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1、2024/9/5经济统计技术20062024/9/5数据分布的集中趋势和离中趋势集中趋势指标 离中趋势指标 4.14.22024/9/5J集中趋势各指标的计算方法J集中趋势不同指标的特点和应用场合J离散程度各指标的计算方法J离散程度不同指标的特点和应用场合J用Excel计算描述统计量并进行分析学习目标2024/9/5数据分布的特征集中集中趋势趋势 ( (位置位置) )离中离中趋势趋势 ( (分散程度分散程度) )2024/9/54.1集中趋势指标集中趋势指标概述集中趋势指标的计算与应用算术平均数与中位数、众数的比较正确运用集中趋势指标的原则2024/9/5集中趋势指标概述集中趋势指标的概念集中
2、趋势指标的特点集中趋势指标的作用2024/9/5集中趋势指标的概念1.数据分布的集中趋势： 一组数据向某一中心值靠拢的倾向和程度。2.集中趋势指标： 反映数据分布一般水平的代表值或数据分布的中心值。3.不同类型的数据用不同的集中趋势指标来反映分布特征。2024/9/5集中趋势指标的类型1.数值型平均数：（数值型数据） -算术平均数 -调和平均数 -几何平均数2.位置型平均数：（品质数据） -众数 -中位数2024/9/5集中趋势指标的特点特点： 把某一数量差异抽象化了，是一个代表值，代表一般水平。2024/9/5集中趋势指标的作用用于比较、分析作为论断事物的数量标准或依据推算、预测2024/9
3、/54.2 集中趋势指标的计算与应用算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数2024/9/5一、算术平均数1.反映集中趋势的指标之一。2.最常用的指标。3.一组数据的均衡点所在。4.易受极端值的影响。5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据。2024/9/5简单算术平均数（计算方法）数据总个数所有数据之和简单算术平均数2.应应用范用范围围：已知公式中的数据总个数，已知公式中的数据总个数， 即即 已知分母（数据未分组）已知分母（数据未分组）. . 1.公式：公式：2024/9/5算例原始数据:105913682024/9/5加权算术平均数（计算方法）数据总个数(总频数)各组数据与该组频数乘
4、积之和加权算术平均数 2.应应用范用范围围：数据经过分组数据经过分组 （单项分组或组距分组）。（单项分组或组距分组）。 1.公式：公式：2024/9/5算例（根据单项分组数据）【例】【例】某商店某商店2020名售名售货员货员月月销销售售电视电视机数量的分机数量的分组资组资料如下：料如下：某商店售货员销售电视机平均数计算表某商店售货员销售电视机平均数计算表按销售量分组按销售量分组（台）（台）售货员人数（售货员人数（ f ）人数比重人数比重% %（）172022242738531154025155合计合计201002024/9/5计算过程（以频数为权数）某商店售货员销售电视机均值计算表某商店售货员
5、销售电视机均值计算表按销售量分组（按销售量分组（x）售货员人数（售货员人数（f）销售总量销售总量（xf）172022242738531511601107227合计合计204202024/9/5注： 权数可以是频数 f 也可以是频率2024/9/5计算过程（以频率为权数）【例】【例】某商店某商店2020名售名售货员货员月月销销售售电视电视机数量的分机数量的分组资组资料如下：料如下：某商店售货员销售电视机均值计算表某商店售货员销售电视机均值计算表按销售量分组（台）按销售量分组（台）人数比重人数比重% %（）x17202224271540251552.558.005.503.601.35合计合计10
6、0212024/9/5算例（根据组距分组数据）【例】【例】根据下表中的数据，根据下表中的数据，计计算算5050名工人日加工零件数的均名工人日加工零件数的均值值。 某车间某车间5050名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组频数（频数（f）105110110115115120120125125130130135135140358141064合计合计502024/9/5计算过程【例】【例】根据下表中的数据，根据下表中的数据，计计算算5050名工人日加工零件数的均名工人日加工零件数的均值值。某车间某车间5050名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按
7、零件数分组按零件数分组频数（频数（f）组中值（组中值（x）加工零件总数加工零件总数（xf）105110110115115120120125125130130135135140358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计合计506160.02024/9/5权数对平均数的影响甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下： 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f）：8 1 1（分
8、）（分）（分）（分）（分）（分）2024/9/5平均数(数学性质)1.各变量值与均值的离差之和等于零。 2. 各变量值与均值的离差平方和最小。2024/9/5二、调和平均数1.反映集中趋势的指标之一。2.算术平均数的另一种表现形式，是其变形。3.易受极端值的影响。4.用于数值型数据。5.不能用于定类数据和定序数据。2024/9/5简单调和平均数（计算方法）所有数据倒数之和数据总个数简单调和平均数2.应应用范用范围围：已知公式中的数据总个数， 即 已知分子（数据未分组）. 1.公式：公式：2024/9/5算例【例】【例】某人某人购买购买一种商品，早上一种商品，早上买时买时一元一元钱钱可可买买2
9、2斤（斤（ 合合0.50.5元一元一斤），中午斤），中午买时买时一元一元钱钱可可买买2.52.5斤（合斤（合0.40.4元一斤），晚上元一斤），晚上买时买时一元一元钱钱可可买买4 4斤（合斤（合0.250.25元一斤）。求元一斤）。求这这种商品一天的平均价？种商品一天的平均价？做法一：先求出早中晚的平均价，然后简单算术平均： 这种算法没有考虑到购买的数量对平均数的影响，把每一个变量值同等对待，是简单算术平均数的算法。2024/9/5【例】【例】某人某人购买购买一种商品，早上一种商品，早上0.50.5元一斤元一斤时买时买了一元了一元钱钱的，的，中午中午0.40.4元一斤元一斤时买时买了一元了一元
10、钱钱的，晚上的，晚上0.250.25元一斤元一斤时买时买了一元了一元钱钱的。求的。求这这种商品一天的平均价？种商品一天的平均价？做法二：求出购买的总数量，然后用总金额除以总数量： 这种算法考虑到购买的数量对平均数的影响，是每一个变量值倒数的算术平均数的倒数，是调和平均数的算法。2024/9/5加权调和平均数（计算方法）各组标志值总和除以各组标志值之和各组标志值总和之和加权调和平均数2.应应用范用范围围：数据经过分组数据经过分组 （单项分组或组距分组）。（单项分组或组距分组）。 1.公式：公式：2024/9/5算例【例例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格。某
11、日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜名称名称批发价格批发价格( (元元) ) x成交额成交额( (元元)xf（m）甲甲乙乙丙丙1.200.500.8018000125006400合计合计369002024/9/5计算过程 某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜名称名称批发价格批发价格( (元元) ) x成交额成交额( (元元)xf（m）成交量成交量( (公斤公斤) )f（m/x）甲甲乙乙丙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计合计36900480002024/9/5算术平均数和调和平均数的关系：（令：m
12、=xf）原来只是计算时使用了不同的数据！2024/9/5三、几何平均数1.反映集中趋势的指标之一。2. N 个变量值乘积的N 次方根。3.适用于特殊的数据。4.主要用于计算平均比率和平均发展速度。2024/9/5简单几何平均数（计算方法）是N 个变量值乘积的N 次方根。计算公式为： （见：P59例4-9）2024/9/5算例【例例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率平均收益率103.84%-1=3.84%2024/9/5加权几何平均数（计算方法）仍然是N 个变量
13、值乘积的N 次方根，当每个变量值出现的次数不相同时，应用加权几何平均数方法计算。计算公式为： （见：P59例4-10）2024/9/5位置型平均数 计算思路和方法不同于算术平均数、调和平均数和几何平均数。主要是根据数据所处的特殊位置决定的。2024/9/5四、众数1.反映集中趋势的指标之一。2.出现次数最多的变量值。3.不受极端值的影响。4.可能没有众数或有几个众数。5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据。2024/9/5众数的不唯一性无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8v一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5v多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 4
14、22024/9/5算例【例】【例】根据下表中的数据，计算众数。表表3-13-1某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型广告类型人数人数( (人人) )频率频率(%)(%) 商品广告商品广告 服务广告服务广告 金融广告金融广告 房地产广告房地产广告 招生招聘广告招生招聘广告 其他广告其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计合计200100解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类
15、别，即 Mo商品广告2024/9/5练习【例】【例】根据下表中的数据，计算众数。解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意表表甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数(户户) )百分比百分比(%)(%) 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意24108934530836311510合计合计3001002024/9/5五、中位数1.反映集中趋势的指标之一。2.排序后处于中间位置上的值。MMe e50%50
16、%3.不受极端值的影响。4.中位数是唯一的。5.主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据。2024/9/5中位数位置的确定中位数位置1N22024/9/5奇数数据的算例原始数据: 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5位置位置n+125+123中位数中位数222024/9/5偶数数据的算例原始数据: 10 5 9 12 6 8排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6位置位置n+126+123.5中位数中位数8.58+922024/9/5算术平均数与众数、中位数的关系均值= 中位数= 众数对称分布
17、左偏分布均值 中位数 众数右偏分布众数 中位数 均值2024/9/5正确运用集中趋势指标的原则 同质性用组平均数补充说明总平均数用分配数列补充说明平均数一般与特殊相结合与离中趋势指标相结合分析2024/9/54.2离中趋势指标离中趋势指标概述离中趋势指标的计算与应用2024/9/5离中趋势指标概述离中趋势指标的概念离中趋势指标的特点离中趋势指标的作用2024/9/5离中趋势指标的概念1.数据分布的离中趋势：（离散程度） 一组数据偏离某一中心值的倾向和程度。 （数据分布的另一重要特征）2.离中趋势指标： 反映数据离散程度的指标。3.不同类型的数据用不同的离中趋势指标来反映分布特征。2024/9/
18、5集中趋势指标的类型1.数值型平均数：（数值型数据） -算术平均数 -调和平均数 -几何平均数2.位置型平均数：（品质数据） -众数 -中位数2024/9/5离中趋势指标的特点特点： 反映数据离散程度，从另一个侧面说明了集中趋势指标的代表程度。2024/9/5离中趋势指标的作用说明数据分布的离散程度评价平均指标代表性的依据，从另一个侧面说明集中趋势测度值的代表程度反映现象均衡性和稳定性的指标2024/9/54.2 离中趋势指标的计算与应用极差平均差方差和标准差标准差系数2024/9/5一、极差1.一组数据的最大值与最小值之差。2.反映离散程度的最简单指标。3.易受极端值影响。4.计算公式为：
19、-未分组数据： R = max(X) - min(X) -组距分组数据：R = 最高组上限 - 最低组下限2024/9/5二、平均差1.一组数据中各数据与其平均数的离差的绝对值的平均数。2.能全面反映一组数据的离散程度。3.数学性质较差，实际中应用较少。4.计算公式为： -未分组数据： -组距分组数据：2024/9/5算例【例】【例】根据下表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差。表表某车间某车间5050名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组组中值组中值(xi)频数频数(fi)| xi- | xi- | fi1051101101151151201201
20、25125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计合计503122024/9/5三、方差和标准差1.反映离散程度的指标之一。2.最常用的离中趋势指标。3.反映了数据的分布。4.反映了各变量值（数据）与平均数的平均差异。2024/9/5标准差和方差（计算公式）方差的计算公式：未分组数据：标准差的计算公式：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：2024/9/5算例【例】【例】根据下表中的数据，计算工人日加工零件数的
21、标准差。 某车间某车间5050名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组频数频数(f)105110110115115120120125125130130135135140358141064合计合计502024/9/5计算过程(一)第一步：计算50名工人日加工零件数的平均数。 某车间某车间5050名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组频数频数（f）组中值组中值（x）加工零件总数加工零件总数（xf）105110110115115120120125125130130135135140358141064107.5112.511
22、7.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计合计506160.02024/9/5计算过程(二) 第二步：计算工人日加工零件数的标准差。 某车间某车间5050名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组频数频数(x)组中值组中值(xi) xi fi(xi - ) 2(xi - ) 2fi105110110115115120120125125130130135135140358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940
23、.01715.01275.0795.0550.0 246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计合计506160 3100.52024/9/5四、标准差系数1.标准差与其相应的平均数之比。2.消除了数据水平高低和计量单位的影响。3.反映了数据的相对离散程度。4.用于对不同组别数据离散程度的比较。5.计算公式为：2024/9/5算例【例】【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如下表。 比较产品销售额与销售利润的离散程度。 某管理局所属某管理局所属8 8家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据企业编号企业编号产品销售额（万元）产品销售额（万元）xi销售利润（万元）销售利润（万元）yi1234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.02024/9/5(计算结果)结论： 计算结果表明，V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。2024/9/5Thank you2006
