《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 二次函数与幂函数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 二次函数与幂函数课件（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 函数2.3 二次函数与幂函数高考数学高考数学 (浙江专用)考点二次函数与幂函数考点二次函数与幂函数1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关五年高考答案答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,
2、故M-m与a有关.故选B.解法二:(1)当-1,即a-2时,f(x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f,从而M-m=f(0)-f=b-=a2.(3)当0-,即-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1.(4)当-0,即a0时,f(x)在0,1上为增函数,M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=M-m与a有关,与b无关.故选B.2.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.
3、-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案答案A由已知得,f(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a3,则C错.而f(2)=-3a8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由得代入中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x
4、+8,此时f(-1)=230,符合题意.故选A.评析评析本题考查二次函数的性质、函数的零点和函数极值,考查推理运算能力.3.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.答案答案B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-80n8,于是mn16,则mn无最大值.当m0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-,即2n+m18,又n0,则mnm=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在0,2)上为增函数,m0,2)时,g(m)g(2)=16
5、,mn2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-2,即2m+n12,而2m+n2,所以mn18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max=18.故选B.评析评析本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与解决问题的能力.考查转化与化归的数学思想.4.(2013重庆,3,5分)(-6a3)的最大值为()A.9B.C.3D.答案答案B易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,对称轴为a=-,y=(3-a)(a+6)的最大值为y=3+ =,则的最大值为,选B.5.(2013辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2
6、,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-16答案答案B令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-
7、g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.评析评析本题考查了二次函数图象、最大及最小值,考查了数形结合思想,利用图象是直观的、简捷的方法.6.(2017北京文,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案答案解析解析解法一:由题意知,y=1-x,y0,x0,0x1,则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+.当x=时,x2+y2取最小值,当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1,x2+y2.解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方.
8、x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即=,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2.7.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是.答案答案(-,2解析解析f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x,则t,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合二次函数图象可知,所以a2.评析评析本题的解题关键在于通过换元,将原函数转化为二次函数,再结合复合函数单调性即可求解.考查转化能力、数形结合思想.8.(201
9、3江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案答案-1,解析解析设P,则|PA|2=(x-a)2+=-2a+2a2-2,令t=x+2(x0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.(1)当a2时,(|PA|2)min=22-2a2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).(2)当a2时,(|PA|2)min=a2-2aa+2a2-2=a2-2.由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍).综上知,a
10、=-1或.评析评析本题考查两点间距离公式,考查分类讨论思想及换元意识,考查运算求解能力.9.(2017课标全国文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析解析(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为=-,所以不能出现ACBC的情况.(2)BC的中点坐标为,可得BC的
11、中垂线方程为y-=x2.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.10.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.解析解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故对称轴为直线x=-.当a-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-22时,g(a)=f
12、(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则由于0b-2a1,因此s(-1t1).当0t1时,st,由于-0和-9-4,所以-b9-4.当-1t0时,st,由于-20和-30,所以-3b0,即曲线y=f(x)在(0,0)处的切线斜率大于0,所以D不可能是函数f(x)的图象,故选D.2.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的两个零点为x1,x2,若|x1|+|x2|2,则()A.|a|1B.|b|1C.|a+2b|2D.|a+2b|2答案答案B由根与系数的关系,知b=x1x2,所以|b|=|x1|x2|1(当且
13、仅当|x1|=|x2|时,等号成立),故选B.3.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)f(x)=ax2+bx+c,当0x时,f(x)2,4,则a的最大值为()A.8B.16C.32D.64答案答案C考虑x分别取0,时的函数值,由2f(x)4得不等式组又a=8,a=8.当f(0)=f=4,f=2时,a取最大值32,此时联立三个等式可以求得a=32,b=-16,c=4符合题意,故选C.4.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)=则y=f(x)-x的零点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案C由条件知f(x)=其中n=0,1,2,作出函数y=f(x)和y=x的
14、图象,知它们共有3个不同的交点,故y=f(x)-x的零点有3个.5.(2017浙江衢州教学质量检测(1月),16)若f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为,则4a+3b=.二、填空题答案答案-解析解析由题可知,即而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以2|1+b|1,解得-b-,另一方面|b|等价于-b,所以b=-,所以解得a=0.综上,故4a+3b=-.6.(2016浙江名校交流卷,9)已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(x)=;函数y=f(x)2+f(x)-2的零点是.答案答案;1解析解析设f(x)=x,R.由题意得4=2,得=,则f
15、(x)=.故y=f(x)2+f(x)-2=()2-2=(-1)(+2),令y=0,得-1=0,即x=1.7.(2015浙江杭州一模,10)设函数f(x)=x2-(k+1)x+2(kR),则f=;若当x0时,f(x)0恒成立,则k的取值范围为.答案答案-+;(-,2-1解析解析f=-(k+1)+2=-+.当x0时,f(x)0恒成立,等价于当x0时,k+1恒成立.x0,=x+2(当且仅当x=时,“=”成立),故k2-1.8.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间A=m,n(mm0,结合函数图象,由g(x)=x得x=0,1,3,当1m1,即a0.当0a1时,解得(10分)当12时,解得(1
16、5分)1.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数f(x)=x2+ax+b,若对任意的实数a,都存在实数x,使得不等式|f(x)|x成立,则实数b的 取 值 范 围 是()A.2,+)B.C.D.一、选择题B组 20152017年高考模拟综合题组答案答案D“对任意的实数a,都存在实数x,使得不等式|f(x)|x成立”等价于“存在实数a,对任意实数x,使得不等式|f(x)|x成立”,即对任意x,-1x+a1,令g(x)=x+,x.故只要g(x)=x+,x的最大值与最小值之差小于2即可.当b4时,g-g(2)2,此时无解;当b4时,得b;当b时,g(2)-g2,得-b,所以,-b.综上可得
17、,所求实数b的取值范围是b-或b.2.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的 取 值 范 围 为()A.-,B.1,C.2,3D.1,2答案答案B对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2转化为f(x)max-f(x)min2.由f(x)在(-,1)上是减函数,得-1,即t1,从而有t-0t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在0,1+t上的最大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)2,解得-t,又t1,
18、所以1t.故选B.3.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,8)已知函数y=x2-6|x|+2,当a-2xa+2时,函数的最大值为M(a),则M(a) 的 最 小 值 为()A.2B.-7C.-5D.-3答案答案Dy=画出函数图象,如图所示.(1)当a-20且0a+2,即-2a2时,M(a)=2;(2)当0a-2且a3,即2a3时,且x=a-2时函数取最大值,M(a)=a2-10a+18;(3)当03,即a3时,且x=a+2时函数取最大值,M(a)=a2-2a-6;(4)当a+20且-3a,即-3a-2时,且x=a+2时函数取最大值,M(a)=a2+10a+18;(5)当a+20且-3a,即
19、a0)有零点,则M的最大值为.答案答案解析解析abc0,中,最小,因此需要求的最大值,又二次函数f(x)=ax2+bx+c(abc0)有零点,b2-4ac0,即b24ac,c,故=+.设=t,t(0,1,则y=t+=(t2+4t)=(t+2)2-1.当t=1,即a=b时,y取得最大值.6.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知f1(x)=x+1,且fn(x)=f1fn-1(x)(n2,nN*),若关于x的函数y=x2+nfn(x)-n+10(nN*)在区间(-,-2上的最小值为-3,则n的值为.答案答案3或6解析解析由题意知,fn+1(x)=fn(x)+1,所以fn(x)=fn(x)-
20、fn-1(x)+fn-1(x)-fn-2(x)+f2(x)-f1(x)+f1(x)=n-1+f1(x)=x+n,因此y=x2+nx+n2-n+10(nN*).当-2,即n0),则方程|f(x)|-m=0恰好有3个不同的实根等价于方程|-3t2+12t-4|=m(t0)恰有3个不同的正实根,即函数y=|-3t2+12t-4|与函数y=m的图象在y轴的右侧恰有3个不同的交点,所以4m0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为()A.2B.1C.D.答案答案D不妨假设a,b同号,并设m-1,m,n,n+1(mm,且m,nN,所以nm+1,所以n+1-m2.故4|a|1,即|a|,故a的最大值为.注:
21、本题主要利用了绝对值不等式.也可利用特殊值法,结合二次函数图象开口大小与二次项系数的关系(|a|越小开口越大,曲线越平缓),取靠近对称轴的四个点去处理即可4.(2016浙江宁波二模,18)已知f(x)=(1)若a=-8,求当-6x5时,|f(x)|的最大值;(2)若对于任意实数x1(x13),存在x2(x2x1),使得f(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.二、解答题解析解析(1)若a=-8,则当x0时,f(x)=x2-8x+9,当x0时,f(x)=f(x+2),当-6x0时,存在0t2使得f(x)=f(t),从而只要求当0x5时,|f(x)|的最大值即可.(4分)此时f(4)f(x)f(
22、0),即-7f(x)9,所以|f(x)|的最大值为9.(7分)(2)当x12时,取x2=x1-2,则f(x2)=f(x1-2)=f(x1),符合题意.只需考虑当2x13时,存在x2(x2x1),使得f(x2)=f(x1).(10分)当-0,即a0时,f(x)=x2+ax+1-a在0,+)上单调递增,此时不存在x2,使得f(x2)=f(x1);当0-2,即-4a0时,只需f(3)f(0),即10+2a1-a,所以-43,即a3,必有f(x2)=f(x1),符合题意.综上所述,a-6或-4a-3.(15分)5.(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,18)已知f(x)=x2-3a2,g(x)=(2a+1)x.(1)若f(x)g(x)的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;(2)若|f(x)-g(x)|4a在x1,4a上恒成立,试确定a的取值范围.解析解析(1)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,则f(x)g(x)的解集为(0,1),不满足条件;若a0,则F(0)=-3a20,所以解得a,且|f(1)-g(1)|4a,可得a,所以F(x)=x2-(2a+1)x-3a2的图象的对称轴为直线x=a+,且a+.若a,则即解得0a,所以a;若a,则即解得a,所以a.综上,a的取值范围是a.
