《第八章 非线性最优化模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章 非线性最优化模型（85页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 非线性最优化模型许多商业过程都以非线性方式运行。例如，一个债券的价格是利率的非线性函数，一个优先购股权的价格是优先股票价格的非线性函数。生产的边际成本常常随着生产数量的增加而减少，一个产品的需求数量常常是价格的非线性函数。这些和其他的许多非线性关系出现在各种商业应用中。非线性最优化问题非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应用的研究。在第8.2节中，我们建立了一个关于设计有价证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔奖的Markowit
2、z模型，其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管理科学为Bombardier Flexjet安排航程和全体人员，讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而，Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线性规划。专栏专栏8-1 实践中的管理科学实践中的管理科学为
3、为Bombardier Flexjet 安排航程和全体人安排航程和全体人员员Bombardier Flexjet 是一家发展迅速的支线飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。拥有部分所有权的公司被保证能在24小时以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用飞机的公司每月需支付管理费和使用费。为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人员。由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤人员和航程的问题甚至比商务航空行业还复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。然而，这项任务很快被证明是不可行的。事实上，不适当的手工安排致
4、使Flexjet供养着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为每飞行时数几百美元。一个利用最优化原理的排程系统变得非常必要了。为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件，也包含了关于成本权衡的“软性”约束条件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤人员。 最后的模型很大，不能用商用最优化软件模型来直接求解。拥有太多直接求解的变量的模型。常常使用分解法来求解。分解法采用只包含全部变量的一小部分的主要问题来求解
5、。通过子问题确定的解是部分最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子问题是非线性整数规划。非线性的中心是一个二维变量和一个连续变量的乘积，如果一段航程被使用，这个二维变量即为1，这个连续变量用于给飞行时间加上时间窗。子问题使用称为动态规划的技术来优化。最优化模型获得了很大成功。模型最初为Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节约为2700万美元。节约成本的大部分来自于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞机使用率也增加了10%。资料来源：基于Richard Hicks et al.,”Bombardier Flexjet Significantly Improves Its Fra
6、ctional Aircraft Ownership Operations Interfaces 35,no.(January/February 2005):49-608.1 一个生产应用对Par公司的再思考 通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线性最优化问题。我们首先考虑价格和销售数量间关系造成目标函数非线性的情形。接着求解得到无约束非线性规划，并且我们观察到无约束最优解不能满足生产约束条件。把生产约束条件添加到问题中去，我们给出了一个受约束非线性规划的形式和解。在这一部分的最后，我们还讨论了局部和整体的最优化。8.1.1 一个无约束问题一个无约束问题让
7、我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是，依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：S=2250-15Ps (8-1)D=1500-5PD (8-2)标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出的标准包数目S。如果生产一个标准包的成本是70美元，生产S个标准包的成本是70S。因此生产
8、和销售S个标准包的利润（收益-成本）是 PsS-70S (8-3 我们求解（8-1）式中的Ps,可以得到标准包的价格是如何用售出的标准包数目来表示的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替（8-3）式中的Ps，标准包的利润是 PsS-70S=(150-S/15)S-70S=80S-S/15 (8-4)假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美元。用得到式（8-4）相同的逻辑，豪华包的利润是PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5总利润是标准包利润和豪华包利润之和。因此，总利润可写为 总利润=80S-S/15+150D-D/5注意两个线性需求函数，式（8-1）
9、和式（8-2），给出了一个非线性总利润函数式（8-5）。这个函数是二次函数的一个例子，因为非线性项有一个2次幂。用LINGO（见附录8A），我们发现最大化利润函数的S和D的值是S=600和D=375。对应价格是标准包110美元和豪华包225美元。以及利润是52125美元。如果所有的生产约束条件也都被满足了，这些值就是Par公司的最优解。8.1.2 一个受约束问题一个受约束问题 Par公司不能得到无约束问题最优解得出的利润，因为其违反和限制了可行域的约束条件。例如,切割和印染的约束是 7/10S+D630 600个标准包和375个豪华包的生产数量要求7/10*600+1*375=795小时，这超
10、出了630小时的限制165个小时。Par公司原来问题的可行域以及无约束最优解点（600，375）如图81所示。这个无约束最优解（600，375）明显超出了可行域。图81 Par公司的可行域和无约束最优化问题的最优解很明显，Par公司必须解决的最大问题是最大化总利润 80S-1/15S2+150D-1/5D2但是要基于第二章所给出的所有部门劳力小时约束条件的限制。Par公司受约束的非线性最大化问题的完整数学模型如下： Max 80S-1/15S2+150D-1/5D2 s.t. 7/10S+D630 切割和印染 1/2S+5/6D600 缝合 S+2/3D708 成型 1/10S+1/4D135
11、 检测与包装 S，D0 除了非线性目标函数，这个最大化问题与第二章中的Par公司问题完全一样。这个受约束非线性最大化问题的LINGO解如图82所示。 图82 非线性Par公司问题的LINGO解 第一行显示找到了一个局部最优解。这个局部最优也是一个整体最优（见下以节）。目标函数的最优值是49 920.55美元。变量部分显示最优解是生产495.716 6个标准包和308.198 4个豪华包。在行部分，读一行对应目标函数，第二行到第五行对应四个生产约束条件。在松弛或剩余列，第二行的0值意味着最优解使用了切割印染部门的全部劳动力时间；但在第三行代第五行的非零值表明了其他部门可用的松弛时间。 495.7
12、16 6个标准包和308.198 4个豪华包的最优解的图形见图83所示。 图83 带有目标函数等位线的Par公司可行域注意最优解不再在可行域的顶端点上了，而在切割印染约束条件线上， 7/10S+D=630 但是也不是在切割印染约束条件和成型约束条件的交叉部分形成的端点上，或在有切割印染约束条件和检测包装约束条件的交叉部分形成的端点上。为了理解其中的原因，我们看图83。 在图83中我们看到三个利润等位线。在同一等位向上的每个点都有相同的利润。这些等位线分别代表了45 000美元、49 920.55美元和51 500美元的利润。在原来的第二章描述的Par公司问题中，目标函数是线性的，因此利润等位线
13、是直线。但是，对于有二次目标函数的Par公司问题，其利润等位线是椭圆形的。 因为45 000美元的利润等位线的一部分切入了可行域，我们知道有无限个标准包豪华包组合能产生45 000美元的利润。无限数目的标准包豪华包组合也提供了51 500美元的利润.但是,51 500美元利润等位线上没有点在可行域内。随着等位线从无约束最优解（600，375）向外移，与每个等位线相关联的利润也少了。代表49 920.55美元利润的等位线和可行域在一点上相交。这个解提供了最大的可能利润。没有利润大于49 920.55美元的等位线再与可行域相交了。因为等位线是非线性的，有最高利润的等位线可以在任意点上接触可行域边界
14、，而不是只在顶端上。在Par公司例子中，最优解是在切割印染约束条件线上的两个端点之间。 非线性最优化问题的最优解也可能位于可行域内部。例如，如果在Par公司问题中约束条件的右侧值全部增加一个足够的量，使可行域扩大，这样图83中最优无约束解点（600，375）将会在可行域的内部。许多线性规划算法（如单纯型法）指通过检查端点，并选择能给出最优解的端点来优化。而Par公司有约束非线性问题的解说明，这种方法在非线性情形下将不再适用，因为最优解一般不是端点解。因此，非线性规划算法比线性规划算法更加复杂，其细节超出了本书的范围。计算机软件如LINGO和Excel规划求解，可以用来求解非线性规划问题，我们在
15、本章附录中将描述如何如使用这些软件包。局部和整体最优 图82中Par公司非线性问题的LINGO解的第一行显示，“找到的局部最优解”。如果没有其他更好目标函数值的可行解可以在邻域里找到，这个可行解就是局部最优的。例如，在受约束Par问题中，局部最优对应局部最大值；如果没有其他有更大目标函数值的可行解在临近域找到，这个点就是局部最大值。相似地，对一个最小化问题，如果没有其他有更小目标函数值的可行解在临近域找到，这个点就是局部最小值。 非线性最优化问题能有多个局部最优解，这意味着我们需要找到最好的局部最优解。如果没有其他有更好目标函数值的可行点在可行域找到，这个可行域就是整体最优的。在一个最大化问题
16、的例子中，整体最优对应整体最大化。如果在可行域内没有其他点能有严格更大的目标函数值，这个点就是整体最大值。对一个最小化问题，如果在可行域内没有其他可行点能有严格更小的目标函数值，这个点就是整体最小值。很明显，整体最大值也是一个局部最大值，整体最小值也是一个局部最小值。 有多个局部最优解的非线性问题是很难求解的。但在许多非线性应用中，一个唯一的局部最优解也是也是整体最优解。对这类问题，我们只需要找到一个局部最优解。现在我们将展示这种非线性问题的一些更普遍的类型。 考虑函数f（X，Y）=- X2-Y2 。这个函数的形状如图8-4所示。一个朝下碗形的函数称作凹函数。这个特殊函数的最大值是0，点（0，
17、0）提供最优值0。点（0，0）是一个局部最大值；但它也是一个整体最大值，因为没有点能有更大的函数值了。换句话说，在没有一个X和Y的值能使目标函数值大于0。凹函数，像f（X，Y）=- X2-Y2 这种的，有一个唯一的局部最大值，这也是一个整体最大值，这也是一个整体最大值。这种非线性问题是相对容易最大化的。图8-4 凹函数f（X，Y）=- X2-Y2 Par公司非线性问题的目标函数是凹函数的另一个例子。一般来说，如果在二次方程中的所有二次项都有一个负系数，并且没有交叉乘积项，如xy，那么函数是一个凹二次函数。因此，对于Par公司问题，我们肯定能在图8-2中由LINGO确定的局部最大值就是整体最大值
18、。 现在让我们考虑另一类有唯一局部最优值，同时也是整体最优质的函数。考虑函数f（X，Y）=X2+Y2。这个函数的形状如图8-5所示。它是朝上碗形的，称作凸函数。这个特殊函数的最小值是0，点（0，0）提供最小值0。点（0，0）是一个局部最小值和整体最小值，因为再没有一个X和Y的值能使目标函数的值小于0。凸函数，像f（X，Y）= X2+Y2这种的，有唯一的局部最小值，是相对容易最小化的。图8-5 凸函数f（X，Y）= X2+Y2 对于一个凹函数，如果我们的计算机软件找到一个局部最大值，我们能肯定它就是整体最大值。相似地，对一个凸函数，如果我们的计算机软件找到一个局部最小值，我们能肯定它就是整体最小
19、值。凹函数和凸函数很好处理，但是，一些非线性函数有多个局部最优值。例如，图8-6显示的下面函数的图像：f（X，Y）=3（1-X）2e-X2-(Y+1)2-10(X/5-X3-Y5)e-X2-Y2-e-X2-(Y+1)2/3 图中的山和谷说明这个函数有多个局部最大值和局部最小值。这些概念将进一步在图8-7中说明，它与图8-6中的函数是相同的，只是从一个不同的角度来看。它表明有两个局部最小值和三个局部最大值。局部最小值之一也是整体最小值，局部最大值之一也是整体最大值。 从技术立场看，有多个局部最优值的函数给最优化软件提出了一个严峻的挑战；大多数非线性最优化软件方法会碰到“卡壳”，并在一个局部最优解
20、上终止。不幸的是，许多应用可能是非线性的，并且找到一个不是整体最优值的局部最优值会有严重的损失。建立能找到整体最优值的算法正是当前活跃的一个研究领域。然而在线性约束的条件集上最小化凸二次函数的问题是相对容易的，而且对这类问题也没有风险会在不是整体最小值的局部最小值处碰到卡壳。相似地，在线性约束的条件集上最大化凹二次函数的问题也是相对容易求解的，不会在一个不是整体最大值的局部最大值上碰到卡壳。图8-7有局部最大值和最小值的函数的另一观察点8.1.4 对偶价格 我们以对对偶价格的简要讨论来结束这一节。在第三章中已介绍了对偶价格的概念。记得对偶价格是约束条件右侧值每增加一单位最优解值的改进。大部分非
21、线性最优化软件（如LINGO）提供了对偶价格信息。非线性模型中对偶价格的解释与线性规划是完全相同的。然而，非线性问题中却不经常报告可允许的增量和减量。这是因为典型的非线性问题中可允许的增量和减量为0。也就是说，如果你改变右侧值，即使是一个很小的量，对偶价格都会改变。8.2 建立一个指数化证券投资基金建立一个指数化证券投资基金 在5.4节中，我们研究了Hauck金融服务公司的投资组合和资产分配模型。建立了多个线性规划来模拟不同客户对风险的态度。在这一节中我们研究一个重要的相关应用。 指数化证券投资基金是公有基金行业中一个相当流行的投资手段。确实，Vanguard 500指数化基金是美国一个最大的
22、公有基金，在2005年，其净资产超过700亿美元。指数化基金是被动的资产管理的一个例子。指数化基金的核心思想是构建一个股票、共有基金或其他有价证券的投资组合，尽可能接近像标准普尔500这样的泛市场指数的绩效。 表8-1显示了Vanguard4个指数化基金的一年期回报，以及对应市场指数的回报。表中说明了多个有趣的问题。首先，Vanguard对大量类型的投资都有指数化基金。例如，头两个指数化基金是股票基金：标准普尔500指数化基金和MSCI广泛市场基金。MSCI REIT基金是一个在房地产市场上的投资，短基债券（Lehmanl-5）基金是一个在公司债券市场上的投资。其次，注意到即使回报显示基金间有
23、相当大的变化，指数化基金在匹配对应市场指数的回报上依然表现良好。表1-8 4个Vanguard指数化基金的一年期回报Vanguard基金Vanguard基金回报市场指数市场指数回报500指数化基金4.77%标准普尔5004.91%总股票指数5.98%MSCI广泛市场6.08%REIT指数1190%MSCI REIT12.13%短期债券1.13%Lehmanl-5指数1.44% 为什么指数化基金这么流行呢？指数化基金流行的背后是对金融领域的大量研究，基本上来说，“你不能打败市场”。事实上，大部分共有基金管理者的效绩都不如领导性的市场指数，如标准普尔500。因此，许多投资者都满足于这类投资，其能提
24、供更接近于市场回报的回报。 现在，让我们重新看一下Hauck金融服务公司的例子。假定Hauck有大量客户想要拥有共有基金投资组合，这些投资组合作为一个整体，在绩效上能很接近于标准普尔500股票指数。为了能最大化模拟整个标准普尔500指数的绩效，投资组合的每个共有基金应该被投资的比例是多少？ 表8-2在表5-4（见第五章）的基础上添加了一行，给出了对每个计划方案的标准普尔500的回报。还记得列显示了每个共有基金在这年赚得的实际的回报比例。这5列重新说明了来年最有可能发生的情形。表8-2 用于未来12个月计划而选择的5个方案的共有基金绩效计划方案共有基金第一年第二年第三年第四年第五年外国股票10.
25、0613.1213.4745.42-21.93中期债券17.643.257.51-1.337.36大市值成长32.4118.7133.2841.46-23.26大市值价值32.3620.6112.937.06-5.37小市值成长33.4419.403.8558.68-9.02小市值价值24.5625.32-6.075.4317.31标准普尔500回报25.0020.008.0030.00-10.00第5.4节介绍的模型中，使用的变量代表了投资组合投资于每个共有基金的比例。PS投资于外国股票共有基金的投资组合比例IB投资于中期证券基金的投资组合比例LG投资于大市值成长基金的投资组合比例LV投资于
26、大市值价值基金的投资组合比例SG投资于小市值成长基金的投资组合比例SV投资于小市值价值基金的投资组合比例在第5.4节中介绍的投资组合模型在投资组合风险的约束下，通过选择投资于每个共有基金的投资组合比例，来最大化利益。这里我们想要通过选择投资组合投资于每个共有基金的比例，以尽可能地接近标准普尔500的回报。为了清晰地说明模型，我们引入变量R1、R2、R3、R4和R5，其分别代表了每种情形下投资组合的回报。例如，考虑变量R1。如果第1年代表的方案最终反映了未来12个月发生的情形，在方案1下投资组合回报是 10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV
27、=R1同样地，如果方案25反映了在未来12个月得到的回报，在方案25下投资组合的回报如下所示：方案2回报： 13.12FS+3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R2方案3回报： 13.47FS+7.51IB+33.28LG+12.93LV+3.85SG-6.70SV=R3方案4回报： 45.42FS-1.33IB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV=R4方案5回报： -21.93FS+7.36IB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV=R5接下来，对每个方案我们计算方案回报和标准普尔500的回报间的差值。基
28、于表8.2的最后一行，差值为 R1-25,R2-20,R3-8,R4-30,R5-(-10) (8-6)目标是投资组合的回报尽可能接近标准普尔500的回报。为了达到这个目标，我们可以尽量最小化式(8-6)给出的差值的和，如下： min (R1-25)+(R2-20)+(R3-8)+(R4-30)+(R5-(-10) (8-7)不幸的是，如果我们使用表达式(8-7)，正和负的差值将彼此抵消，这样一个令式(8-7)有最小值的投资组合实际上可能与目标指数有很大不同。同样，因为我们想要尽可能地接近目标收益，所以为大差值，而不是为小差值，分配一个更高的边际惩罚成本是有道理的。达到这个目标的函数是 min
29、 (R1-25)+(R2-20)+(R3-8)+(R4-30)+(R5-(-10)当我们把每一项平方时，正的和负的差值就不会彼此抵消，差值的边际惩罚成本随着差值增大而增大。我们建立的完整数学模型包含11个变量和6个约束条件(不包括非负约束条件)。 min (R1-25)+(R2-20)+(R3-8)+(R4-30)+(R5-(-10). 10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV=R1 13.12FS+3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R2 13.47FS+7.51IB+33.28LG+12.93L
30、V+3.85SG-6.70SV=R3 45.42FS-1.33IB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV=R4 -21.93FS+7.36IB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV=R5 FS+IB+LG+LV+SG+SV=1 FS,IB,LG,LV,SG,SV0这个最小化问题是非线性的，因为目标函数中出现了二次项。例如，在项(R1-25)中，变量R1增加到一个2次方，因此是非线性的，然而，因为每个平方项的系数是正的，并且没有交叉乘积项，所以目标函数是凸函数。因此，我们保证局部最小值也是整体最小值。图8-8给出了LINGO解。目标函数的最优值是4.4
31、26 893，即回报差值的平方和。投资组合要求约30%的基金投资于外国股票基金（FS=0.303 337 7），36%的基金投资于大市值价值基金（LV=0.364 981 5），23%的基金投资于小市值成长基金(SG=0.226 551 7)，并且11%的基金投资于小市值价值基金(SV=0.105 129 1)。LOCOL OPTIMAL SOLUTION FOUND.OBJECTIVE VALUE 4.42689Total solver iterations: 13Variable value reduced costR1 25.02024 0.000000R2 18.55903 0.000
32、000R3 8.973028 0.000000R4 30.21927 0.000000R5 -8.835857 0.000000FS 0.3033377 0.000000IB 0.000000 64.84669LG 0.000000 18.51276LV 0.3649815 0.000000SG 0.2265517 0.000000SV 0.1051291 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICE1 4.426893 -1.0000002 0.000000 0.4047736E-013 0.000000 -2.8819374 0.000000 1.9460
33、565 0.000000 0.43854276 0.000000 2.3282877 0.000000 42.33116图图8-8 Hauck金融服务公司问题的金融服务公司问题的LINGO解解表8-3显示了对每种方案投资组合回报(见图8-8中的R1、R2、R3、R4、R5)与标准普尔5000回报的比较。注意投资组合的回报对标准普尔500回报的接近度。基于历史数据，Hauck混合共有基金的投资组合确实很接近标准普尔500股票指数的回报。表表8-3 投资组合回报与标准普尔投资组合回报与标准普尔500回报回报方案投资组合回报标准普尔500回报12 34525.0218.568.9730.22-8.8
34、425208 30-10我们刚举例说明了非线性规划在金融领域的一个重要应用。在下一节，我们将说明在要求最低水平收益的约束条件下，如何用Markowitz模型构建一个投资组合，来最小化风险 8.3 Markowitz投资组合模型投资组合模型 Harry Markowitz 因他为投资组合最优化做出的突出贡献，而荣获了1990年诺贝尔奖。Markowitz军方差投资组合模型是非线性规划deep一个经典应用。在这一节，我们介绍Markowitz军方差投资组合模型。这个基本模型的大量变种已被全世界的货币管理公司采用。大部分投资组合最优化模型必须在风险与回报之间做出一个关键权衡。为了得到更大的回报，投资
35、者必须面对更大的风险。上一节中的指数化基金模型被动地管理权衡。在我们构建的指数化基金中的投资者一定满足于标准普尔500的风险/回报特征。其他投资组合模型明显量化了风险与回报之间的平衡。在大部分投资组合最优化模型中，使用的回报是可能结果的期望收益（或平均数）。考虑在上一节建立的Hauck金融服务公司的例子。5个方案代表了在一年期计划水平上的可能结果。每种方案的回报分别由变量R1、R2、R3、R4和R5定义。在n个可能方案中，如果ps是方案S的概率，那么投资组合的期望收益是 测量风险的难度有点儿大。整部书都致力于这个话题。最常与Markowitz投资组合模型相关的风险测量是投资组合的方差。如果期望
36、收益由等式（8-8）给出，那么投资组合方差是在Hauck金融服务公司例子中，5个计划方案有一样的概率。因此。投资组合方差是每种方案下对均值偏差的平方和的平均数。这个数目越大，方案收益在他们的平均值周围分散得越广。如果投资组合的方差等于零，那么每个方案的回报将相等。构建Markowitz模型的两个基本方法是：（1）在投资组合期望收益的约束条件的限制下，最小化投资组合的方差；（2）在方差约束条件的限制下，最大化投资组合的期望收益。考虑第一个例子。假定Hauck的客户想要对表8-2列出的6种共有基金构建一个投资组合，来最小化由投资组合方差测量的风险。但是，客户也要求预期的投资组合收益至少为10%。用
37、我们的符号表示，目标函数为期望投资组合收益的约束条件10。完整的Markowitz模型包含12个变量和8个约束条件（不包含非负约束条件）。s.t. 10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV=R1 （8-11） 13.12FS+ 3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R2 （8-12） 13.47FS+ 7.51IB+33.28LG+12.93LV+ 3.85SG- 6.70SV=R3 （8-13） 45.42FS- 1.33IB+41.46LG+ 7.06LV+58.68SG+ 5.43SV=R4 （
38、8-14） -21.93FS+ 7.36IB-23.26LG- 5.37LV- 9.02SG+17.31SV=R5 （8-15） FS+ IB+ LG+ LV+ SG+ SV=1 (8-16) (8-17) 10 （8-18） FS, IB, LG, LV, SG, SV 0 （8-19）Markowitz模型的目标是最小化投资组合额方差。注意式（8-11）到式（8-15）出现在第8.2节中介绍的指数化基金模型中。这些式子定义了每种方案的回报。等式（8-16），也出现在指数化基金模型中，要求所有的钱投资于共有基金；这个约束条件常称做整体约束条件。等式（8-17）定义了是投资组合的期望收益。等式
39、（8-18）要求投资组合收益至少为10%。最后，表达式（8-19）要求对每个Hauck共有基金都是非负投资。这个模型要求至少10%的收益，其LINGO解的一部分如图8-9所示。投资组合方差的最小值是27.136 15.这个解意味着客户将得到10%的期望收益（RBAR=10.000 00），并且能最小化他们的用投资组合方差测量的风险，这需要投资组合的约16%投资于外国股票基金（FS=0.158 407 4），53%于中期债券基金（IB=0.525 479 5），4%于大市值成长基金（LG=0.420 650 2E-01）,以及27%于小市值价值基金（SV=0.274 048 0）。Local o
40、ptimal solution found. Objective Value: 27.13615 Total solver iterations: 19 Variable Value Reduced CostR1 25.02024 0.000000R2 18.55903 0.000000R3 8.973028 0.000000R4 30.21927 0.000000R5 -8.835857 0.000000FS 0.3033377 0.000000IB 0.000000 64.84669LG 0.000000 18.51276LV 0.3649815 0.000000SG 0.2265517
41、0.000000SV 0.1051291 0.000000图图8-9 要求至少要求至少10%收益的收益的Hauck最小方差投资最小方差投资组合的组合的LINGO解解Markowitz投资组合模型为投资者提供了一个方便的方法来权衡风险和收益。在实践中，这个模型对不同收益进行典型的迭代求解。图8-10表示随着要求的期望收益以1%的步长从8%增加到12%，对应每个要求的期望收益投资组合方差的最小值。在金融领域，这个图称我饿诶效率限界。效率限界上的每个点是对每个给给定收益的最小可能风险（由投资组合方差测量的）。通过查看效率限界的图像，投资者能得到其最满意的均方差平衡。注释与评论注释与评论1. 投资组合
42、中一种资产类型的总量的上限和下限能容易地被模仿。注意在图8-9中给出的解，投资组合中超过50%的资金投资于中期债券基金。让一种资产占投资组合如此大的比重，可能是不明智的。因此常常给投资于单个资产的投资组合百分比设定一个上限。同样地，在投资组合中包含一种极端小量的资产，这可能也是不想被看到的。因此，可能有约束条件来要求资产的非零总量只少为投资组合比例的最小值。2. 在Hauck的例子中，可用投资组合的100%投资于共有基金。然而，方厌恶风险的投资者常常喜欢把一部分钱投在像美国短期国库券这样的无风险资产上。因此，许多投资组合最优化模型允许资产投资于无风险资产。3. 在这一节，用投资组合的方差来测量
43、风险。然而，方差这鞥如它定义的那样，会计算高于和低于均值的偏差。大部分投资者乐意接受高于均值的收益，而想要避免低于均值的收益。因此，许多投资组合模型会提供灵活的风险测量。4. 在实际中，经纪人和共有基金公司都会随着新信息的使用人重新调整投资组合。然而，持续重新调整投资组合可能会导致很大的交易成本。案例问题1就要求同学们为考虑交易成本而修改Markowitz投资组合选择问题。8.4 另一混合问题另一混合问题 在第4章，我们说明了如何用线性规划求解Grand Strand石油公司的混合问题。记得Grand Strand精炼厂为了最大化利润，想要精炼3种石油成分得到常规的和优质的汽油。在第4章介绍的
44、Grand Strand模型中，我们假定3种石油成分都有独立的存储罐；因此，在生产汽油之前成分是不会混合在一起。但是，实际中常有这样的情形，在混合地点存储混合成分的设备数目少于存储成分的数目。在这种情形下各成分必须公用存储罐或存储设备。同样，当运输这些成分时，它们常常需要公用一个管道或传输容器。公用一个存储设备或管道的成分称做混合成分。图8-11说明了这个混合。考虑图8-11。成分1和成分2混合在一个单独的存储罐，成分3有它自己的存储罐。常规和优质汽油混合成分和成分3混合而成。必须做出两类决策。第一，多少比例的成分1和成分2应该用于混合称混合物？第二，多少混合罐中成分1和成分2的混合物将与成分
45、3混合来生产常规和优质汽油？这些决策要求设定下面6个决策变量：图图8-11 Grand Strand石油公司混合问题石油公司混合问题 混合物混合物 常规汽油常规汽油 成分成分3 优质汽油优质汽油y1y2成分1成分2xprxppx3rx3py1=混合罐中成分1的加仑数y2=混合罐中成分2的加仑数xpr=常规汽油中混合的成分1和成分2的加仑数xpp=优质汽油中混合的成分1和成分2的加仑数x3r=常规汽油中成分3的加仑数x3p=优质汽油中成分3的加仑数这些决策变量如图8-11中箭头线所示。Grand Strand石油公司混合问题的约束条件与第4章中原来Grand Strand混合问题的约束条件相似。
46、首先，我们需要常规汽油和优质汽油的生产总量的表达式。生产的与总加仑数生产的与总加仑数 因为生产的汽油是输入成分的混合物，所以生产的每类汽油的加仑总数是混合成分和成分3的总和。 常规汽油=xpr+x3r 优质汽油=xpp+x3p使用的总石油成分使用的总石油成分 消耗的成分1和成分2的总加仑数是在生产常规和优质汽油中使用的混合物的总数。消耗的成分3的总加仑数等于常规汽油中使用的成分3的总量加上优质汽油中使用的总量。 消耗的成分1和成分2：y1+y2=xpr+xpp 消耗的成分3：x3r+x3p关于成分1和成分2的等式被成为守恒等式；这个等式说明成分1和车鞥分2的消耗总量必须等于生产常规和优质汽油使
47、用的混合物的总量。成分可用量成分可用量 在当前的生产计划期，3种成份可用的最大加仑数分别是5 000，10 000和10 000。因此，限制3种成分可用量的3个约束条件是 成分1 y1500 成分2 y210 000 成分3 x3r+x3p10 000产品的具体要求产品的具体要求 常规和优质汽油的产品要求与第4章中表4-14中的一样。为了方便参考，在表8-4中重新写出它们。要满足表8-4中对混合的具体要求在混合问题中有点困难，因为进入常规和优质汽油的成分1和成分2的总量依赖于这些成分在混合罐中的比例。例如，考虑成分1占生产的常规汽油总加仑数不能超过30%的约束条件。如果混合成分有xpr加仑与成
48、分3混合来生产常规汽油，那么必须知道成分1在xpr中的比例。混合罐中成分1和成分2的总加仑数是y1y2；因此，成分1在混合罐中的部分是结果 是用于混成常规汽油所使用的成分1的加仑数。常规汽油的总加仑数是xpr+x3r 。因此成分1占生产的常规汽油总加仑数不超过30%的约束条件是这个表达式是非线性的，因为它包含乘以另一个变量的变量率。其他要求执行表8-4中给出的产品具体要求的约束条件的逻辑是相同的。 表表8-4 Grand Strand 混合问题的混合问题的产品具体要求产品具体要求产品产品 规格规格产品产品 规格规格常常规规汽汽油油最多最多30%成分成分1最少最少40%成分成分2最多最多20%成
49、分成分3优优质质汽汽油油最少最少25%成成分分1最多最多45%成成分分2最少最少30%成成分分3 与第4.4节中一样，目标是最大化总毛利。因此，我们通过对两种汽油的总收益与三种石油成分的总成本间的差值最大化，来建立目标函数。记得每加仑常规汽油的价格是2.90美元，每加仑优质汽油的价格是3.00美元。成分1、成分2和成分3的成本分别是2.50美元、2.60美元和2.84美元。最终，必须生产至少10000加仑常规汽油。 Grand Strand 混合问题完整的非线性模型包含6个决策变量和11个约束条件（不包含非负约束条件），如下。Max Grand Strand混合问题的最优解显示在图8-12中。
50、使用的每种成分的加仑数和在常规和优质汽油中的比例显示在表8-5中。例如，10 000加仑常规汽油包含2 857.143加仑的成分1。数目2 857.143不会直接出现在图8-12中的LINGO解进行计算。在LINGO解中，y1=5 000、y2=9 000和xpr=8 000，这意味着在常规汽油中成分1的加仑数是表表8-5 Grand Strand 混合解混合解各各成成分分的的加加仑仑数数（比例） 汽油汽油成分成分1成分成分2成分成分3常规2857.143（28.57%） 5142.857（51.43%） 2000（20%） 优质2142.857（25%） 3857.143（45%） 2571
51、.429（30%） 在图8-12中，5831.429的目标值对应5 831.43美元的总毛利。在第4.4节中，我们知道原来Grand Strand 混合问题的最优解值是7 100美元。为什么成分1和成分2混合模型的总毛利更小？注意有混合成分问题的任意可行解对无混合问题也是可行。但是，相反是不成立的。例如，图8-12说明在常规和优质汽油中成分1加仑数对成分2加仑数的比率是不变的。也 就是 Local optimal solution found. Objective value: 5831.429 Total solver iterations: 26 Variable Value Reduce
52、d Cost - - - XPR 8000.000 0.000000 X3R 2000.000 0.000000 XPP 6000.000 0.000000 X3P 2571.429 0.000000 Y1 5000.000 0.000000 Y2 9000.000 0.000000 ROW Slack or Surplus Dual Price - - - 1 5831.429 1.000000 2 0.000000 1.412000 3 1000.000 0.000000 4 5428.571 0.000000 5 0.000000 -3.068571 6 142.8571 0.00000
53、0因为这个比率是y1/y2，这一定是成分1对成分2的比率在混合混合物中的情形。表8-6说明了原来混合Grand Strand问题的解（这个表也出现在第4.4节中）。在常规汽油中成分1对成分2的比率是1250/6750=0.1825在优质汽油中成分1对成分2的比率是3750/3250=1.1538这是一个很大的差异。通过被强迫使用混合模型中成分1对成分2的相同比率，我们损失了灵活性，并且必须在生产汽油时消耗更多的石油成分。 表表8-6 无混合的无混合的Grand Strand 问题的解问题的解 各成分的加仑数各成分的加仑数（比例）汽油 成分1 成分2 成分3 总和 常规 1250 ( 12.50
54、%） 6750 (67.50% ) 2000 (20%) 10 000优质 3750 （25%） 3250 （21.67%） 8000 （53.33%） 15000 对所有成分所需要的足够存储罐的缺乏，减少了可行解的数目，转而又导致产生较低的利润。事实上，这个模型的一个应用是在存储罐缺乏的情况下，为管理层提供一个关于利润损失的良好估计。然后管理层就能够评估购买更多存储罐的盈利性。 在产品引入后，预测该新产品的使用是一个非常重要的营销问题。在在产品引入后，预测该新产品的使用是一个非常重要的营销问题。在这一节我们介绍由这一节我们介绍由Frank Bass 建立的一个预测模型，这个模型已被建立的一个
55、预测模型，这个模型已被证明对预测创新和新技术在市场上的使用特别有效。非线性规划用于证明对预测创新和新技术在市场上的使用特别有效。非线性规划用于估计估计Bass预测模型的参数。这个模型有预测模型的参数。这个模型有3个参数必须进行估计。个参数必须进行估计。 m=最终使用新产品的估计人数最终使用新产品的估计人数 引入新产品的公司对这个参数的值明显感兴趣。引入新产品的公司对这个参数的值明显感兴趣。 q=模仿系数模仿系数 这个参数测量了潜在使用者受到已使用产品的人的影响时使用的可这个参数测量了潜在使用者受到已使用产品的人的影响时使用的可能性。它测量了影响购买的口碑效应。能性。它测量了影响购买的口碑效应。
56、 P=创新系数创新系数这个参数测量了在假定没有受到他人已购买（使用）产品的影响时使这个参数测量了在假定没有受到他人已购买（使用）产品的影响时使用可能性。它是一个人由于她或他自己对创新的兴趣而使用产品的可用可能性。它是一个人由于她或他自己对创新的兴趣而使用产品的可能性。能性。 利用这些参数，现在让我们建立预测模型。令利用这些参数，现在让我们建立预测模型。令Ct-1表示到时间表示到时间t-1已使用产品的人数。因为已使用产品的人数。因为m是最终使用产品的估计人数，是最终使用产品的估计人数，m-Ct-1是在时刻是在时刻t-1剩下的潜在使用者的数目。我们称时间剩下的潜在使用者的数目。我们称时间t-1到时
57、到时间间t间的时间间隔为时期间的时间间隔为时期t。在时期。在时期t，剩下的潜在使用者数，剩下的潜在使用者数m-Ct-1的一定比例将使用该产品。这个值依赖于使用新产品的可能性。的一定比例将使用该产品。这个值依赖于使用新产品的可能性。不太严谨地说，使用新产品的可能性是由于模仿而使用的可能不太严谨地说，使用新产品的可能性是由于模仿而使用的可能性加上由于创新而使用的可能性。由于模仿而使用的可能性是性加上由于创新而使用的可能性。由于模仿而使用的可能性是已使用产品的人数的函数。当前使用者的人数越多，他们口碑已使用产品的人数的函数。当前使用者的人数越多，他们口碑的影响力就越大。因为的影响力就越大。因为Ct-
58、1/m是到时间是到时间t-1使用产品的估计人数使用产品的估计人数的比例，由于模仿而使用的可能性通过模仿系数的比例，由于模仿而使用的可能性通过模仿系数q乘以这个比例乘以这个比例来计算。因此，由于模仿而使用的可能性是来计算。因此，由于模仿而使用的可能性是 q（Ct-1/m）由于创新而使用的可能性简单的是创新系数由于创新而使用的可能性简单的是创新系数p。因此，使用的可。因此，使用的可能性是能性是 p+q（Ct-1/m）利用使用的可能性，我们能建立对将来在时期利用使用的可能性，我们能建立对将来在时期t使用产品的剩余使用产品的剩余潜在顾客数的一个预测。因此，潜在顾客数的一个预测。因此，Ft，在时期，在时
59、期t新使用者人数的预新使用者人数的预测，是测，是 Ft=（p+q (Ct-1/m) ）( m- Ct-1) (8-20)在式（8-20）中给出的Bass预测模型根据统计原理，能精确地导出，而不是提供这样一个强调模型直观方面的推导。在用Bass模型建立时期t新产品使用的预测时，Ct-1的值将从过去的销售数据中得知。但是我们也需要知道用于模型的参数值。现在让我们看看如何用非线性规划来估计参数值m、p、和q。考虑图8-13。这个图显示了电影再生之旅和终结者3在发行后前12周票房收益（单位为百万美元）的图像。严格来说，时期t的票房收益与时期t的使用者数是不一样的。但是由于回头客的数目通常是很少的，所以
60、票房收益可以是电影观众数的一个倍数。Bass预测模型在这儿看起来是适合的。终结者终结者终结者终结者 图图8-13 再生之旅和终结者再生之旅和终结者3的周的周票房收益票房收益 这两部电影有力的说明了不同的使用模式。注意再生之旅的收益一直增长，直到第4周达到峰值，然后开始下降。这部电影的大部分收益明显是由于口碑影响。根据Bass模型，就是模仿因素强于创新因素，并且我们预期qp。然而，对电影终结者3收益峰值在第一周，之后急剧下降。创新因素强于模仿因素，因此我们预期qp。可以结合一个非线性最优化问题到预测模型等式（8-20）中来，以找到对一系列数据给出最佳预测的p、q和m的值。假定有N期数据可用。令S
61、t表示在时期t使用者的实际数量（或这个数目的一个倍数，如销售量），t=1，N。然后每期的预测数和对应的预测误差Et定义为 Ft=p+q(Ct-1/m)(m-Ct-1) Et=Ft-St注意预测误差是预测值Ft与实际值St之间的误差。用最小化误差平方的和来估计参数是很普遍的统计习惯。如此处理Bass预测模型，可以导出下面的非线性最优化问题。因为式（8-21）和式（8-22）都包含非线性项，这个模型是一个非线性最小化问题。 表8-7中的数据提供了再生之旅从第1周到第12周的收益和累计收益。利用这些数据，为再生之旅的Bass预测模型估计参数的非线性模型如下。表8-7 再生之旅的票房和累积收益周 收益
62、St 累计收益CT 周 收益ST 累计收益 CT1 0.10 0.10 9 1.90 28.452 3.00 3.10 10 1.30 34.053 5.20 8.30 11 0.80 34.854 7.00 15.30 12 0.60 35.455 5.25 20.556 4.90 25.457 3.00 28.458 2.40 30.85 这个非线性规划的LINGO解和类似的终结者3的非线性规划的解在表8-8中给出。 表8-8中给出的最优预测参数值直观上是吸引人的，并与图8-13一致。对于电影再生之旅，在第4周有最大受益，模仿参数q的值是0.49；这个值显著大于创新参数p=0.074。由于
63、良好的口碑，这个电影经过时间推移会得到动力。在第4周后，随着越来越多的电影潜在者已看过它，收益开始下降。拿这些数据与终结者3的对比，后者的模仿参数是负值-0.018，以及创新参数是0.49。观看电影者的最大数目是在第1周，之后这个数目会降低。很明显该口碑影响不是有利的。表表8-8 再生之旅和终结者再生之旅和终结者3的最优的最优预测参数预测参数 参数参数 再生之旅再生之旅 终结者终结者3 P 0.074 0.49 q 0.49 -0.018 m 34.85 149.54 在图8-14中我们显示了基于表8-8中参数做出的预测值和在同一图上的观察值。预测值用表示。Bass预测模型能很好地描述再生之旅
64、的收益。对终结者3，Bass模型有显著的贡献；事实上要区分实际使用线与预测线是不可能的。你可能想知道，如果我们必须等到使用周期结束后才能估计参数，了解预测模型有什么好。新产品使用Bass预测模型的一种方法是，假定新产品销售的表现方式相似于之前的一种产品，且这种产品的p和q已计算出来，我们只需再主观估计出新产品的潜在市场m。例如，假定DVD播放器的销售量相似于VCR的销售。那么用于DVD预测的p和q将是从VCR实际销售中计算出的p和q的值。实践中的管理科学预测卫星电视的使用，描述了如何用这种方法根据从有线电视的使用历史中得到的p和q值，来预测卫星TV的销售。再生之旅再生之旅终终结结者者 图图8-
65、14 再生之旅和终结者再生之旅和终结者3的预的预测和实际的周票房收益测和实际的周票房收益第二种方法是等到有多期新产品数据可用后在预测。例如，如果有5期数据可用，这5期的销售数据可以用于预测第6期的需求。然后，在得到这6期的销售数据后，可制定第7期的预测。这个方法常被称作滚动时域方法。（见刚提及的实践中的管理科学中的相关讨论）专栏专栏8-2 实践中的管理科学实践中的管理科学 预测卫星电视的使用预测卫星电视的使用DIRECTV公司建于1991年。这个目标是把直播卫星电视服务引入市场，与有线电视竞争。与有线电视很相似，DIRECTV使用模型基于每月的订购费。显然管理层需要做一个预测未来估计未来的使用
66、情况。不幸的是，因为它完全是一个新产品，没有可用的历史数据。管理层尤其想要预测：（1）在美国有多少电视拥有者将会订购卫星电视服务；（2）这些拥有者将订购这个服务的比率。DIRECTV与SNART（战略营销与研究技术）咨询公司联合，开发了需要的预测。由于Bass预测模型在预测新产品的使用和普及上很成功，因此管理层决定采用Bass预测模型。使用Bass模型需要的参数是创新系数p，模仿系数q，以及订购者或使用者的数量估计m。因为没有可用的历史数据，他们决定基于相似产品选择p和q的值，并基于调查数据估计m。为了估计m，管理层进行了有1145个潜在使用者的调查。基于调查结果及部分管理团队的判断，m被设置为拥有TV家庭的16%。管理层认为在20世纪80年代有线TV的引入，非常相似于90年代卫星电视的引入，因为两者都是基于订购服务的。80年代有线TV的历史订购数据可用于估计p和q。根据这些参数值，Bass产生的预测显著的好。例如，在992年，为1997年7月1日到1998年6月30日的时间段做出的预测是6.775百万了新订购者，实际数目为7.358百万。在1992年，为1998年7月1日到1999年6月30日是时间段做出的预测是9.391百万个新订购者，实际数目为9.989百万。
