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1、第九章联立方程模型经济现象是复杂的，因果关系可能经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一是双向的，或者一果多因，或者一因多果。这时用一个单一方程很难因多果。这时用一个单一方程很难完整地表达，需要用多个相互联系完整地表达，需要用多个相互联系的方程，才能正确反映复杂的现实的方程，才能正确反映复杂的现实经济系统状况。经济系统状况。联立方程模型概述联立方程模型概述联立方程模型的识别联立方程模型的识别联立方程模型的估计联立方程模型的估计第一节第一节 联立方程模型概述联立方程模型概述一、概念 所谓联立方程模型，是指同时用若干个相互所谓联立方程模型，是指同时用若干个相互关联的方程去表示一
2、个经济系统中经济变量相互关联的方程去表示一个经济系统中经济变量相互依存性的模型。依存性的模型。例如：例如：商品需求商品需求Q与商品价格与商品价格P，事实上存在，事实上存在双向因果关系双向因果关系，可形成如下，可形成如下的联立方程模型：的联立方程模型：二、联立方程模型中的变量二、联立方程模型中的变量一般而言，一般而言，联立方程模型的立方程模型的变量可分量可分为： 内生变量：内生变量：由模型内变量所决定的变量，它一般是被解释变由模型内变量所决定的变量，它一般是被解释变量。量。 外生变量：外生变量：由模型外变量所决定的变量由模型外变量所决定的变量 前定变量：前定变量：外生变量和滞后变量的统称外生变量
3、和滞后变量的统称例如，例如，在一个由国民收入在一个由国民收入Y、消费、消费C、投资、投资I、政府、政府支出支出G等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。 从上面的模型来看，内生变量包括：国民收入从上面的模型来看，内生变量包括：国民收入Y、消费消费C、投资、投资I；外生变量包括：前期国民收入；外生变量包括：前期国民收入Yt-1和政府支出和政府支出G。 三、联立方程模型的种类三、联立方程模型的种类1.1.结构式模型结构式模型依据经济理论直接设定的描述经济变量关系结依据经济理论直接
4、设定的描述经济变量关系结构的联立方程组模型形式称为构的联立方程组模型形式称为结构式模型结构式模型（Structural equations)；结构结构式式模型是在对经济变量的影响关系进行理模型是在对经济变量的影响关系进行理论分析基础上建立的，反映了内生变量直接受论分析基础上建立的，反映了内生变量直接受预定变量、其他内生变量和随机项影响的因果预定变量、其他内生变量和随机项影响的因果关系。关系。结构模型的一般形式：结构模型的一般形式：该模型具有模型具有g g个方程和个方程和g g个内生个内生变量：量：Y Y1 1,Y,Y2 2, ,Y,Yg g; ;k k个前定个前定变量：量：X X1 1,X,X
5、2 2, ,X Xk k; ;模型矩模型矩阵形式可写形式可写为：结构式模型的特点：结构式模型的特点：模型直观地描述了经济变量之间的关系模型直观地描述了经济变量之间的关系结构，模型的经济意义明确。结构，模型的经济意义明确。模型只反映了各变量之间的直接影响模型只反映了各变量之间的直接影响，却无法直观地反映各变量之间的间接影，却无法直观地反映各变量之间的间接影响和总影响。响和总影响。无法直接运用结构是模型进行预测。无法直接运用结构是模型进行预测。2.简化式模型简化式方程化式方程(Reduced-form equations)是指将结构式模型中的每个内生变量都是指将结构式模型中的每个内生变量都只表示为
6、前定变量和随机只表示为前定变量和随机误差误差项的函数所构成的项的函数所构成的模型。模型。其一般形式为其一般形式为对对P169（9-2）所表示的模型，）所表示的模型，其其简化式模型简化式模型可表示为：可表示为： 用矩阵形式表示为：用矩阵形式表示为：简化式模型的特点：简化式模型的特点：简化式方程的解释变量都是与随机项不相关的简化式方程的解释变量都是与随机项不相关的前定变量，可以应用前定变量，可以应用OLS对简化式方程中的参数对简化式方程中的参数进行估计，其估计量是无偏的和一致的。进行估计，其估计量是无偏的和一致的。简化式参数反映了前定变量对内生变量的总影简化式参数反映了前定变量对内生变量的总影响，
7、包括直接影响和间接影响。响，包括直接影响和间接影响。利用简化式模型可以直接进行预测。利用简化式模型可以直接进行预测。简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变量间的内在联系，模型的经济含义不是分明确。量间的内在联系，模型的经济含义不是分明确。结构式模型与简化式模型的关系结构式模型与简化式模型的关系结构式模型：结构式模型：简化式模型：简化式模型：对于对于结构结构式，两边同时左乘式，两边同时左乘 ，整理得到，整理得到 将其与将其与简化简化式比较，可以得到：式比较，可以得到： ，该式描述了简化式参数与结构式参数，该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称其为
8、参数关系体式。之间的关系，称其为参数关系体式。 第二节第二节 联立方程模型的识别联立方程模型的识别一、模型的识别一、模型的识别识别识别(Identification)(Identification)问题：问题：是指能否从所估计的是指能否从所估计的简化式结构系数求出一个结构方程的参数的估计简化式结构系数求出一个结构方程的参数的估计值。值。如果不能，则称该方程如果不能，则称该方程不可识别不可识别；如果能够，则；如果能够，则称该方程可以识别。其中后一种情况又可分为称该方程可以识别。其中后一种情况又可分为恰恰好识别好识别与与过度识别过度识别。下面通过粮食的需求供给模型说明上述几个概念下面通过粮食的需求
9、供给模型说明上述几个概念例子例子P172P172：粮食的需求供给模型：粮食的需求供给模型市场达到平衡时，模型估计值无法区别是对市场达到平衡时，模型估计值无法区别是对 0， 1的估计还是对的估计还是对 0， 1的估计，该模型的估计，该模型不可识别不可识别。需求函数需求函数供给函数供给函数平衡条件平衡条件若在需求函数和供给函数中分别加入收入若在需求函数和供给函数中分别加入收入变量变量I I t t和滞后价格变量和滞后价格变量P Pt t-1-1，此时，能区分各自的估计值，方程可识别。此时，能区分各自的估计值，方程可识别。具体见后面识别条件。具体见后面识别条件。 Dt = 0 + 1 Pt + 2
10、It + u1 St = 0 + 1 Pt + 2 Pt-1 + u2 St = Dt 二、联立方程模型的识别条件二、联立方程模型的识别条件上述例子告诉我们，可以借助于简化式结构方程上述例子告诉我们，可以借助于简化式结构方程来决定联立方程模型中的某一方程组的可识别性来决定联立方程模型中的某一方程组的可识别性；然而，许多情况下，这个过程是非常费力的；然而，许多情况下，这个过程是非常费力的；识别的阶条件与秩条件提供了规范的判断方法。识别的阶条件与秩条件提供了规范的判断方法。我们首先引入以下符号：我们首先引入以下符号： 模型中内生模型中内生变量个数量个数为g，前定，前定变量个数量个数为k； 第第i个
11、方程中前定个方程中前定变量个数量个数为ki ， 第第i个方程中所含的内生个方程中所含的内生变量个数量个数为gi 1.简化式模型的识别（1）秩条件：）秩条件：若秩若秩 ，则第，则第i个结构方程不可识别。个结构方程不可识别。若秩若秩 ，则第，则第i结构方程可识别。结构方程可识别。（2）阶条件：）阶条件：当第当第i 个结构方程可识别时个结构方程可识别时 若若 则该方程恰好识别。则该方程恰好识别。 若若 则该方程过度识别。则该方程过度识别。 例如：某一模型的结构式为：例如：某一模型的结构式为： 式中式中Y1，Y2，Y3为内生变量，即为内生变量，即g=3；X1，X2，X3为前定变量为前定变量,即即k=3
12、。 第一个结构方程中第一个结构方程中g1=2，k1=2； 第二个结构方程中第二个结构方程中g2=2，k2=1; 第三个结构方程中第三个结构方程中g3=3，k3=1其结构参数矩阵为其结构参数矩阵为 对于第一个结构方程对于第一个结构方程，它不含内生变量，它不含内生变量Y3，包含前定变量，包含前定变量X1，X2，则划掉，则划掉中第三行和第一、第二列得到中第三行和第一、第二列得到 ： R（1）=1=g1-1=2-1，因此第一个结构方程可识别，进而可用阶条件，因此第一个结构方程可识别，进而可用阶条件，这里，这里k-k1=3-2=1=g1-1=2-1，因此，因此第一个结构方程是恰好识别的。第一个结构方程是
13、恰好识别的。 对于第二个结构方程，对于第二个结构方程，它不含内生变量它不含内生变量Y1，包含，包含前定变量前定变量X3，划去，划去中第一行及第三列得中第一行及第三列得 ：R（2）=1=g2-1=2-1，此结构方程可识别，此结构方程可识别，再用阶条件，再用阶条件，k-k2=3-1=2，g2-1=2-1=1，有，有k-k2g2-1，第二个结构方程是过度识别的第二个结构方程是过度识别的。 对于第三个结构方程，对于第三个结构方程，它含内生变量它含内生变量Y1，Y2，Y3，包含前定变量，包含前定变量X3，则保留，则保留 中的全部行，再划掉其中的全部行，再划掉其第三列，得第三列，得R（3）=1g3-1=3
14、-1，因此由秩，因此由秩条件，条件，第三个结构方程是不可识别的第三个结构方程是不可识别的。由于第三个结构方程是不可识别的，所以该联立方由于第三个结构方程是不可识别的，所以该联立方程模型是不可识别的。程模型是不可识别的。2.2.结构式模型的识别结构式模型的识别（1）阶条件）阶条件注意：注意：识别的阶条件只是结构方程可识别识别的阶条件只是结构方程可识别的一个必要条件，而非充要条件。的一个必要条件，而非充要条件。如果阶条件不成立，则对应的结构如果阶条件不成立，则对应的结构方程不可识别；如果阶条件成立，方程不可识别；如果阶条件成立，则对应的结构方程是否可识别不能则对应的结构方程是否可识别不能确定，还需
15、进一步通过秩条件确定，还需进一步通过秩条件判别判别。（2 2）结构方程识别的秩条件）结构方程识别的秩条件若秩若秩R R（B(i)B(i)，(i)(i)）g-g=2g1 1-1=1-1=1，所以该方程是过度识别的，所以该方程是过度识别的 对于第二个结构方程对于第二个结构方程 其中：其中：k k2 2=2=2，g g2 2=2=2，R R（B B（2 2）（2 2）=2=g-1=3-=2=g-1=3-1 1，所以该方程可以识别；又因为，所以该方程可以识别；又因为k-kk-k2 2=1=g=1=g2 2- -1 1，所以该方程是恰好识别的。，所以该方程是恰好识别的。 第三个方程是平衡方程第三个方程是
16、平衡方程，不存在识别问题。，不存在识别问题。所以该联立方程模型是可以识别的。所以该联立方程模型是可以识别的。第三节第三节 联立方程模型的估计联立方程模型的估计联立方程模型的估计方法分为两类：联立方程模型的估计方法分为两类：单方程估计方法：单方程估计方法：每次只估计模型系统的一个方程，每次只估计模型系统的一个方程，依次逐个估计；依次逐个估计；主要为间接最小二乘法以及两阶段最小二乘法；主要为间接最小二乘法以及两阶段最小二乘法；系统估计方法：系统估计方法：同时对全部方程进行估计，同时得到同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。所有方程的参数估计量。 主要为完全信息最大似然法以及三阶段最
17、小二乘法。主要为完全信息最大似然法以及三阶段最小二乘法。我们主要介绍前者，要掌握间接最小二乘法以及两阶我们主要介绍前者，要掌握间接最小二乘法以及两阶段最小二乘法。段最小二乘法。1.1.间接最小二乘法间接最小二乘法ILSILS对一个恰好识别的结构方程，从简化式系数的对一个恰好识别的结构方程，从简化式系数的OLSOLS估计量获得结构参数估计值的方法叫做估计量获得结构参数估计值的方法叫做间接最小二间接最小二乘法乘法( (Indirect Least SquaresIndirect Least Squares, ,简称简称ILSILS）；）；ILS步骤如下：步骤如下：先对关于内生解释变量的简化式方先对
18、关于内生解释变量的简化式方程采用程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。的估计量。联立方程模型的估计方法联立方程模型的估计方法ILSILS模型简化式为：模型简化式为：实例：实例：其系数矩阵表示：其系数矩阵表示：由结构式识别条件可知第一个结构方程由结构式识别条件可知第一个结构方程恰好识别，第二个是过度识别，第三个恰好识别，第二个是过度识别，第三个不可识别。不可识别。第一个结构方程式是恰好识别的，该方程含有第一个结构方程式是恰好识别的，该方程含有两个内生变量两个
19、内生变量Y1和和Y2，对应的简化式方程为：，对应的简化式方程为：整理可得：整理可得： 用普通最小二乘法分别对的简化式参数用普通最小二乘法分别对的简化式参数 作作出的估计值出的估计值 ，再将，再将 代入式中，得到：代入式中，得到：注意：注意：间接最小二乘法只适用于恰好识别的结间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计，因此只有恰好识别的结构构方程的参数估计，因此只有恰好识别的结构方程才能从参数关系体系中得到唯一一组结构方程才能从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量；参数的估计量；两阶段最小二乘法既适用于恰好识别的结构方两阶段最小二乘法既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结
20、构方程。程，又适用于过度识别的结构方程。2.2.二阶段最小二乘法二阶段最小二乘法2SLS2SLS基本思想如下：基本思想如下：首先利用首先利用OLS法估计简化式方程，得到内法估计简化式方程，得到内生变量的估计值，然后以内生变量的估计生变量的估计值，然后以内生变量的估计值为工具变量，对结构式方程应用值为工具变量，对结构式方程应用OLS法法得到结构参数估计值。得到结构参数估计值。具体步骤：具体步骤：第一步：第一步：从结构方程导出简化式方程，用普通从结构方程导出简化式方程，用普通最小二乘法进行估计，然后用简化方程求出结最小二乘法进行估计，然后用简化方程求出结构方程中内生解释变量的估计值。构方程中内生解
21、释变量的估计值。第二步：第二步：用所求出的内生解释变量的估计值替用所求出的内生解释变量的估计值替换结构方程中该内生解释变量的样本观测值，换结构方程中该内生解释变量的样本观测值，再对结构方程用普通最小二乘法进行估价，所再对结构方程用普通最小二乘法进行估价，所求出的结构参数估计量即为二阶段最小二乘法求出的结构参数估计量即为二阶段最小二乘法参数估计量。参数估计量。2SLS实例：联立方程模型联立方程模型 的第的第i个方程可表个方程可表示为示为 第一阶段，第一阶段，Y0中每个变量对中每个变量对X用用OLS法进行回归计算，其关系式为法进行回归计算，其关系式为 ： 于是于是 的的OLS估计式为估计式为 于是：于是： 第二阶段，用第二阶段，用 代替式中的代替式中的Y0，即，即 对模型应用对模型应用OLS法，得到结构参数估计量为法，得到结构参数估计量为 这就是第这就是第i 个结构方程的个结构方程的2SLS的估计量。的估计量。 P180 【相关链接相关链接】P181 【闯关习题闯关习题】二、软件操作题二、软件操作题
