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1、开封市金明中学开封市金明中学 郝婕郝婕人教2012课标版八年级（上册）第十一章 与三角形有关的角11.2 11.2 三角形内角和定理的证明BAC任意画一个三角形，测量三角形的三个内角并求和，你有什么发现？命题：三角形三个内角的和是命题：三角形三个内角的和是180动手操作动手操作12BACBAC12DE 已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图 , ,ABC.ABC. 求证：求证：求证：求证：A+A+B+B+C=180C=180 探究思维探究思维证明：作证明：作证明：作证明：作BCBC的延长线的延长线的延长线的延长线CDCD， 过点过点过点过点C C作射线作射线作射线作射线CECEBABA， 则
2、则则则 2=2=A A （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 1=1=B B （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） 1+1+2+2+ACB=18ACB=180 0 （1 1平角平角平角平角=180=180） A+A+B+B+ACB=180 ACB=180 （等量代换）（等量代换）（等量代换）（等量代换） 过三角形一个顶点，用构造平角将三个角过三角形一个顶点，用构造平角将三个角化归为平角来证明定理化归为平角来证明定理 那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分那这个
3、点是任意的吗？请同学们思考然后分小组讨论。小组讨论。（1）思维能力训练）思维能力训练21ABCDE 已知：如图已知：如图 , ,ABC.ABC. 求证：求证：A+A+B+B+C=180C=180证明：过点证明：过点A A作射线作射线DEDEBCBC， 则则 2=2=C C （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 1=1=B B （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 1+1+2+2+BAC=180BAC=180（1 1平角平角=180=180） A+A+B+B+BAC=180 BAC=180 （等量代换）（等量代换）21ABCDE 这个点在三角形的边上如何？这个点在
4、三角形的边上如何？C21AB3EFD 已知：已知：已知：已知：ABCABC求证：求证：求证：求证：A AB BC=180C=180 证明：在证明：在证明：在证明：在ABCABC边上任取一点边上任取一点边上任取一点边上任取一点D D，过点，过点，过点，过点D D做直线做直线做直线做直线DFDFAB, DEAB, DEAC; AC; ABABDF (DF (已知）已知）已知）已知） B=B=1 1 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） A=A=DFC DFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角
5、相等）（两直线平行，同位角相等） DEDEACAC（已知）（已知）（已知）（已知） C=C=2 2 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） DFC=DFC=3 (3 (两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） A=A=3 (3 (等量代换）等量代换）等量代换）等量代换） 1 12 23=1803=180（平角定义）（平角定义）（平角定义）（平角定义） A AB BC=180C=180C21AB3EFD 这个点能否为三角形内部任意一点。这个点能否为三角形内部任意一点。C24A
6、B3EQDFPGH1 已知：已知：ABC 求证：求证：ABC=180证明：在证明：在ABC内部任取一点内部任取一点D，过点，过点D做直线做直线EFBC, GQAB; PHAC; EFBC (已知）已知） B=1 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） C=3 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QGAB（已知）（已知） 1=2 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） A=DQF （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） PHAC（已知）（已知） PDQ=DQF (两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） 3=4 (两直线平行，同
7、位角相等）两直线平行，同位角相等） B=1 1=2 B=2（等量代换）（等量代换） C=3 3=4 C=4（等量代换）（等量代换） A=DQF PDQ=DQF A=PDQ（等量代换）（等量代换） 24PDQ=180（平角定义）（平角定义） ABC=180C24AB3EQDFPGH1 如果这个点运动到三角形的外部呢？如果这个点运动到三角形的外部呢？BGC24A3EDFH1 已知：ABC 求证：ABC=180 证明：在ABC外部任取一点D，过点D做直线DEBC, DGAB; DEBC; EFBC (已知） B=1 （两直线平行，同位角相等） C=3 （两直线平行，同位角相等） DGAB（已知） 1
8、=2 （两直线平行，同位角相等） A=AFD （两直线平行，内错角相等） DHAC（已知） 3=4 (两直线平行，同位角相等） AFD=HDP (两直线平行，同位角相等） B=1 1=2 B=2（等量代换） C=3 3=4 C=4（等量代换） A=AFD AFD=HDP A=HDP（等量代换） 24HDP=180（平角定义） ABC=180BGC24A3EDFH1 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180三角形内角和定理：三角形内角和定理：归纳总结归纳总结三角形内角和定理：三角形内角和定理：（2 2）基础知识巩固训练）基础知识巩固训练 1 1、 求出下列图形中求出下列图形中x
9、x的值：的值：39108xxx72(x-36)（x+36）xxxx 2 2、直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。 直角三角形两锐角和为直角三角形两锐角和为90，等边三角，等边三角形的一个内角为形的一个内角为60。3 3、在在 ABCABC中，中，BBA+10A+10，CCB+10B+10 求求ABCABC各内角的度数各内角的度数 解：解：BBA+10A+10,C,CB+10B+10( (已知）已知） C=A+10C=A+10+10+10A+20A+20 A+B+C A+B+C
10、180180 A+A+（A+10A+10）+ +（A+20A+20）180180 AA5050，BB6060，CC70704 4、一个直角三角形最多有几个直角？、一个直角三角形最多有几个直角？ 一个三角形最多有几个钝角？一个三角形最多有几个钝角？ 请证明你的结论。请证明你的结论。 一个直角三角形最多有一个直角，一个直角三角形最多有一个直角，一一个三角形最多有一个钝角。个三角形最多有一个钝角。5 5、已知：如图，在、已知：如图，在 ABCABC中，中，DEBCDEBC， A A6060，CC7070，求，求ADEADE的度数？的度数？解：解：DEBC(DEBC(已知）已知） C=AED =70C
11、=AED =70( (两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） A A6060（已知）（已知） ADEADE180180-60-60-70-70=50=50（内角和定理）（内角和定理）(3）能力提高训练 在在 ABC中，如果中，如果 A= B C,那么这个三角形是（那么这个三角形是（ ） A . 锐角三角形锐角三角形 B. 直角三角形直角三角形 C. 钝角三角形钝角三角形 D. 等边三角形等边三角形锐角三角形任意两个内角的和必大于（锐角三角形任意两个内角的和必大于（ ） A . 90 B. 100 C. 110 D. 120如图，如图，ABC中，中，B=ACB,CD是高，是高， 求证：
12、求证：2BCD=AABCDBA 证明证明: 在在 ABC中中, A= 180（B+ACB） B= ACB A= 180 2B= 2（90B） 在在Rt BCD中中, BCD= 90B. 2 BCD= A （1 1）三角形内角和定理及证明的相关方法。）三角形内角和定理及证明的相关方法。 （2 2）体验将实际问题数学化是数学知识和方）体验将实际问题数学化是数学知识和方法在实际生活中解决问题的桥梁；感受到理性化证法在实际生活中解决问题的桥梁；感受到理性化证明的科学性、严谨性和可靠性。明的科学性、严谨性和可靠性。回顾评价，归纳小结回顾评价，归纳小结 巩固提高巩固提高,布置作业布置作业布置作业布置作业 必做：课本第必做：课本第1616页习题页习题11.211.2， 第第4 4题、第题、第5 5题、第题、第6 6题题 选做：课题研究：探索三角形内角和定理的证选做：课题研究：探索三角形内角和定理的证法法 老师寄语悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”, ,其实其实, ,人人与人的差别就在于与人的差别就在于你是否去思考你是否去思考, ,去发现！去发现！
