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1、2021 高二数学寒假作业同步练习题：圆锥曲线大题专项练习专题专题 07 圆锥曲线大题专项练习圆锥曲线大题专项练习一、巩固基础知识一、巩固基础知识1如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，一条直线 经过与椭圆交于、两点。191622yx1F2Fl1FAB(1)求的周长；2ABF(2)若直线 的倾斜角为，求的面积。l452ABF【解析】由椭圆方程知：、，191622yx4a3b722bac(1)的周长为；2ABF16444|212122aBFBFAFAFBFAFAB(2)由知、，又，直线 的方程为，7c)07(1，F)07(2，F145tanlkl07 yx由联立消去并整理得：，恒成立，191607
2、22yxyxx081718252yy0设、，)(11yxA，)(22yxB，2571821 yy258121 yy，25272)2581(4)25718(4)(|22122121yyyyyy。251472252727221|2121212yyFFSABF2已知点到点的距离比点到直线的距离小 。M)03( ，FM04 x1(1)求点的轨迹的方程；MC(2)若曲线上存在两点、关于直线 ：对称，求直线的方程。CABl0124yxAB【解析】(1)动点到点的距离比点到直线的距离小 ，)(yxM，)03( ，FM04 x1动点到点的距离与到直线的距离相等，)(yxM，)03( ，F03x动点在以点为焦点
3、，为准线的抛物线上运动，)(yxM，)03( ，F3xC抛物线的方程为；Cxy122(2)设、，则代入做差可得，)(11yxA，)(22yxB，)(12)()(212121xxyyyy又直线的斜率为，即，AB412)(421yy321 yy中点的坐标为，直线的方程为：，即AB)236(，AB)6(423xy，02454 yx经检验，此时直线与抛物线有两个不同的交点，满足题意。AB3已知、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线 与椭圆交于不同的两点、1F2F1422 yx)20( ，MlA，且(为坐标原点)为锐角，求直线 的斜率的取值范围。BAOBOlk【解析】显然直线不满足题设条件，故设直线 ：
4、，、，0xl2 kxy)(11yxA，)(22yxB，联立得，14222yxkxy034)41(22kxxk由，得或，034)41(12)4(222kkk23k23k，414221kkxx413221kxx又，900AOB0cosAOB0OBOA02121yyxxOBOA又，41144184134)(2)2)(2(222222212122121kkkkkkxxkxxkkxkxyy，即，0411413222kkk42k22k综合，得直线 的斜率的取值范围为。lk)223()232(，4如图所示，椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点、在轴上，离心率。E)32( ，A1F2Fx21e(1)求椭圆的方程；
5、E(2)求的角平分线所在直线的方程。21AFF【解析】(1)由题意可设椭圆方程为()，即，12222byax0ba21e21ac，又，椭圆方程为，ca222223ccab1342222cycx又椭圆过点，解得，椭圆方程为；)32( ，A1394422cc42c1121622yx(2)由(1)知、，)02(1，F)02(2，F直线的方程，即，直线的方程为，1AF)2(43xy0643 yx2AF2x设为角平分线上任意一点，则点到两直线的距离相等，)(yxP，P即，或，|2|5|643|xyx)2(5643xyx)2(5643xyx即或，082yx012 yx由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求
6、的平分线所在直线方程为。21AFF012 yx二、扩展思维视野二、扩展思维视野5已知椭圆：()的左右焦点分别为、，椭圆过点，直线交C12222byax0ba1F2FC)221 ( ，P1PF轴于，且，为坐标原点。yQQOPF22O(1)求椭圆的方程；C(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作出直线、交椭圆于、两点，设这两条直线的斜率MCMMAMBAB分别为、，且，证明：直线过定点。1k2k221 kkAB【解析】(1)，QOPF22212FFPF 1c121122ba12222bcba、，即；12b22a1222 yx(2)由题意可知直线一定存在斜率，设方程为，ABABbkxy代入椭圆方程得，成立，
7、012)21(222bkbxxk0设、，则，)(11yxA，)(22yxB，221212kkbxx2221211kbxx又，1111111xbkxxyk2222211xbkxxyk，2)(1(211212121221121xxxxbxxkxbkxxbkxkk解得，代入得：，直线必过。1bkbkxy1kkxy) 11( ，6已知抛物线：()，直线与交于、两点，且，其中为Epxy220p3 myxEAB6OBOAO坐标原点。(1)求抛物线的方程；E(2)已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为、，证明：为定值。C)03(，CACB1k2k22221211mkk【解析】(1)联立方程组，消元得：，恒成立
8、，322myxpxy0622ppmyy0设、，)(11yxA，)(22yxB，pmyy221pyy621又， ，从而；6694)(2122212121pyypyyyyxxOBOA21pxy 2(2)，6311111myyxyk6322222myyxyk1161ymk2261ymk)11(36)11(122)6()6(2112221212222122221yyyymmymymmkk22212122121212221212)(3612)11(36)11(12yyyyyyyyyymyyyym，又，则，mpmyy2213621pyy2421122221mkk即为定值。22221211mkk247已知点
9、直线 ：，为平面上的动点，过点作直线 的垂线，垂足为，且满足) 10( ，Fl1yPPlQQFQP。FQFP(1)求动点的轨迹方程；P(2)、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，ABMOMAB1l2l21ll 、相交于点，求点的纵坐标。1l2lDD【解析】(1)设，则，)(yxP，) 1(，xQFQFPQFQP，即，即，)2() 1()2() 10(，xyxxy) 1(2) 1(22yxyyx42动点的轨迹的方程；PMyx42(2)设、，、分别是抛物线在点、处的切线，)(11yxA，)(22yxB，1l2lCAB直线得斜率、直线得斜率，1l2|111xykxx2l2
10、|222xykxx，即，、是抛物线上的点，21ll 121kk421xxABC4211xy ，4222xy 直线的方程为，直线的方程为，1l)(241121xxxxy2l)(242222xxxxy由解得，点的纵坐标为。)(24)(2422221121xxxxyxxxxy122221yxxxD18已知椭圆：()的离心率为，且椭圆过点。C12222byax0ba23C)231 ( ，(1)求椭圆的方程；C(2)若直线 与椭圆交于、两点(点、均在第一象限)，且直线、 、的斜率成等比数列，lCPQPQOPlOQ证明：直线 的斜率为定值。l【解析】(1)由题意可得，又，解得，故椭圆：；14312322b
11、aac222cba12baC1422 yx(2)由题意可知，直线 的斜率存在且不为，故可设直线 的方程为()，l0lmkxy0m设、，联立，消去得：)(11yxP，)(22yxQ，1422yxmkxyy，0) 1(48)41 (222mkmxxk则，0) 14(16) 1(4)41 (4)8(22222mkmkkm且 ，221418kkmxx222141) 1(4kmxx故，2112122121)()()(mxxkmxxkmkxmkxyy又直线、 、的斜率成等比数列，则，OPlOQ2212112121122)(kxxmxxkmxxkxyxy整理得，又，得，04222mmk0m412k又结合图像
12、可知，直线 的斜率为定值。21kl三、提升综合素质三、提升综合素质9已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取1C2Cx1C2CO1C2C两个点，将其坐标记录于下表中：x3242y320426(1)求、的标准方程；1C2C(2)若直线 ：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点lmkxy0k1CMNMN，求实数的取值范围。)081( ，Gk【解析】(1)设抛物线：()，则有()，2Cpxy220ppxy220x据此验证个点知、在抛物线上，易求：，4)323(，)44(，2Cxy42设椭圆：()，把点、代入得：，1C12222byax0ba)02(，)262
13、(，146214222baa解得，的方程为：；42a32b1C13422yx(2)设、，将()代入椭圆方程，消去得：)(11yxM，)(22yxN，mkxy0ky，01248)43(222mkmxxk，即，0)124)(43(4)8(222mkkm3422 km由根与系数关系得，则，221438kkmxx221436kmyy线段的中点的坐标为，MNP)433434(22kmkkm，又线段的垂直平分线的方程为，MNl)81(1xky由点在直线上，得，Pl)81434(143322kkmkkm即，03842 kmk)34(812kkm由得，即或，3464)34(2222kkk2012k105k10
14、5k实数的取值范围是。k)105()105(，10已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线 与相交于、两点。 C12222byax0ba33FlCAB当 的斜率为 时，坐标原点到 的距离为。l1Ol22(1)求、的值；ab(2)上是否存在点，使得当 绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的CPlFOBOAOPP坐标与 的方程；若不存在，说明理由。l【解析】(1)椭圆的右焦点为，直线 的斜率为 时，则其方程为，即，)0( ，cFl1cxy0cyx原点到 距离：，Ol22222|00|ccd1c又，；33ace3a2b(2)由(1)知椭圆的方程为，设弦的中点为，12322yxAB)(yxQ，
15、由可知，点是线段的中点，点的坐标为，OBOAOPQOPP)22(yx，123422yx若直线 的斜率不存在，则轴，这时点与重合，lxl Q)01 ( ，F)02( ，OP点不在椭圆上，故直线 的斜率存在，Pl由得：，22abxykAB321xyxy)(3222xxy由和解得：、，43x42y当、时，点坐标为，43x42y21xykABP)2223( ，直线 的方程为，l022 yx当、时，点坐标为，43x42y21xykABP)2223(，直线 的方程为。l022 yx11已知直线 ：与椭圆：()相交于、两点。l1xyC12222byax0baAB(1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；3
16、32AB(2)若向量与向量相互垂直(其中为坐标原点)，当椭圆的离心率时，求椭圆长轴OAOBOC2221 ，eC长的最大值。【解析】(1)由题意可知，33e22 c1c3a213b椭圆的方程为，12322yx联立，消去得：，设、，112322xyyxy03652 xx)(11yxA，)(22yxB，则，5621 xx5321xx；538512)56(24)(2)()(|221221221221xxxxyyxxAB(2)设、，即，)(11yxA，)(22yxB，OBOA 0OBOA02121yyxx由，消去得，112222xybyaxy0)1 (2)(222222baxaxba由，整理得，0)1 ()(4)2(222222babaxa122ba，222212baaxx222221)1 (babaxx，1)() 1)(1(21212121xxxxxxyy，012)1 (21)(2222222221212121baababaxxxxyyxx整理得：，022222baba又，代入上式得，222222eaacab221112ea)1 (212122ea又，2221 ，e21412 e431212e，适合条件，211342e23)1 (2121672e23672 a122ba，故长轴长的最大值为。 26642 a6
