《2.4 连续型随机变量的概率密度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4 连续型随机变量的概率密度（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不不能象离散型随机变量那样能象离散型随机变量那样, 以指定它取以指定它取每个值概率的方式每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.,使得对任意使得对任意 , 有有 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x) , 对任意实数对任意实数x，有，有 则称则称 X为
2、连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的概率密度函的概率密度函数，简称为概率密度或密度数，简称为概率密度或密度.2.4.1 连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o2 o这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，1) 对连续型对连续型 r.v X,有有2) 由由P
3、(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为几乎不可能事件，为几乎不可能事件，B为几乎必然事件为几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S例例2.82.8 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为解解(1)(1)由由于是于是X X的密度函数为的密度函数为(2)=1所以得所以得X的分布函数为的分布函数为2.4.2常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布 由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确唯一被它的密度函数所确定定. 所以，若已知密度函数，
4、该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述. f (x)xo（1）若）若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U(a, b) 它的实际背景是：它的实际背景是： r.v X 取值在区间取值在区间(a, b) 上，并且取值在上，并且取值在(a, b)中任意小区间中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比内的概率与这个小区间的长度成正比.则则 X 具有具有(a,b)上的上的均匀分布均匀分布.1.均匀分布均匀分布均匀分布的分布函数为事实上，当 x 0，则称则称X
5、服从参数为服从参数为 m m 和和 s s2 2 的正态分布的正态分布. 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 m 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲
6、线都在x轴的上方轴的上方; ;故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x = = m m 处达到最处达到最大值大值: :令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴轴. . 即即f (x)以以x轴为渐近线轴为渐近线. . 当当x 时，时，f(x) 0, ,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f (x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标. .x = 根据对密度函数的
7、分析，也可初步画出正根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图态分布的概率密度曲线图. . 用用上上海海99年年年年降降雨雨量量的的数数据据画画出出了了频率直方图频率直方图.从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布雨量近似服从正态分布.下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图的数据画出的频率直方图.红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布应服从正态分布.人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大
8、大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点点. 除了我们在前面遇到过的年降雨量外除了我们在前面遇到过的年降雨量外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
9、等，都服从或近似服从直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. .服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是X的分布函数的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？ 设设X ,X的分布函数是的分布函数是 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布态分布.标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布二、标准正态分布二、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常
10、用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. ., ,则则 N(0,1) 若若定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率
11、计算查表. .三、正态分布表三、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当-x0时时若若N(0,1) 若若 XN(0,1),例例 解解 查表得查表得由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974四、四、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .标准正态随机变量的标准正态随机变量的a a分位点分位点azaxyo例例2.12 2.12 解解（1）（2）例例2.12 2.12 解解
