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1、第第4 4章章 数学规划模型数学规划模型引例： 现有有楼房一幢，室内面积共180m2，分隔成两类房间作为旅游客房n大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；n小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?假设隔出大房间x间,小房间Y间,列出目标函数： z=200x+150y约束条件：进一步将约束条件整理成：目标函数： z=200x+150y线性规划的图解法画出画出不等式组不等式组 表示的平面区
2、域。表示的平面区域。3x+5y 25 x -4y - 3x13x+5y25x- -4y- -3x1在该平面区域上 问题 1 1：有无最大(小)值？问题：有无最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题：2 2+ +有无最大(小)值？CABxyox=1CB设z z2 2+ +, ,式中变量、满足下列条件，求的最大值和最小值。3x+ +5y25x- -4y- -3x1x-4y=-3x-4y=-33x+5y=253x+5y=25xyox-4y=-3x=1C 设z z2 2+ +, ,式中变量、满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。3x+5y253x+5y25x-4y-3x-4y-3x
3、1x1B3x+5y=25问题问题 1: 将z z2 2+ +变形?问题问题 2: z几何意义是_。斜率为斜率为-2的直线在的直线在y轴上的截距轴上的截距 则直线 l： 2 2+ +=z=z是一簇与 l0平行的直线,故 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直 线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，最大,即 zmax25+212 。 析析: 作直线l0 ：2 2+ +=0 ,=0 , -2-2+ z+ z最优解最优解：使使目标函数达到目标函数达到最大值最大值或或 最小值最小值 的可的可 行行 解。解。 线性约束条件：线性约束
4、条件：约束条件中均为关于约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。的一次不等式或方程。有关概念有关概念目标函数：目标函数：欲求最值的关于欲求最值的关于x、y的解析式的解析式。线性目标函数线性目标函数：欲求最值的解析式是关于欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。的一次解析式。线性规划：线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。可行解：可行解：满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x，y）。）。 可行域：可行域：所有可行解组成的集合。所有可行解组成的集合。xyox-4y=-3x=1CB3x+5y=25 设Z2+,式中变量、
5、满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。3x+5y25x-4y-3x1B Cxyox4y=33x+5y=25x=1 例例1：设：设z2xy,式中式中变量变量x、y满足下列条件满足下列条件 求的最大值和最小值。求的最大值和最小值。3x+5y25x 4y3x1解：作出可行域如图解：作出可行域如图：当当0时，设直线时，设直线 l l0 0：2xy0 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点A时，时，z 最小，即最小，即最大。最大。 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点C时，时，最大，即最大，即最小。最小。由由 得得A点坐标点坐标_； x4y3 3x5y25由由 得得C点坐标点坐标_； x=
6、1 3x5y25 zmax2528 zmin214.4 2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移平移l l0 0，平移平移l l0 0 ，(5,2)2xy0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： 3 3、 通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； 4 4、 作出答案。作出答案。 1 1、 画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；画画移移求求答答2 2、 在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或
7、最小的直线；共点且纵截距最大或最小的直线； 3x+5y=25 例例2：已知：已知x、y满足满足 ，设，设zaxy (a0)， 若若 取得最大值时，对应点有无数个，求取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。的值。3x+5y25 x 4y3x1xyox-4y=-3x=1CB B解：解：当直线当直线 l l ：y ax z 与与直线重合时，有无数个点，使直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有：函数值取得最大值，此时有： k l l kAC kACk l l = -a -a = a =例例3：满足线性约束条件：满足线性约束条件 的可行域中共有的可行域中共有 多少个整数解。多少个整数解。x
8、+4y113x +y10x0y01223314455xy03x +y=10x +4y=11解：解：由题意得可行域如图由题意得可行域如图: 由由图知图知满足约束条件的满足约束条件的可行域中的整点为可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解故有四个整点可行解.5x+4y=202x+3y=12线性目标函数Z的最大值为的最大值为44已知实数已知实数x,y满足下列条件满足下列条件:5x+4y 202x+3y 12x 0y0求求z=9x+10y的最大值的最大值.最优解可行域9x+10y=0想一想想一想: :线性约束条件 01 2345 6123456xy代数问题代数
9、问题(线性约束条件线性约束条件)图解法图解法转化转化线性约线性约束条件束条件可行域可行域转化转化线性目线性目标函数标函数Z=Ax+By一组平行线一组平行线转化转化最优解最优解寻找平行线组寻找平行线组的纵截距的纵截距 最值最值四个步骤：四个步骤：1。画画4。答答3。求求2。移移三个转化三个转化2.某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1t需消耗需消耗A种矿种矿石石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产乙种产品生产乙种产品1吨需消耗吨需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600元元,每每1
10、t乙种产品的利乙种产品的利润是润是1000元元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不种矿石不超过超过300t、 消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过消耗煤不超过360t.若你是若你是厂长厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到精确到0.1t),才能使利润才能使利润总额达到最大总额达到最大?分分析析问问题题:1.本问题给定了哪些原材料本问题给定了哪些原材料(资源资源)?2.该工厂生产哪些产品该工厂生产哪些产品?3.各种产品对原材料各种产品对原材料(资源资源)有怎样的要求有怎样的要求?4.该工厂对原
11、材料该工厂对原材料(资源资源)有何限定条有何限定条件件?5.每种产品的利润是多少每种产品的利润是多少?利润总额如何计算利润总额如何计算?解解:设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元,那么那么10x+4y3005x+4y2004x+9y360x0y 0z=600x+1000y.画画出以上不等式组所表示的可行域出以上不等式组所表示的可行域移移直线直线L 600x+1000y=0.解解 得得 交交 点点 M的的 坐坐 标标 为为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360求求10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360
12、600x+1000y=0M答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨，吨，乙产品乙产品34.4吨，吨，能使利润总额达到最大。能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经经过过可可行行域域上上的的点点M时时,目目标标函函数在数在y轴上截距最大轴上截距最大.9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600x+1000y取得最大值取得最大值.例3.gsp图形把直线把直线L向右上方平向右上方平移移实际问题实际问题线性规划问题线性规划问题寻找约束条件寻找约束条件建立目标函数建立目标函数列表列表设立变量设立变量转转化化1.约束条件要写全约束条件要写全; 3.解题格式要规范解题格式要规范. 2.作图要准确作图要准确,计算也要准确计算也要准确;注意注意: :结论结论: :解解决决
