

66、敛单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的，很少出现不收敛的情形的情形1955年年Beale提出了一个用单纯形法计算失效的模型提出了一个用单纯形法计算失效的模型加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法（按变量下加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法（按变量下标顺序）选进基变量，迭代标顺序）选进基变量，迭代6次后又回到初始表，继续迭代出现次后又回到初始表，继续迭代出现了无穷的循环，永远得不到最优解但该模型的最优解为了无穷的循环，永远得不到最优解但该模型的最优解为 X(1，0，1，0)T，Z5/41.将问题化为标准型，寻找一个初始可行基，化为典式，列出初将问题化为标准型，寻找一个初始可行基

67、，化为典式，列出初 始单纯性表；始单纯性表；2.判断基本可行解。有判断基本可行解。有3种情形：种情形：已是最优解，已是最优解，是无界解，是无界解，不能确定。不能确定。 前前2种情形计算结束，第种情形计算结束，第3种情形需要继续迭代，先进基后种情形需要继续迭代，先进基后出基，初等变换求下一个基本可行解，直到出现最优解或无界出基，初等变换求下一个基本可行解，直到出现最优解或无界解为止。解为止。3.人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终会人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终会退出基变量。如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出基退出基变量。如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出基变量。变量。4.处理人工变量的方法有两种，无论哪一种结果都是一样。处理人工变量的方法有两种，无论哪一种结果都是一样。The End of Chapter 1 5.本节的本节的5个公式是单纯形法的基本公式个公式是单纯形法的基本公式6.只要已知基矩阵，利用公式就能计算我们所需要的结果只要已知基矩阵，利用公式就能计算我们所需要的结果7.应用公式时注意数据的来源，即给定基矩阵应用公式时注意数据的来源，即给定基矩阵B和和C CB B、C CN N、N N、b b都都是标准型的数据，而是标准型的数据，而、Z Z0 0、 是通过公式计算的结果。是通过公式计算的结果。