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1、四、多变量系统状态反馈四、多变量系统状态反馈基本思路：基本思路：若多变量系统(A, B)可控，其极点配置的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问题，步骤如下：1.任取2. b Im(B) , b0，3.找一个状态反馈增益阵K1，使单变量系统4. (A+BK1, b)5.可控；2.对单变量系统(A+BK1, b)配置极点到希望的位置：1因此，找状态反馈增益阵K1是关键。23证明分以下几步完成：证明分以下几步完成：定理定理4-44-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向量b，均存在一个状态反馈增益阵K1，使得 (A+BK1 , b)可控，这里，K1 Rpn。41)利用如下结论利用如下
2、结论：引理：引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1, u2, , un1(共n1个！），使得由下式定义的n个向量x1, x2, , xn 线性无关p7：其中b 为B值域中的任一非零向量，xiRn1, uiRp152). 2). 定义矩阵定义矩阵 K1Rpn ：即：63. 证明证明(A+BK1, b) 可控可控p578定定理理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数共軛成对出现）。证明证明 首先选取非零向量L，可得 b=BL，由定理4-4可知存在K1，使 (A+BK1, b)可控。由单变量极点配置定理
3、可知存在n维行向量k，使得 A+BK1+bk 9故只要取 K= K1+Lk即可证明定理4-5。 证完。证完。 A+BK1+bk =A+BK1+BLk = A+B(K1+Lk)的特征值可任意配置。但1011引理的证明：引理的证明：这里给出一个构造性的证明。121314使得线性无关，但15这里故16则17注：注：引理的证明过程实际上给出了如何选取xi 和 ui ,使从而选取矩阵K1的算法。证完。证完。18例题例题 1 系统方程为试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。解解1 (试凑法） 取 x1 = BL =b=0 1 1T0, L=1 1T。考虑 x1=b, xk+1= A xk+ B
4、uk (k=1, 2, , n1)， 19因为 Ax1=1 1 1T与x1线性无关，故取 x2= Ax1,也就是可令 u1=0 0T又因为Ax2与x1, x2 构成线性相关组，u2不能取 0 0T，可取 u2=1 1T，这样可得 x3= Ax2+Bu2= 2 0 2 T。20因此，由K1=u1 u2 0x1 x2 x3-1，可得不难验证(A+BK1 b)可控。 21解解2 利用引理所给出的算法。取 x1 = Bu1 =b=0 1 1T, u1=1 1T。根据引理，取 x1= b1, x2= Ax1+ b1 =Ax1+ Bu1= 1 2 2T 则显然 x1 和 x2 线性无关。但 Ax2+ b1
5、= 3 3 3T 却与x1 和 x2 线性相关。因此取22 b2=0 0 1T, 有 x3= Ax2+ b2 = 3 2 3T 则x1, x2, x3 构成线性相关组。这里， u1= 1 1T, u2= 0 1T23例题例题2 系统方程为欲使闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j, 试确定状态反馈增益阵K。 取L =1 0T, x1=b1=0 0 1 0T； 取 u1=1 0T, 可得 x2=0 1 0 0T ； 取 u2=0 0 T , 可得 x3=1 0 0 0 T ； 取 u3=0 1 T , 可得 x4=0 0 0 1 T ；解解 先用试凑法求xi 和 ui ：24于是由 的计
6、算式可得 显然，(A+BK1, b1)可控。令k=k1 k2 k3 k4, 直接计算 25它的特征式为 s4 (1+k3)s3+(k3k2)s2+(k2k1)s+k1 k4,期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8,比较上述两多项式的系数，可得 k1 =37, k2=21, k3=7, k4=45 状态反馈阵可取为26 在上面的做法中，在L和 ui 取定后，k 就唯一的确定了。但 L 和 ui 是非唯一的，这一事实至少可以说明达到同样极点配置的K值有许多。K的的这这种种非非唯唯一一性性是是多多输输入入系系统统与与单单输输入入系系统统极极点点配配置置问问题题主主要要区区别别之之一一。如何
7、充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个研究领域。27式中fi (K)表示某一个以K的元素kij为变量的非非线线性性函函数数。如果将期望多项式表成 多多输输入入系系统统状状态态反反馈馈配配置置极极点点问问题题的的另另一一特特点点是是“非非线线性性方方程程”。说明如下：如将K阵的元素用待定系数kij 表示，闭环的多项式可以写为28比较两式的系数，可知应有 (S3) 18例：例：对多变量系统，显然，det(sIABK)的系数是非线性的。29 det(sIABK)在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般是非线性方程。定理4-4所提供的事实表明：当系统可控时
8、，可以通过牺牲当系统可控时，可以通过牺牲K的自由参数，的自由参数，使使det(sIABK)简化为一组能解出的线性方程组。简化为一组能解出的线性方程组。 对例题2，也可以用求解上述方程来做，通过 K 中自由参数的适当选取，往往可以方便地求出需要的K阵。 30解解 因为例例 题题 3 对 例 题 2中 的 系 统 ， 用 直 接 求 解 fi(K)=i 的方法，计算达到极点配置的K阵，这里，欲使配置的闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j。31方案方案：取 k4=k5=k6=k7=0, 1+k8= 2, 由易得 即有 32方案方案2 ： 取 k1=k2= 0, k3= 1 , k4=1可得
9、 k5=8, k6=16 , k7=14, k8=7, 即有由33以上的做法中，充分利用了将矩阵分块和相伴标准形的有关知识，从而方便了计算。 如同单输入系统一样,定理4-4中可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。 极点配置中反馈增益阵选取的不唯一，表明由此生成的闭环传递函数阵一般是不同的，从而也将具有不同的响应特性。显然，在极点配置问题中应选择响应速度较快的反馈增益阵。34五、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响五、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响(仅介绍，不要求） 给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给
10、定极点组需包含系统的全部不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。 35363738六、镇定问题六、镇定问题1. 1. 状态反馈的镇定问题：对于定常系统状态反馈的镇定问题：对于定常系统39402. 2. 系统按镇定分类系统按镇定分类41能够使用极点配置的条件：状态可以测量如果系统的状态不能完全测量这是大多数 控制系统的共同特点则不能直接采取状态反馈配置极点的方法。但即便如此，极点配置的结果仍然具有重要的理论和广泛的工程意义，是线性系统理论最经典的成果之一。 42 还需要特别指出的是，由于任何真实的工业系统都不是真正意义上的线性系统，即使全部的状态都能得到也不可能任意地改善系统的品质。 此外,能够进行上述“精确”极点配置的前提是对象的参数完全已知，这在现实中很难做到。这导致上个世纪80年代以来人们对系统的鲁棒极点配置的研究，即讨论当对象的参数或结构不完全已知的情形下是否可以将极点配置到理想位置或其附近。这个问题迄今为止远未解决。43
