《《系统动力学》课件第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《系统动力学》课件第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一阶系统一阶系统 与与 二阶系统二阶系统l一阶正反馈系统l一阶负反馈系统lS型增长的反馈结构l二阶系统、复杂系统简介第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统补充 DYNAMO语言概述oDYNAMO是一种计算机模拟语言系列。取名来自Dynamic Models(动态模型)的混合缩写。 顾名思义，DYNAMO的涵义在于建立真实系统的模型，并借助于计算机进行系统结构、功能与动态行为的模拟。oDYNAMO系列是伴随系统动力学，相辅相成地发展起来的。 DYNAMO、 DYNAMO 、 DYNAMO 、 DYNAMO oDYNAMO是特地为模拟动态反馈系统而设计的专用语言。它能够方便地以表格、图形等形式
2、输出数据型的模拟结果。DYNAMO 语言概述n当模拟一个动态反馈系统时， DYNAMO按每一个时间间隔（DT）为一步，对系统进行定量模拟，并逐步地模拟下去，从而得出系统的行为。n时间下标：J、K、Ln时间间隔：DT准确度DYNAMO中的时间下标中的时间下标DYNAMO模型中各种方程nL 状态（状态（State, level)变量方程变量方程在DYNAMO中计算状态变量（或称积累变量）的方程称为状态变量方程。L LEVEL.K=LEVEL.J+DT * (INFLOW.JK- OUTFLOW.JK)nR 速率（变化率）方程速率（变化率）方程速率方程无一定格式；速率的值在DT时间内是不变的，其时间
3、下标为KL。nA 辅助辅助(Auxiliary)方程方程辅助方程定义为在反馈系统中描述信息的运算式；“辅助”的涵义就是帮助建立速率方程。nC 赋值予常数赋值予常数nT 赋值予表函数中赋值予表函数中Y坐标坐标nN 为为LEVEL方程赋予初始值方程赋予初始值5o7.1 一阶正反馈系统 7.1.1一阶正反馈系统的“流图”描述 63.1 一阶系统与复杂系统o定义：定义：系统的阶数系统的阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。 一阶系统一阶系统就是含有一个状态变量的系统。o在现实世界中，高阶数、多回路、非线性的反馈复杂系统复杂系统比比皆是。 研究复杂系统系统动力学o系统动力学认为：一个复杂系统的行为往往由
4、某些主回路和主要变量决定，换言之，复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路和主要变量。因此，一个高阶系统可以从结构上分解为一阶或低于四阶的简单系统简单系统。也就是说，简单系统是各种复杂系统中的基本单元或通用的子结构。其中，一阶系统是最基本、最简单的系统单元。3.2 一阶正反馈系统o在正反馈过程中，由于变量自身的变量自身的反馈作用，将不断加剧加剧该变量的增长或减小。 如：滚雪球、雪崩效应n正反馈：“良性良性”或“恶性恶性”的循环 这种效应取决于回路中各部分之间的作用是相互改善还是恶化。 良性：规模收入GDP增长 恶性：工资物价增长， 军备增长， 吸毒泛滥等工资工资物价增长因果反馈关系物价增长因果
5、反馈关系军备增长的因果反馈关系军备增长的因果反馈关系正反馈系统特性指数增长o指数增长曲线描述了大多数正反馈系统的特性。如：发展中国家的人口增长， 污染问题， 再生自然资源的消耗与减少，都表现出指数增长或减少的特点。指数增长曲线指数增长曲线n指数增长的突出特点是，一开始似乎增长得很慢，然后在短时间内猛增。正反馈系统结构与方程 L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK)L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK) R RT.KL=CONST*LEV.K R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=1 C CONST=1式中： DT计算时间间隔（年）； CONST常数（1/
6、年）； LEV状态变量（单位）； RT速率（单位/年）正反馈系统的典型流图正反馈系统的典型流图n正反馈一般结构n指数增长方程式：正反馈系统参数推导令令t=t=T=1/CONSTT=1/CONST LEV(T) = LEV(0)e =2.73 LEV(0) LEV(T) = LEV(0)e =2.73 LEV(0) t=2T LEV(2T) =2.73 LEV(T)=LEV(0)e t=2T LEV(2T) =2.73 LEV(T)=LEV(0)e2 2=7.45LEV(0)=7.45LEV(0) L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK)L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK
7、)变形：变形： (LEV.K(LEV.KLEV.J)/DT=RT.JKLEV.J)/DT=RT.JKDT0DT0， d LEV(t)/dt =RT(t)d LEV(t)/dt =RT(t)假设假设: RT(t)=CONST*LEV(t): RT(t)=CONST*LEV(t)则：则： d LEV(t)/dt = CONST*LEV(t)d LEV(t)/dt = CONST*LEV(t)解得：解得： LEV(t) = LEV(0)eLEV(t) = LEV(0)eCONST*tCONST*t正反馈系统重要参数n1. 时间常数时间常数T定义：定义：时间常数为CONST的倒数。 T=1/CONST
8、涵义：涵义：T决定正反馈系统中增长或减少的速度。当T(或1/CONST）大时，相应的LEV(t) 为较平缓的增长曲线；反之，LEV(t)为较陡峭的变化曲线。时间常数时间常数T与倍增时间与倍增时间Td的关系的关系2.73 LEV(0)7.45 LEV(0)LEV(0)正反馈系统重要参数n3. T与与Td的关系：的关系： LEV(t) = LEV(0)eLEV(t) = LEV(0)eCONST*tCONST*t令 LEV(t) = 2LEV(0) 2LEV(0)=LEV(0)eCONST* Td 2= eCONST* Td则 Td =ln2*T=0.69Tn2. 倍增时间倍增时间Td 变量由初始
9、值增至二倍的初始值时所需的时间。每经过一个Td ，LEV的值将较前增加一倍。 LEV(0) 2LEV(0) 时间常数时间常数T与倍增时间与倍增时间Td的关系的关系LEV(0)2LEV(0)2*2LEV(0)8LEV(0)正反馈系统举例LEV的初始值计算RT;RT*DT;RT*DT+LEV初始值，得新的LEV;新的LEV代替初始值，重复计算。n银行储蓄的本利计算：LEV与与RT的指数增长的指数增长L RAL.K=RAL.J+(DT)(IPR.JK)L RAL.K=RAL.J+(DT)(IPR.JK)N RAL=1N RAL=1R IPR.KL=FAIR*RAL.KR IPR.KL=FAIR*RA
10、L.KC FAIR=0.2C FAIR=0.2银行利息流图银行利息流图正反馈指数增长的重要特点以不同大小的时间坐标范围观察指数增长过程：t15 Td 前，增长趋势不显著，t 15 Td 后，状态变量猛然暴涨。正反馈超指数增长o如图，实线表示的非线性情况，其变化率的增长速度较虚线表示的线性增长情况快得多，这种增长过程称为超指数增长超指数增长。o系统时间常数变化的非线性系统比起线性系统具有更加突出的指数增长特性。非线性的变化率非线性的变化率状态关系曲线状态关系曲线超指数增长曲线超指数增长曲线正反馈指数增长与崩溃指数崩溃模式曲线指数崩溃模式曲线可产生两种模式的系统变化率与状态关系可产生两种模式的系统
11、变化率与状态关系曲线曲线正反馈系统小结1.在正反馈闭合回路中，其一部分的变化将引起全体在同一方同一方向向上产生无休止的变化过程。2.正反馈系统最简单的模型只包括一个状态变量，它累计速率的变化，状态值的一般特性是指数式增长指数式增长，不过系统中也可能发生加速崩溃加速崩溃的过程。3.指数增长过程的显著特点可用倍增时间倍增时间表述。4.在现实生活中的有界限环境中，正反馈、负反馈力量相互作用于事物的发展。19o7.2 一阶负反馈系统 7.2 负反馈系统o负反馈系统的特点是它的跟随目标的特性（寻的特性寻的特性）。 即状态值的任意增或减使状态值与目标值之间产生偏差，为了减小偏差，系统的内部作用反过来使状态
12、值相应的减或增，使偏差减小，最终仍大体维持了原先的状态。负反馈结构的因果与相互关系回路图负反馈结构的因果与相互关系回路图n负反馈结构因果关系图： 期望状态（目标）期望状态（目标） 系统状态（水平）系统状态（水平） 偏差偏差 校正量（速率）校正量（速率）n诸如自调节、自控制、自均衡，体内平衡或自适应等隐含存在着寻的或趋向目标寻的或趋向目标的负反馈结构。负反馈系统结构与方程负反馈系统的典型流图负反馈系统的典型流图n基本方程式：基本方程式：L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK)R RT.KL=CONST*DISC.KA DISC.K =GLLEV.K式中：式中： DT计算时间间隔(时间)
13、； CONST常数（1/时间）； LEV状态变量（单位）； RT速率（单位/时间）； DISC 偏差（单位）； GL 目标值（单位）n负反馈一般结构负反馈系统参数推导 L L LEV.K=LEV.J+(DT)CONST* (GLLEV.K=LEV.J+(DT)CONST* (GLLEV.K)LEV.K)变形：变形： (LEV.K(LEV.KLEV.J)/DT=CONST*(GLLEV.J)/DT=CONST*(GLLEV.K)LEV.K) DT0 d LEV(t)/dt = CONST*(GL DT0 d LEV(t)/dt = CONST*(GLLEV(t)LEV(t)解得解得： LEV(t
14、) = GLLEV(t) = GLGLGLLEV(0)eLEV(0)eCONST*tCONST*t令令 t=t=T=1/CONST T=1/CONST LEV(T) = GL LEV(T) = GLGLGLLEV(0)eLEV(0)e11 = LEV(0)+(1- e= LEV(0)+(1- e11)GL)GLLEV(0)LEV(0) = LEV(0)+0.632GL = LEV(0)+0.632GLLEV(0)LEV(0) LEV(2T) = LEV(T)+0.632GLLEV(2T) = LEV(T)+0.632GLLEV(T)LEV(T) LEV(3T) = LEV(2T)+0.632G
15、L LEV(3T) = LEV(2T)+0.632GLLEV(2T)LEV(2T)负反馈系统重要参数n1. 时间常数T T=1/CONST涵义：涵义：代表状态在初始值LEV(0)基础上增长0.632倍的偏差值（目标值与初始值之差）所需的时间。随着T的增加，状态值(LEV)将越来越接近目标值(GL)。 经过3倍的T之后，LEV接近目标的程度可达到95%； 而经过4T后则达到99%。（系统状态趋于稳定）负反馈系统的过渡过程负反馈系统的过渡过程负反馈系统重要参数状态变量的指数衰减曲线状态变量的指数衰减曲线n2. 减半时间常数Th LEV(t) = LEV(0)eLEV(t) = LEV(0)eCON
16、ST*tCONST*t 1/2LEV(0) = LEV(0)e 1/2LEV(0) = LEV(0)e(1/T)*T(1/T)*Th h整理后得：Th =T*ln2=0.69*TTh=0.69T负反馈系统行为特性负反馈系统的图解模拟负反馈系统的图解模拟寻的负反馈系统的三种行为模式o模式(1)： GL0, LEV(0)0,（LEV(0)-GL）0 状态值渐近增长趋向目标值GL。o模式(2)：GL0, （LEV(0)-GL）0 状态值指数衰减趋向目标值GL。o模式(3)：GL=0, LEV(0)0 状态值指数衰减至0。寻的系统运行模式寻的系统运行模式(1)与与(2)零目标结构寻的系统零目标结构寻的
17、系统负反馈系统的补偿特性o负反馈系统具有当其状态变量受外界输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为补偿特性补偿特性。方程式：方程式：L LEV.K=LEV.J+L LEV.K=LEV.J+ (DT)(RT1.JK+RT2.JK) (DT)(RT1.JK+RT2.JK)R RT1.KL=CONST*DISC.KR RT1.KL=CONST*DISC.KC CONST=1C CONST=1A DISC.K=GLA DISC.K=GLLEV.KLEV.KC GL=100C GL=100R RT2.KL=CRTR RT2.KL=CRTC CRT=8C CRT=8带有不变外生输入速
18、率的负反馈系统带有不变外生输入速率的负反馈系统当NTRT=0时， CRT=CONST*(GLLEV.K） =CONST*GL+LEV*CONST LEV=NGL=（CRT/CONST）+GL 或以时间常数T(T=1/CONST)表示, NGL=T*CRT+GL速率速率状态变量关系曲线状态变量关系曲线n系统新的动态平衡系统新的动态平衡n系统新的平衡值比原目标值系统新的平衡值比原目标值GLGL增加了增加了T*CRTT*CRT推导：推导： RT1.KL=CONST*RT1.KL=CONST*（GLGLLEV.KLEV.K） RT2.KL=CRTRT2.KL=CRT NTRT.KL NTRT.KLCO
19、NST*CONST*（GLGL LEV.KLEV.K）+CRT+CRT负反馈系统小结o由此可见，负反馈系统具有补偿补偿功能。 即：当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。此差值（或称误差）与系统的时间常数及外生速率有关。 （1）在最简单的系统中，基于状态值与目标值之差的速率发挥调节作用，驱动系统状态趋向目标值。 （2）时间常数T决定系统对状态变化的反应速度。o负反馈系统具有力图维持系统处于平衡状态（寻的寻的）的特性。举例：库存控制系统n销售率阶跃增加？简单的库存控制系统简单的库存控制系统一阶负反馈系统对销售阶跃增加的响应一阶负反馈系统对销售阶跃
20、增加的响应新的平衡新的平衡31o7.3 一阶S形增长系统 7.3.1 一阶S形增长概述 3233图7-10 传染病蔓延问题的模拟结果 34图7-10 感染人数GR同患病人数IP之间的关系 7.3 S形增长的反馈结构oS形增长是颇具典型的一种系统行为，它包含了指数与渐近两种增长过程。S形增长曲线形增长曲线n正反馈正反馈+负反馈负反馈 稳态稳态nS形增长过程在现实生活中普遍存在。 如： 学习过程 动物繁殖S形增长系统分析o从反馈的机制分析，系统产生S形行为的基本条件是：正反馈先起主导作用，然后负反馈转而起主导作用。非线性速率非线性速率状态曲线状态曲线结论：结论：任何具有上图中速率状态关系的一阶系统
21、都必定产生S形增长行为。S形增长结构的模拟图形增长结构的模拟图S形增长结构的稳定与非稳定平衡o若系统的状态变量LEV最终达到某个状态并长期保持下去，则称系统达到稳定平衡稳定平衡。 此时：RT=0, LEV的值不再变化。n非稳定平衡 LEV=0；RT=0 称非稳定平衡的状态。n外界影响？ S形的增长结构形的增长结构S形增长小结1.产生S形增长特性的必须条件必须条件：系统内部起主导的反馈作用受非线性的影响由正反馈转化为负反馈。2.RT-LEV关系曲线关系曲线具有明显的特点，速率先随状态值而增长，达到最大之后逐渐减小至0。状态变量S形增长过程中出现拐点对应的速率的最大值。3.当变化率为0时，LEV达
22、到稳定平衡稳定平衡，这是一阶负反馈机制的重要特性。4.现实生活中的S形增长现象：如在一定地区范围内传染病的蔓延、动植物的繁殖等。7.4 二阶系统概念与结构o二阶系统就是包含两个独立状态变量的系统。库存库存劳动力系统流图劳动力系统流图L INV.K=INV.J+DT*(PR.JKL INV.K=INV.J+DT*(PR.JKSR.JK)SR.JK)N INV=DINVN INV=DINVR PR.KL=WF.K*PPMR PR.KL=WF.K*PPM； WF.KL=(WF.KL=(外生函数外生函数) )L WF.K=WF.J+DT*(HFR.JK)L WF.K=WF.J+DT*(HFR.JK)N
23、 WF=SR/PPMN WF=SR/PPMR HFR.KL=(DINVR HFR.KL=(DINVINV.K)/(ICT*PPM*WFAT)INV.K)/(ICT*PPM*WFAT)二阶系统基本行为模式阶跃输入？阶跃输入？o渐近增长o超调o衰减震荡o等幅震荡o发散震荡二阶系统对阶跃输入的响应二阶系统对阶跃输入的响应一阶系统、二阶系统的震荡o一阶系统只含有一个状态变量，故各辅助变量与变化率都彼此直接或间接地与此状态变量联系着。若此状态变量不再变化，则模型中的辅助变量均不再变化，因此输入、输出变量也不会发生变化。模型中的一切量都保持为常数，达到动态平衡动态平衡。o对于二阶系统，若要使模型处于稳定状
24、态，则要求两组输入、输出变量同时各自相等。假设一个状态变量处于稳定状态，但另一状态变量可能尚未稳定。来自后者的不稳定力量，将反馈至第一个状态变量，使之脱离稳定，结果就可能产生振荡产生振荡。结论：结论：只包含一个状态变量的模型是不会产生振荡的，包含有两个及以上状态变量的模型则可能产生振荡。7.6 复杂系统o复杂系统复杂系统：高阶数、多回路、非线性o行为特性行为特性：反直观性对变动参数的不敏感性对校正计划、变更政策的抵制性通过政策的作用点（影响点）进行控制长短期效果的矛盾向低效益发展的倾向要点回顾o一阶系统 二阶系统 复杂系统n系统描述 结构特性 行为模式等nVensim举例：系统行为模式 Coffee Temperature （chap 9 ） Fox-Rabbit Ecology （chap10 ）
