数字信号处理经典

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1、第七章第七章 数字信号处理中的有限字长效应数字信号处理中的有限字长效应本本章章主主要要讨讨论论数数字字信信号号处处理理中中的的有有限限字字长效应。它主要反映在下列问题中：长效应。它主要反映在下列问题中： 输入信号量化误差输入信号量化误差 系数量化误差系数量化误差 乘积量化误差乘积量化误差 避免加法器溢出对动态范围的要求避免加法器溢出对动态范围的要求 精度的限制和加法器溢出引起的振荡精度的限制和加法器溢出引起的振荡7.1 数的表示数的表示7.2 A/D变换的字长效应变换的字长效应7.3 乘积的舍入误差乘积的舍入误差7.4 系数量化的影响系数量化的影响7.5 极限环振荡极限环振荡7.1 数的表示数

2、的表示1.二进制表示二进制表示数数字字处处理理器器的的硬硬件件实实现现，建建立立在在用用二二进制数表示的基础上。进制数表示的基础上。一般的说，任何一个数一般的说，任何一个数x可以表示为可以表示为x=bii其中其中0bi-1一一个个十十进进制制数数通通过过如如下下步步骤骤可可以以转换为二进制数：转换为二进制数：(1) 用用2反反复复去去除除整整数数部部分分，并并将将所得余数以逆序排列；所得余数以逆序排列；(2) 用用2去去乘乘小小数数部部分分，并并舍舍去去所所得得的的整整数数部部分分，这这样样重重复复若若干干次次，然然后将所得的整数后将所得的整数(0或或1)用正序排列。用正序排列。2.定点表示定

3、点表示(1) 定义定义在在整整个个运运算算中中，小小数数点点在在数数码码中中的位置是固定不变的，称为定点制。的位置是固定不变的，称为定点制。通通常常定定点点值值把把数数限限制制在在1之之间间，把把小小数数点点规规定定在在符符号号位位与与数数据据位位之之间间，而而把把整整数数位位作作为为“符符号号位位”，分分别别用用0、1代代表表数数的的正正负负，数数的的本本身身只只有有小小数数部部分，它称为分，它称为“尾数尾数”。(2) 定点值的原码、补码和反码表示定点值的原码、补码和反码表示定定点点值值有有3种种表表示示方方法法，即即原原码码表表示示法法(符符号号加加绝绝对对值值)、反反码码表表示示法法(符

4、符号号加加反反码码)和和补补码码表表示示法法(符符号号加加补补码码)。下下面面分分别别加以讨论。加以讨论。 原码表示法原码表示法原原码码也也称称“符符号号幅幅度度码码”，它它的的尾尾数数部部分分代代表表数数的的绝绝对对值值(即即幅幅度度大大小小)，符符号号位位代代表表数数的的正正负负号号，用用0代代表表正正数数，用用1代表负数。代表负数。 反码和补码表示法反码和补码表示法给给定定一一个个十十进进制制的的小小数数(x)10，若若是是正正数数，反反码码和和补补码码的的表表示示和和原原码码一一样样；若若是负数，原码、反码和补码表示都不同。是负数，原码、反码和补码表示都不同。 补码：补码：实现定点表示

5、有两步。实现定点表示有两步。1取取负负数数的的绝绝对对值值 x10，按按原原码表示为码表示为 。2从从 的的最最右右位位(最最低低位位)，向向左左找找出出“1”的的第第1位位，从从第第1位位(不不含含)向向左左将余下的位数取其补可得补码。将余下的位数取其补可得补码。反码：反码：负负数数的的反反码码表表示示就就是是将将该该数数绝绝对对值值的的原原码码表表示示形形式式中中的的所所有有0改改为为1，所有，所有1改为改为0，即得反码表示。，即得反码表示。负负数数的的反反码码和和补补码码表表示示之之间间有有一一个个简简单单关关系系，即即补补码码等等于于反反码码在在最低位上加最低位上加1。3.浮点表示浮点

6、表示定点运算有两个缺点：定点运算有两个缺点：(1)可可处处理理的的数数动动态态范范围围小小，例例如如在在补补码码表表示示中中，最最小小的的数数是是-1，最最大大的的数是数是1-2-L；(2)由由截截尾尾舍舍入入产产生生的的百百分分比比误误差差随着数的绝对值的减小而增加。随着数的绝对值的减小而增加。浮浮点点制制的的尾尾数数字字长长决决定定它它的的运运算算精精度度，而而指指数数的的字字长长决决定定了了它它的的动动态态范范围围。因因而而，浮浮点点制制运运算算可可以以增增加加动动态态范范围围和和提提高高处处理理精精度度。但但在在运运算算时时它它的的尾尾数数和和指指数数都都要要使使用用，结结果果硬硬件件

7、实实现现时时成成本本增增加加，处处理理速速度度减减小小，因因而而它它常常用用在在数数字字计算机上软件的非实时实现。计算机上软件的非实时实现。4.定点制数的量化定点制数的量化显显然然，如如果果数数x被被量量化化，则则将将引引入入误差误差e，它由下式给出它由下式给出e=Qx x其其中中Qx代代表表x的的量量化化值值，它它代代表表x经经截截尾尾或或舍舍入入后后的的值值。e的的范范围围取取决决于数的表示形式以及量化方法。于数的表示形式以及量化方法。对对定定点点数数x作作舍舍入入处处理理时时数数据据位位为为L位位，是是通通过过数数据据的的第第L+1位位加加1，然然后后截断数据到截断数据到L位实现。位实现

8、。7.2 A/D变换的字长效应变换的字长效应一一个个A/D变变换换器器从从功功能能上上讲讲，一一般般可可分分为为两两部部分分，即即取取样样与与量量化化，如如图图7-5(a)所所示示。xa(t)表表示示一一个个限限带带模模拟拟信信号号，它它经经取取样样器器后后，变变换换为为在在时时间间上上离离散散的的信信号号x(n)xa(nT)，它它仍仍然然是是一一种种模模拟拟信信号号，因因为为表表示示每每一一个个取取样样值值需要的位数，从理论上说是无限的。需要的位数，从理论上说是无限的。图图7-5 A/D变换器的模型变换器的模型1.量化效应的统计分析量化效应的统计分析量量化化效效应应可可等等效效为为输输入入信

9、信号号样样值值为为有有限限字字长长的的数数字字信信号号所所代代替替，图图7-5(b)画画出出了了量量化化过过程程的的等等价价表表示示，即即可把量化的取样值表示为可把量化的取样值表示为(1) e(n)是一个平稳的随机取样序列；是一个平稳的随机取样序列；(2) e(n)与信号与信号x(n)是不相关的；是不相关的；(3) e(n)序序列列本本身身样样值值间间不不相相关关，即即它它是白噪声过程；是白噪声过程；(4) e(n)具有等概率分布。具有等概率分布。由由上上述述e(n)的的第第4条条假假定定，舍舍入入时时误误差差的的概概率率分分布布如如图图7-6(a)所所示示。补补码码截尾时误差的概率分布如图截

10、尾时误差的概率分布如图7-6(b)所示。所示。用用这这些些概概率率密密度度函函数数易易于于计计算算误误差信号的均值和方差。差信号的均值和方差。舍入时舍入时图7-6 误差的概率分布图2.量化噪声通过线性系统量化噪声通过线性系统当当一一个个量量化化的的信信号号通通过过一一个个线线性性系系统统时时，输输入入的的误误差差(或或噪噪声声)也也会会在在最最后后的的输输出中以误差出中以误差(或噪声或噪声)的形式表现出来。的形式表现出来。7.3 乘积的舍入误差乘积的舍入误差在在实实现现数数字字滤滤波波时时，将将遇遇到到相相乘乘与与求和运算。对于典型的相乘可表示为求和运算。对于典型的相乘可表示为y(n)=ax(

11、n)式式中中y(n)是是乘乘积积，a是是滤滤波波器器系系数数，x(n)是数据值。是数据值。图图7-7(c)乘乘积积的的等等效效统统计计模模型型基基于于以以下的假设：下的假设：(1) 误差序列是白色噪声序列；误差序列是白色噪声序列；(2) 误误差差序序列列在在一一个个量量化化间间隔隔上上呈呈均匀分布；均匀分布；(3) 误误差差序序列列e(n)与与输输入入序序列列x(n)不不相相关关。这这些些假假设设与与把把模模拟拟信信号号取取样样量量化化时时所所作作的的假假设设相相同同，它它们们成成立立的的条条件件也也大致相同。大致相同。图7-7 定点制相乘运算的流图1. IIR滤波器的有限字长效应滤波器的有限

12、字长效应现在分析一阶现在分析一阶IIR滤波器滤波器y(n)=ay(n-1)+x(n)n0式式中中a1。它它含含有有乘乘积积项项ay(n-1)，其等效统计模型如图其等效统计模型如图7-8所示。所示。图7-8 一阶冲击响应系统流图(1) 直接型直接型B(z)表表示示分分母母多多项项式式。直直接接型型的的流流图图如如图图7-13所所示示，图图中中e0 (n)、e1(n)、e2(n)分分别别是是系系数数0.04、1.7、-0.72相乘后的舍入噪声。相乘后的舍入噪声。图图7-13 直接型的舍入噪声直接型的舍入噪声(2) 级联型级联型将将H(z)分解为分解为图图7-14 级联型的舍入噪声级联型的舍入噪声(

13、3) 并联型并联型将将H(z)分解为部分分式，即分解为部分分式，即其信号流图如图其信号流图如图7-15所示。所示。图7-15并联型舍入噪声的统计模型2. FIR滤波器的有限字长效应滤波器的有限字长效应由由于于FIR滤滤波波器器中中舍舍入入噪噪声声没没有有反反馈馈环环节节的的积积累累，其其舍舍入入噪噪声声的的影影响响也也将将比比同同阶的阶的IIR滤波器来的小。滤波器来的小。一一个个N阶阶FIR滤滤波波器器的的传传递递函函数数可可表表示为示为7.4 系数量化的影响系数量化的影响1.系数量化对极点位置的影响系数量化对极点位置的影响为为了了对对系系数数量量化化对对零零、极极点点位位置置的的影影响响有有

14、一一个个感感性性认认识识，先先以以一一个个2阶阶IIR滤滤波波器器为为例例，研研究究系系数数量量化化对对不不同同网网络络结结构构极极点位置的影响。设滤波器传输函数为点位置的影响。设滤波器传输函数为其极点位于其极点位于z=0.5，z=0.4。图图7-17 H(z)两种不同网络结构实现两种不同网络结构实现2.极点位置灵敏度极点位置灵敏度极极点点位位置置灵灵敏敏度度是是指指每每个个极极点点位位置置对对各各系系数数偏偏差差的的敏敏感感程程度度。这这个个概概念念和和全全部部分分析析方方法法同同样样可可适适用用于于零零点点，只只是是因因为为极极点点位位置置的的变变化化会会影影响响到到系系统统的的稳稳定定性

15、性，因因此一般更为人们所注意。此一般更为人们所注意。现现在在分分析析一一个个N阶阶直直接接型型结结构构的的IIR滤滤波器的传输函数为波器的传输函数为图图7-18式式(7-36)中的因式表示成中的因式表示成z平面上的矢量平面上的矢量另另一一方方面面，级级联联型型和和并并联联型型不不同同于于直直接接型型，它它们们分分别别实实现现每每一一对对复复共共轭轭极极点点。因因此此，一一个个已已知知极极点点的的位位置置误误差差与与它它到到系系统其它极点的距离是无关的。统其它极点的距离是无关的。7.5 极限环振荡极限环振荡1.零输入极限环振荡零输入极限环振荡这这种种振振荡荡发发生生在在IIR数数字字滤滤波波器器

16、系系统统中中。现现设设有有一一个个稳稳定定的的IIR数数字字滤滤波波器器，其其算算术术运运算算精精度度无无限限，若若当当nn0时时输输入入停停止止，则则滤滤波波器器的的输输出出当当nn0时，将逐渐衰减趋向于零。时，将逐渐衰减趋向于零。进进一一步步分分析析极极限限环环的的振振荡荡幅幅度度与与字字长长的关系，根据舍入的定义的关系，根据舍入的定义2.溢出振荡溢出振荡另另一一种种极极限限环环振振荡荡是是由由于于滤滤波波器器中中加加法法器器的的溢溢出出引引起起的的，当当采采用用定定点点制制补补码码形形式式时时，加加法法器器的的传传输输特特性性可可如如图图7-21所所示示，其其中中x表表示示加加法法器器的的输输入入，f(x)表表示示输输出出。若若x1和和x2作作补补码码加加法法，它它的的输输出出将将是是fx1x2，这一结论留给读者自己证明。这一结论留给读者自己证明。