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1、1 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 第第4章章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 本章导读本章导读基本要求基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图乘法在位移计算中的应用；了解线性弹性体系的互等定理。重点重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因引起的位移计算，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移。 难点难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位移的概念。 2 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.1 概述概
2、述 4.1.1 位移 荷载、温度变化、支座位移等外因作用下，结构各截面位置的移动，称为位移。3 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 图图4.1绝对位移绝对位移 图图4.2相对位移相对位移4 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 保证刚度条件 D D为计算超静定结构打下基础。在结构(或构件)的制作、施工过程中，也常需预先知道其位移。4.1.2计算位移的目的计算位移的目的5 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的位移上所作
3、的功称为实功。位移上所作的功称为实功。即T为三角形OAB的面积。4.2.1实功4.2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理T= （4.1a）图4. .3 静力荷静力荷载所做的所做的实功功6 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （4.1b）图4. .4 静力荷静力荷载所做的所做的实功功7 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 外力在其他原因（其他荷载、温度变化、支座位移等）引起的位移上所做的功称为虚功。（4.2） W1=FP 力状态力状态 位移状态位移状态 图4. .5虚功虚功图4. .6虚功虚功8 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材
4、结构力学 出版社 科技分社 4.2.2刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为：刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体体系约束情况的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零。9 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.2.3变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 .虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功等于变形虚功（或称虚应变能）。W=U (4
5、.3) .证明 图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微段上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把所有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。10 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (a)力状态力状态 (b)位移状态位移状态 （1）按外力虚功与内力虚功计算）按外力虚功与内力虚功计算W总总图图4.7虚功原理的证明虚功原理的证明dW总=dW外+dW内W总=W外+W内11 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （2）按）按刚体虚功与变形虚功刚体虚功与变形虚功计算计算W总总 将微段的虚位移分解为两步：先只发生刚体
6、位移(由ABCD移到A1B1C2D2)，然后再发生变形位移(截面A1B1不动，C2D2再移到C1D1)，如图4.7(b)所示。dW总=dW刚+dW变dW刚=0即即12 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （3）变形虚功）变形虚功W变变的计算的计算图4. .8 微段微段变形形dW变=Mdq+FQdh+FNdu 13 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 虚功原理虚功原理W=U 可写为可写为平衡力系位移状态位移状态(4.4)14 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 平衡力系和位移状态是相互独立无关的。虚功原理具
7、有普遍适用性。虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U=0，则 W=0 即外力虚功之和为零。刚体系的虚功原理是变形体系虚功原理的一个特例。 力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。(4)变形体系的虚功原理的几点说明变形体系的虚功原理的几点说明15 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 虚功原理的两种表述形式：虚功原理的两种表述形式： 若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚设的，称为虚位移原理，可用于求未知力。 若位移状态实际存在，平衡力系是虚设的,称为虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件，可用于求位移。16 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力
8、学 出版社 科技分社 4.3平面杆件结构平面杆件结构位移计算的一般公位移计算的一般公式式 此即平面杆件结构位移计算的一般公式，这种计算位移的方法又称为单位荷载法。 4.3.1一般公式一般公式 图4.9虚力原理虚力原理17 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.3.2单位力设置法单位力设置法 求求i-i 1方向上的方向上的D D求求j jK求求D DKK1求求j jKK1虚拟状态所加的荷载应是与所求广义位移相应的广义单位力。 图4.10单位力位力设置法置法18 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
9、静定结构在荷载作用下的位移计算 只考虑荷载作用时，一般公式(4.6)成为其中，微段的变形dq、 dh、 du均由实际状态中的荷载引起。图4.11 荷荷载引起的微段引起的微段变形形19 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 根据工程力学，有 则线弹性结构在荷载作用下的位移计算公式为：(4.7) 式中，为反映剪应力沿截面高度不均匀分布的修正系数。如对矩形截面， =1.2；对圆形截面， =1.1。20 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.4.1梁和刚架的位移计算梁和刚架的位移计算(4.8) 正负号规定：MP与 同侧受拉相乘为正，否则为负。
10、D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D为负时，其方向与单位力指向相反。【例例4.1】求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移(即挠度)CV，已知抗弯刚度EI为常数。 【解】【解】(1)建立x坐标，求荷载作用下的MP 21 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (2)加相应单位力，求加相应单位力，求 （0x ）(3)计算计算CV图4.12 例例4.1图当0x 22 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【解】【解】(1)先建立各杆的x坐标，各杆内力方程为AB杆 【例例4.2】试求图示刚架C点的竖向位移DCV。各
11、杆材料相同，截面的A、I均为常数。BC杆 图4.13 例例4.2图23 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (2)加相应单位力，并求各杆内力 BC杆杆 AB杆杆 (3)计算计算CV由式由式(4.7) 得得24 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 讨论：讨论： 上式中，第一项为弯矩的影响，后两项分别为剪力和轴力的影响。设为矩形截面(bh)，则A=bh，I=bh3/12，=6/5，带入上式，得 即剪力和轴力的影响非常小。故用公式(4.8)计算梁和刚架的位移已足够精确。若取 ， ，可算得可以看出，高跨比 愈大，则剪力和轴力所占比例愈大。25
12、 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.3】试求图示刚架中截面C的水平位移CH和角位移 。设各杆EI为常数。 【解】【解】(1)先建立各杆的x坐标，并求荷载作用下的MP BC杆 （上侧受拉） AB杆 （左侧受拉） 图4.14 例例4.3图26 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (2)加相应单位力，求 (3)计算位移（ ）27 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.4.2桁架的位移计算桁架的位移计算 在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的FNP、及EA沿杆长l均为常数，故式(4.7)
13、化简为： FNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。 ：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。(4.9)28 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.4】试求图示桁架中结点5的挠度5V。设各杆的横截面面积均为A=144cm2，弹性模量E=850kN/cm2。 【解】【解】 (1) 求各杆轴力FNP并标于图(a)中杆旁。 (2) 在结点5处加竖向单位力，如图(b)所示，求出轴力 并标于杆旁。 (3)计算位移当杆件较多时，最好列表进行。 图4.15 例例4.4图29 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 250杆件杆件FNP
14、(kN)l(m)上上弦弦13344778下下弦弦1280121602580121605640128068401280竖杆杆23001045201240670010斜斜杆杆350057000 +520- -20- -40- -20- -20- -20- -/2- -/2- -/2- -/2FNPl(kNm)10050505030 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 注意：注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能直接在杆上施加单位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。 求BC杆的角位移时的单位力偶设置方法 。图4.16 求桁杆求桁杆转角角时的虚的虚拟状状态31 出版社
15、 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.4.3组合结构的位移计算组合结构的位移计算(4.10)4.4.4拱结构的位移计算拱结构的位移计算 一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确，即按式(4.8)计算。扁平拱 需同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响，即 32 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式（4.8） 1)简化的条件（适用条件）杆段的EI为常数；杆段的轴线为直线； 杆段的 图和MP图中至少有一个为直线图形。4.5图乘法图乘法 该公式在一定条件下可简化计算。33 出版社 科技分社 土木工程
16、专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 2)简化方法简化方法(a)(b)将式（b）代入（a），有 图4.17 图乘法乘法34 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (4.11)故有式中，A 一个弯矩图的面积； yC另一个直线变化弯矩图中与A 图的形心对应的纵标。 3)几点说明 必须符合图乘法的适用条件。 A与yC应取自不同的图形。它们位于杆件的同侧时相乘为正，否则为负。取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。35 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 若 与 均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取A）均可。对于EI为分段常数的
17、杆，应当分别对EI等于常数的各段图乘，然后叠加起来。当MP是曲线图形，而 是折线图时，应当分段图乘。如图所示：图4.18 分段分段图乘乘36 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 记住以下常见图形的面积及其形心位置。图图4.19 常见弯矩图形的面积及其形心位置常见弯矩图形的面积及其形心位置37 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 当取A的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘后叠加起来。图4.20 分解面分解面积图4.21 分解面分解面积AyC=A1yC1A2yC2AyC=A1yC1A2yC238 出版社 科技分社 土木工程专业
18、系列教材结构力学 出版社 科技分社 图4.22 分解面分解面积AyCA1yC1+A2yC2-A3yC339 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4)计算步骤计算步骤作实际荷载弯矩图MP图；加相应单位荷载，作单位弯矩图 图； 【例例4.5】求图示简支梁A端的转角 及跨中截面C的挠度CV。EI为常数。 用图乘法公式（4-11） 求位移。40 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【解】【解】先作MP图，如图(b)所示。 (1) 求(2) 求CV （ ）图4.23 例例4.5图41 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技
19、分社 【例例4.6】求图示结构中C点的竖向位移CV。EI为常数。 【解解】图4.24 例例4.6图图4.25 BC杆弯矩杆弯矩图的分解的分解42 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.7】求图中铰C左右两侧截面C1、C2的相对转角 。已知各杆EI相同。 图4.26 例例4.7图 【解解】43 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 44 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.8】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移AB。各杆EI为常数。 【解解】(1)绘MP图。CD杆上有一抛物线分布的弯矩图，
20、如图(a)所示。(2)在A、B两点加一对方向相反的单位力，绘 图，如图(b)所示。(3)图4.27 例例4.8图45 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.9】求图示组合结构中铰C处的竖向位移CV。梁杆的抗弯刚度为EI，桁杆的抗拉刚度为 。 【解解】组合结构的位移计算公式图4.28 例例4.9图46 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 47 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.6静定结构在支座位移时的位移计算静定结构在支座位移时的位移计算 静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而
21、不产生微段变形，即dq=dh=du=0，代入一般公式(4.6)得： 式中，c支座位移。虚拟状态中与c对应的支反力。C与 方向相同时，乘积 为正，否则为负。 (4.12)48 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.10】图示简支梁支座B产生竖向位移B=0.03m，试求杆端A处的转角 。【解】【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则 （ ） 本例虽然简单，但可用其验证公式(4.12)的正确性。 图4.29 例例4.10图49 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.11】结构的支座位移如图所示，求铰C
22、的竖向位移CV。 【解】【解】在C点加一单位力，求出支座位移处的支反力，如图(b)所示。图图4.30 例例4.11图图50 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.7静定结构在温度变化时的位移计算静定结构在温度变化时的位移计算 温度变化时位移计算的一般公式(4.6)为 现以求图示结构截面现以求图示结构截面K的竖向位移的竖向位移为例推导公式为例推导公式 。51 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 实际状态中任一微段ds上的变形：dh=0 （1）du= tds（2）（3）若杆件截面对称于形心轴,即 ，则上式中52 出版社 科技分社 土木工
23、程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (4.13)(4.14)正负号规定:温差t采用绝对值，若 图中杆件的弯曲变形与温度变化引起的弯曲变形方向一致，则乘积 取正号，反之取负号。 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为 (4.15)53 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 设桁架各杆长度的制造误差为l (伸长为正，缩短为负)，则位移计算公式为: (4.16) 【例例4.12】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移AH和转角 。已知l=4m，a =10-5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。 【解】【解】外侧温度变化
24、为t1=30-20=10,内侧温度变化为t2=20-20=0，故有 t=t1-t2=10温变引起杆件的弯曲方向如图中虚线所示。 图4.32 例例4.12图54 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (1) 求AH=3.6 mm ( )55 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 (2) 求（ ）56 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 外力做的虚功为图4.33 具有具有弹性支座的静定性支座的静定结构位移构位移计算算57 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出
25、版社 科技分社 内力做的虚功为根据虚力原理，于是为对于梁和刚架，仅考虑弯曲变形dq，它由实际状态中的弯矩MP引起，则有(4.18) 注意，若实际状态中弹性支座的反力 与虚拟状态中弹性支座的反力 同方向时，乘积 为正，反之为负。 58 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【例例4.13】 求图（a）所示梁铰B左右两侧截面的相对转角位移 。设EI为常数，刚度系数图图4.34 例例4.13图图59 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 【解】【解】绘MP图和 图，由公式（4.18）计算得： ( )60 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结
26、构力学 出版社 科技分社 4.9 线性弹性结构的互等定理线性弹性结构的互等定理 4.9.1功的互等定理功的互等定理 设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照虚功原理得： 图4.37 功的互等定理功的互等定理61 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：功的互等定理功的互等定理故有：62 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4.9.2 位移互等定理位移互等定理 应用功的互等定理，得： 它表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力
27、所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。 位移互等定理位移互等定理 位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。 图4.38 位移互等定理位移互等定理63 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 由工程力学可知 将FP=1，M=1代入，也可得到 。可见，虽然 是单位力引起的角位移， 是单位力偶引起的线位移，含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。由位移互等定理可知 位移互等定理将在用力法计算超静定结构中得到应用。 图4.39 广广义位移互等位移互等64 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社
28、科技分社 4.9.3反力互等定理反力互等定理 应用功的互等定理，得：反力互等定理反力互等定理 它表明：约束1发生单位位移所引起的约束2的反力，等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力。 反力互等定理将在用位移法计算超静定结构中得到应用。 与 不仅数值上相等，量纲也相同。图4.40 反力互等定理反力互等定理65 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 本章小结本章小结 （1）结构在荷载、温度变化、支座位移等外因作用下都会产生位移。位移计算在工程实践和结构分析中有重要地位。本章内容既是静定部分的结尾，又是超静定部分的先导。 （2）静定结构位移计算以虚功原理为理论基础。虚
29、功原理包括刚体虚功原理和变形体虚功原理，前者是后者的特殊情况。应用虚功原理必须要有两个互不相关的独立状态，即力状态和位移状态，其中一个是实际的，而另一个则是根据计算的需要虚设的，两个状态应发生在相同的结构上。根据虚设的是力状态或是位移状态，变形体虚功原理相应的称为虚力原理或虚位移原理。 66 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 是根据虚力原理推导的。由于在虚设的力状态中，与拟求位移(或广义位移)相应的外力为单位荷载(或广义单位荷载)，因此，这一方法也称为单位荷载法。 （3）位移计算的一般公式(4.6)，即 公式(4.6)中包含两套物理量：一套是给定的位移和变形(、
30、c、 dq、 dh、 du)；另一套是虚设的外力(FP=1)及与 之保持平衡的 反力( )和内力( )。 公式(4.6)具有普遍适用性：弹性与非弹性均适用；支座位移、温度变化与荷载均适用；静定与超静定结构均适用。 67 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （4）荷载作用下的位移计算公式(4.7)，即只适用于线弹性的静定(或超静定)结构的位移计算。要注意掌握其在各种具体条件下的简化形式。例如：梁和刚架(4.8)桁架(4.9)组合结构（4.10）68 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 要注意了解图乘法的三个应用条件及复杂图形的分解等问题
31、，熟练掌握这一方法。均可由一般公式(4.6)导出。（6）支座位移与温度变化作用下的位移计算公式：温变(4.14)（5）公式(4.8)中的积分运算可改用图乘法公式(4.11)计算，即支座移动(4.12) 支座移动(4.12) 支座移动(4.12) 69 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 可以看出，用虚功原理计算结构的位移问题主要归结为计算结构的内力问题。因此，在学习位移计算的同时，应当提高内力计算的能力。应通过一定量的习题，以求切实掌握。 （7）本章最后讨论线弹性结构的三个互等定理。其中功的互等定理是基础，其余两个即位移互等定理、反力互等定理是特例。70 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材 出版社 科技分社 再见再见
