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1、提问：数值分析是做什么用的？提问：数值分析是做什么用的？数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算 近似解近似解1第一章第一章误差误差/*Error*/1误差的背景介绍误差的背景介绍/*Introduction*/1.来源与分类来源与分类/*Source&Classification*/从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型模型误差模型误差/*ModelingError*/通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值观测误差观测误差/*MeasurementError*/求近似解求近似解方法误差方法误差(截断误差截断误差/*TruncationError*/)机
2、器字长有限机器字长有限舍入误差舍入误差/*RoundoffError*/21Introduction:Source&ClassificationThefollowingproblemcanbesolvedeithertheeasywayorthehardway.Twotrains200milesapartaremovingtowardeachother;eachoneisgoingataspeedof50milesperhour.Aflystartingonthefrontofoneofthemfliesbackandforthbetweenthematarateof75milesperhou
3、r.Itdoesthisuntilthetrainscollideandcrushtheflytodeath.Whatisthetotaldistancetheflyhasflown?Theflyactuallyhitseachtrainaninfinitenumberoftimesbeforeitgetscrushed,andonecouldsolvetheproblemthehardwaywithpencilandpaperbysumminganinfiniteseriesofdistances.Theeasywayisasfollows:Sincethetrainsare200miles
4、apartandeachtrainisgoing50milesanhour,ittakes2hoursforthetrainstocollide.Thereforetheflywasflyingfortwohours.Sincetheflywasflyingatarateof75milesperhour,theflymusthaveflown150miles.Thatsallthereistoit.WhenthisproblemwasposedtoJohnvonNeumann,heimmediatelyreplied,150miles.Itisverystrange,saidtheposer,
5、butnearlyeveryonetriestosumtheinfiniteseries.Whatdoyoumean,strange?askedVonNeumann.ThatshowIdidit!31Introduction:Source&Classification大家一起猜大家一起猜？11 / e解法之一解法之一：将将作作Taylor展开后再积分展开后再积分S4R4/*Remainder*/|舍入误差舍入误差/*RoundoffError*/|=0.747由截去部分由截去部分/*excludedterms*/引起引起取取则则称为称为截断误差截断误差/*TruncationError*/由留
6、下部分由留下部分/*includedterms*/引起引起例：例：近似计算近似计算4据说，美军据说，美军 1910 1910 年的一次部队的命令传递是这样的年的一次部队的命令传递是这样的: : 营长对值班军官营长对值班军官: : 明晚大约明晚大约 8 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔看到，这种彗星每隔 76 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星
7、的影片。堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长值班军官对连长: : 根据营长的命令，明晚根据营长的命令，明晚8 8点哈雷彗星将在操场上空出点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。现象将在那里出现。连长对排长连长对排长: : 根据营长的命令，明晚根据营长的命令，明晚8 8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔令每隔767
8、6年才会出现一次。年才会出现一次。排长对班长排长对班长: : 明晚明晚8 8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 7676年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。去。班长对士兵班长对士兵: : 在明晚在明晚8 8点下雨的时候，著名的点下雨的时候，著名的7676岁哈雷将军将在营长的岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那陪同下身着野战服，开着他那“彗星彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。牌汽车，经过操场前往礼堂。51Introduction:Spread&Accu
9、mulation2.传播与积累传播与积累 /*Spread&Accumulation*/例：例：蝴蝶效应蝴蝶效应纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个以上是一个病态问题病态问题/*ill-posedproblem*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！61Introduction:Spread&Accumulation例：例：计算计算公式一：公式一：注意此公式注意此公式精确精确成成立立记为记为则初始误差则初始误差?!Whathappened
10、?!71Introduction:Spread&Accumulation考察第考察第n步的误差步的误差我们有责任改变。我们有责任改变。造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法 /*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增走势。迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动公式二：公式二：注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。方法：先估计一个方法：先估计一个IN, ,再反推要求的再反推要求的In(nN )。可取可取81Introduction:Spread&Accumulation取取Wejustgotlucky?91Intr
11、oduction:Spread&Accumulation考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：以此类推，对以此类推，对n 0 0 0 0 不唯一不唯一不唯一不唯一，当然当然当然当然 e* e* e* e* 越小越具有参考价值。越小越具有参考价值。越小越具有参考价值。越小越具有参考价值。Icantellthatthispartsdiameteris20cm 1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestono
12、tonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.112ErrorandSignificantDigits 相对误差相对误差/*relativeerror*/NowIwouldntcallitsimple.Saywhatistherelativeerrorof20cm1cm?Donttellmeits5%becauseButwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?x 的的相对误差上限相对误差上限/*relativeaccuracy*/定义为定义为Amathematician,aphysic
13、ist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain.Aha,saystheengineer,IseethatScottishsheepareblack.Hmm,saysthephysicist,YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.No,saysthemathematician,AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideoftha
14、tonesheepisblack!注：从注：从注：从注：从的定义可见，的定义可见，的定义可见，的定义可见，实际上被实际上被实际上被实际上被偷换偷换偷换偷换成了成了成了成了，而后才考，而后才考，而后才考，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否察其上限。那么这样的偷换是否察其上限。那么这样的偷换是否察其上限。那么这样的偷换是否合法合法合法合法？严格的说法是，严格的说法是，严格的说法是，严格的说法是，与与与与是否反映了是否反映了是否反映了是否反映了同一数量级同一数量级同一数量级同一数量级的误差的误差的误差的误差？关于此问题的详细讨论可见教材第关于此问题的详细讨论可见教材第关于此问题的详细讨论可见教材第
15、关于此问题的详细讨论可见教材第3 3页。页。页。页。122ErrorandSignificantDigits 有效数字有效数字/*significantdigits*/用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）。若）。若 （即（即 的截取按四舍五入规则），则称的截取按四舍五入规则），则称 为有为有n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。例：例：问：问：有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。证明：证明：有有位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第位。位。43注：注：注：注：0.23000.2300有有有有4 4位有效数字，而位有效数字，而位有
16、效数字，而位有效数字，而0002300023只有只有只有只有2 2位有效。位有效。位有效。位有效。1230012300如如如如果写成果写成果写成果写成0.1230.123 10105 5，则表示只有，则表示只有，则表示只有，则表示只有3 3位有效数字。位有效数字。位有效数字。位有效数字。数字末尾的数字末尾的数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去！不可随意省去！不可随意省去！不可随意省去！132ErrorandSignificantDigits 有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系有效数字有效数字相对误差限相对误差限已知已知x*有有n 位位有效数字有效数字，则其，则其相对误差限相对误
17、差限为为相对误差限相对误差限有效数字有效数字已知已知x*的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见x*至少至少有有n 位位有效数字有效数字。142ErrorandSignificantDigits例：例：为使为使 的相对误差小于的相对误差小于0.001%, ,至少应取几位有效数字？至少应取几位有效数字？解：解：假设假设 *取到取到n 位有效数字，则其相对误差上限为位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足，只要保证其上限满足已知已知a1=3，则从以上不等式可解得，则从以上不等式可解得n6 log6，即，即n 6，应取，应取 *=
18、3.14159。153函数的误差估计函数的误差估计/*ErrorEstimationforFunctions*/问题问题：对于：对于 y = f (x)，若用，若用 x*取代取代 x，将对，将对y 产生什么影响？产生什么影响？分析分析：e*(y)=f (x*) f (x)e*(x)=x* xMeanValueTheorem=f ( )(x* x)x*与与x 非常接近时，可认为非常接近时，可认为f ( ) f (x*)，则有：则有：|e*(y)| |f (x*)|e*(x)|即：即：x*产生的误差经过产生的误差经过f 作用后被放大作用后被放大/缩小了缩小了|f (x*)|倍。故称倍。故称|f (
19、x*)|为为放大因子放大因子/*amplificationfactor*/或或绝对条件数绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.163ErrorEstimationforFunctions相对误差条件数相对误差条件数/*relativeconditionnumber*/f 的条件数在某一点是的条件数在某一点是小小大大，则称，则称f 在该点是在该点是好条件的好条件的/*well-conditioned*/坏条件的坏条件的/*ill-conditioned*/。注：关于多元函数注：关于多元函数的讨论，请参阅的讨论，请参阅教材第教材第5、6页。页。173ErrorEstim
20、ationforFunctions例例:计算计算y=lnx。若。若x 20，则取，则取x的几位有效数字可保证的几位有效数字可保证y的相对误差的相对误差0.1%?解：解：设截取设截取n位有效数字后得位有效数字后得 x* x，则，则估计估计x和和y的相对误差上限满足近似关系的相对误差上限满足近似关系不知道怎么办啊不知道怎么办啊？x可能是可能是20.#，也可能，也可能是是19.#，取最坏情况，取最坏情况，即即a1=1。n 4例：例：计算计算，取，取4 位有效，即位有效，即,则相对误则相对误差差184几点注意事项几点注意事项/*Remarks*/1.避免相近二数相减避免相近二数相减(详细分析请参阅教材
21、详细分析请参阅教材p.6-p.7)例：例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。而而a2 a1=0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：当当|x |1时：时：更多技巧请见教材第更多技巧请见教材第8页习题页习题6。194Remarks2.避免小分母避免小分母:分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出/*overflow*/3.避免大数避免大数吃吃小数小数例：例：用单精度计算用单精度计算的根。的根。精确解为精确解为 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1
22、1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为的指数部分须变为1010，则：，则：1=0.01 1010，取单精度时就，取单精度时就成为：成为：109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数大数吃吃小数小数204Remarks?算法算法2：先解出先解出 再利用再利用注：注：注：注：求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算按从小到
23、大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+1094.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为一般来说，计算机处理下列运算的速度为5.选用稳定的算法。选用稳定的算法。HW:p.8-9#1,#7Self-studyCh.2-1 ExcusesfornotdoinghomeworkI accidentally divided by zeroand my paper burst into flames. 21Lab01.NumericalSummationofaSeriesProduceatableofthevaluesof
24、theseries(1)forthe3001valuesofx,x =0.0,0.1,0.2,300.00.Allentriesofthetablemusthaveanabsoluteerrorlessthan1.0e-10.ThisproblemisbasedonaproblemfromHamming(1962),whenmainframeswereveryslowbytodaysmicrocomputerstandards.InputThereisnoinput.OutputTheoutputistobeformattedastwocolumnswiththevaluesofxand (x
25、)printedasintheCfprintf:fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix);/*hererepresentsaspace*/22Asanexample,thesampleoutputbelowshows4acceptablelinesoutof3001,whichmightappearintheoutputfile.Thevaluesofxshouldstartat0.00andincreaseby0.1untilthelinewithx = 300.00isoutput.SampleOutput(representsaspace)0.001.6
26、449340668480.101.534607244904.1.001.0.2.000.750000000000.300.000.4Toimprovetheconvergenceofthesummationprocessnotethat(2)whichimplies (1)=1.0.Onecanthenproduceaseriesfor (x) (1)whichconvergesfasterthantheoriginalseries.This series not only converges muchfaster,italsoreducesroundoffloss.Thisprocessoffindingafasterconvergingseriesmayberepeatedagainonthesecondseriestoproduceathirdsequence,whichconvergesevenmorerapidlythanthesecond.Thefollowingequationishelpfulindetermininghowmayitemsarerequiredinsummingtheseriesabove.23
