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1、第 4 讲 导数的实际应用利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是垂直，则 a()DA2B.12C12D22一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，为使行驶每公里的费用总和最小，则此轮船的航行速度为()CA10 公里/小时C20 公里/小时B15 公里/小时D25 公里/小时，0，得 x8，x3做一个容积为 256 升的底面为正方形的长方体无盖水箱，则它的高为()分米时，材料最省()DA1B2C3D4解析：设长方体无盖水箱的底面边长为 x 分米，高为 h 分米，则 x2h256，全面
2、积 Sx24xhx21 024xS2x1 0242h4，由本题的实际意义可知当高为 4 分米时，材料最省直，则 a_.24设曲线 yeax 在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂5设有一长为 8 cm，宽为 5 cm 的矩形铁片在每个角上剪去同样大小的正方形，则剪去的正方形的边长_时，才能使剩下的铁片折起来做成无盖盒子的容积最大1 cm考点 1 函数模型中的最优化问题例 1：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为
3、y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值，故需新建 9 个桥墩才能使最小而运用导数知识，求复合函数的最值x3 【互动探究】1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y1128 000380x8(0x120)已知甲、乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地
4、耗油最少？最少为多少升令 h(x)0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当 x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数当 x80 时，h(x)取到极小值 h(80)11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为 11.25 升考点 2 几何模型的最优化问题例 2：如图 441 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20 km，CB 10 km，Q 为 AB 中点，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区
5、域上(含边界)，且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 y km.图 441(1)按下列要求写出函数关系式：设BAO(rad)，将 y 表示成的函数关系式；设 OPx(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【互动探究】2用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？错源：复合函数计算错误例 3：在长为 100 千米的铁路线 AB 旁的 C 处有
6、一个工厂，工厂与铁路的距离 CA 为 20 千米由铁路上的 B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为 53，为节约运费，在铁路的 D 处修一货物转运站，设 AD 距离为 x 千米，沿 CD直线修一条公路(如图 442).(1)将每吨货物运费 y(元)表示成 x 的函数(2)当 x 为何值时运费最省？图 442误解分析：忽略模型是复合函数，导致计算错误纠错反思：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，故在计算导数过程中要用复合函数的求导法则例 4：今有一块边长 a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按如图 443 那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒
7、子，要使这个盒子容积最大，则 x_.图 443【互动探究】3水以 20 米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30米，上底直径 12 米，试求当水深 10 米时，水面上升的速度为( )图 444A导数的实际应用：(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)，即将优化问题归结为函数最值问题；求导数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；检验作答，即获得优化问题的答案(
8、2)利用导数解决生活中的优化问题的注意事项：在解决实际优化问题时，不仅要将问题中涉及的变量关系用函数表示，而且应注意确定该函数的定义域；在实际优化问题中，会遇到函数在定义域内只有一个点使 f(x)0 的情形，如果函数 f(x)在这点有极值，则该极值就是所求的最大(小)值；在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的解应舍去将一张 2 m6 m 的硬钢板按图纸的要求进行操作，如图 445，沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中与、与分别是全等的矩形，且)，设水箱的高为 x m，容积为 y m3)(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)如何设计 x 的大小，可使得水箱装的水最多？图 445
