第一章逻辑代数基础知识

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1、数字电子线路课程介绍主讲教师：张加宏主讲教师：张加宏15895923460电子与信息工程学院电子与信息工程学院1一、模拟信号和数字信号一、模拟信号和数字信号模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。 时间上连续，幅值上也连续时间上连续，幅值上也连续 例如：温度、正弦电压。例如：温度、正弦电压。例如：温度、正弦电压。例如：温度、正弦电压。 数字信号：在时间和数值上变化是离散的信号。数字信号：在时间和数值上变化是离散的信号。 时间上离散，幅值上整数化时间上离散，幅值上整数化 例如：人数、物件的个数。例如：人数、物件的个数。例如：人数、物件的个数。例如：人数、物

2、件的个数。tt2二、模拟电路和数字电路二、模拟电路和数字电路 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。具体讲，数字电路：工作在数字信号下的电子电路。具体讲，数字数字电路就是对数字信号进行产生、存储、传输、变换、运算电路就是对数字信号进行产生、存储、传输、变换、运算及处理的电子电路。及处理的电子电路。三、数字电路的优点三、数字电路的优点 精确度较高；精确度较高； 有较强的稳定性、可靠性和抗干扰能力；有较强的稳定性、可靠性和抗干扰能力； 具有算术运算能力和逻辑运算能力，可进行逻辑推理和逻具有算术运算能力和逻辑运算能力，可进

3、行逻辑推理和逻辑判断；辑判断； 电路结构简单，便于制造和集成；电路结构简单，便于制造和集成； 使用方便灵活。使用方便灵活。3课程特点课程特点：数字电路是一门技术基础课程，它是学习：数字电路是一门技术基础课程，它是学习微机原理、接口技术等计算机专业课程的基础。既有微机原理、接口技术等计算机专业课程的基础。既有丰富的理论体系，又有很强的实践性。丰富的理论体系，又有很强的实践性。数字电路内容数字电路内容：基础内容；基础内容；组合逻辑电路；组合逻辑电路；时时序逻辑电路；序逻辑电路；其他内容。其他内容。学习重点学习重点：在具体的数字电路与分析和设计方法之在具体的数字电路与分析和设计方法之间，以分析和设计

4、方法为主；间，以分析和设计方法为主；在具体的设计步骤与在具体的设计步骤与所依据的概念和原理之间，以概念和原理为主；所依据的概念和原理之间，以概念和原理为主；在在集成电路的内部工作原理和外部特性之间，以外部特集成电路的内部工作原理和外部特性之间，以外部特性为主。性为主。数字电子线路4做好学习的三个环节 堂上认真听 作业独立完成，尤其要会做典型例题 实验认真做数电怎么学？5成绩评定办法平时成绩20%+实验10%+考试成绩70%参考书：数字电子技术学习指导与习题解答6目目 录录第一章第一章第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数基础第二章第二章第二章第二章 门电路门电路门电路门电路

5、第三章第三章第三章第三章 组合逻辑电路组合逻辑电路组合逻辑电路组合逻辑电路第四章第四章第四章第四章 触发器触发器触发器触发器第五章第五章第五章第五章 时序逻辑电路时序逻辑电路时序逻辑电路时序逻辑电路第六章第六章第六章第六章 脉冲产生与整形电路脉冲产生与整形电路脉冲产生与整形电路脉冲产生与整形电路第七章第七章第七章第七章 数模与模数转换电路数模与模数转换电路数模与模数转换电路数模与模数转换电路7一、逻辑代数（布尔代数一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）开关代数）逻辑：逻辑： 事物因果关系的规律事物因果关系的规律逻辑函数逻辑函数: : 逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑变量取值

6、逻辑变量取值：0、1分别代表分别代表两种对立的状态两种对立的状态一种状态一种状态另一状态另一状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001概概 述述8数制的几个概念数制的几个概念 位位位位 权（位的权数）权（位的权数）权（位的权数）权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。是这一位的权数。权数是一个幂。进位计数制进位计数制进位计数制进位计数制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须：表示数时，仅用一位数码往往

7、不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码，且多位数码每一位的构成用进位计数的方法组成多位数码，且多位数码每一位的构成及低位到高位的进位都要遵循一定的规则，这种计数制度就及低位到高位的进位都要遵循一定的规则，这种计数制度就称为进位计数制，简称数制。称为进位计数制，简称数制。基基基基 数数数数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。个数。9类别类别十进制十进制(Decimal)二进制二进制(Binary)八进制八进制(Octal)十六进制十六进制(Hexadecimal)数码数码0,1,90,10,1,70,1,9,AF基数基数102816

8、进位规则进位规则逢逢10进进1逢逢2进进1逢逢8进进1逢逢16进进1第第i i位的权值位的权值10i i2i i8i i16i i几种常用数制几种常用数制:10二、二进制数表示法二、二进制数表示法1.十进制数十进制数（Decimal）-逢十进一逢十进一数码数码：09位权：位权：2.二进制数（二进制数（Binary）-逢二进一逢二进一数码：数码：0，1位权：位权：113.二进制数的缩写形式二进制数的缩写形式八进制数八进制数和和十六进制数十六进制数数码数码：07位权：位权：(2)十六进制数十六进制数(Hexadecimal)-逢十六进一逢十六进一数码：数码：09,A(10),B(11),C(12)

9、,D(13),E(14),F(15)位权：位权：任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：第第i 位的系数位的系数第第i 位的权位的权(1)八进制数八进制数（Octal）-逢八进一逢八进一12134.几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换(1)二二-十转换：十转换： 将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加(2)十十- -二转换二转换：降幂比较法降幂比较法要求熟记要求熟记20 210的数值的数值。202122232425262728292101248163264128 256 512 102414157128291685272413快速转换法：拆分法快

10、速转换法：拆分法(26)10=16+8+2 =24+23+21=(11010)2411168421(2)十十- -二转换二转换： 降幂比较法降幂比较法232220015(3)二二-八转换八转换:57(4)八八-二转换二转换: 每位每位8进制数转换为相应进制数转换为相应3位二进制数位二进制数011 001.100 111每每3位二进制数相当一位位二进制数相当一位8进制数进制数011 111 101. 110 1000002341. 06216（5）二）二-十六转换：十六转换：每每4位二进制数相当一位位二进制数相当一位16进制数进制数A1（6）十六）十六-二转换：二转换：每位每位16进制数换为相应

11、的进制数换为相应的4位二进制数位二进制数17例例: :求求(1101111010.1011)2=(?)8=(?)16二进制二进制1101111010.1011八进制八进制1572.54所以所以(01101111010.1011)2=(1572.54)8二进制二进制001101111010.1011十六进制十六进制37A.B所以所以(01101111010.1011)2=(37AB)16000018例例: :求求(375.46)8=(?)2(678.A5)16=(?)2八进制八进制 3 7 5 . 4 6二进制二进制 011 111 101.100 110十六进制十六进制 6 7 8 . A 5

12、 二进制二进制 0110 0111 1000 . 1010 0101所以所以 (375.46)8=(011111101.100110)2所以所以 (678.A5)16=(1100111100010100101)219例：对两个二进制数例：对两个二进制数(1011)2和和(0101)2进行加、减、乘、除运算。进行加、减、乘、除运算。解：解： 加法运算加法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 减法运算减法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0即 (1011)2 + (0101)2 = (10000)2即 (1011)2 (0101)2 = (0110)2 乘法运算

13、乘法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 . 1 1 0 1 1 1 即 (1011)2(0101)2 = (110111)2 除法运算除法运算即 (1011)2(0101)2 = (10.001)220编码：编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：二进制代码：编码后的二进制数。编码后的二进制数。用用二进制代码表示十个数字符号二进制代码表示十个数字符号09，又称为，又称为BCD码（码（BinaryCodedDecimal）。）。几种常见的几种常见的BCD代码：代码：8421码码余余3码码2421码码5211码

14、码余余3循环码循环码其它代码：其它代码：ISO码码，ASCII（美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码）三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码二二- -十进制代码：十进制代码： 用用4 4位二进制数位二进制数b b3 3b b2 2b b1 1b b0 0来表示十进制数中的来表示十进制数中的 0-9 0-9 十个数码。十个数码。简称简称BCDBCD码。有多种编码方式。码。有多种编码方式。210十进十进制数制数1234567898421码码余余3码码2421(A)码码5211码码余余3循环码循环码0000000100100011010001010110011110001001

15、0011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010权权842124215211几种常见的几种常见的BCD代码代码8421BCD码和十进制间的转换是码和十进制间的转换是直接按位（按组）转换直接按位（按组）转换。如：如： (36)10=(0011 0110)8421BCD=(110110)8421BCD (101 0001 0111

16、 1001)8421BCD=(5179)1022格雷码（格雷码（Gray码）码） 格雷码是一种典型的循环码。格雷码是一种典型的循环码。循环码特点：循环码特点： 相邻性相邻性：任意两个相邻码组间仅有一位的状态不同。：任意两个相邻码组间仅有一位的状态不同。 循环性循环性：首尾两个码组也具有相邻性。：首尾两个码组也具有相邻性。 十进制数十进制数格雷码格雷码十进制数十进制数格雷码格雷码0000081100100019110120011101111300101111104011012101050111131011601011410017010015100023两位格雷码两位格雷码001100001111

17、0000000011111111三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码00011110101101000110100101111110010011001000000001011010110111101100典典 型型 的的 格格 雷雷 码码余余3循环码循环码010001011101111100100110011111001110101024251.1.1基本和常用逻辑运算基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1.基本逻辑关系举例基本逻辑关系举例功能表功能表1.1逻辑代数逻辑代数基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合

18、与逻辑关系与逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY（1）电路图：）电路图：26或逻辑关系或逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源功能表功能表灭灭亮亮亮亮亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY非逻辑关系非逻辑关系开关开关A灯灯Y电源电源R亮亮灭灭断断合合AY功能表功能表27（2）真值表：）真值表： 经过设定变量和状态赋值后，得到的经过设定变量和状态赋值后，得到的反映输入变量与输出变量之间因果关反映输入变量与输出变量之间因果关系的数学表达形式。系的数学表达形式。功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY与逻辑关系与逻辑关系真值表真值表（Tr

19、uthtable）000100011011ABY28功能表功能表灭灭亮亮亮亮亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY亮亮灭灭断断合合AY功能表功能表真值表真值表011100011011ABY或逻辑关系或逻辑关系非逻辑关系非逻辑关系真值表真值表1001AY29与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。（3）三种基本逻辑关系：）三种基本逻辑关系：或逻辑：或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。逻

20、辑关系。非逻辑：非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。不具备，事件一定发生的逻辑关系。30真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式与门与门（ANDgate)逻辑符号逻辑符号（1）与运算：）与运算：ABY&000100011011ABY2.基本逻辑运算基本逻辑运算31（2）或运算：）或运算：或门或门（ORgate) )真真值值表表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号011100011011ABYABY1（3）非运算：）非运算：真真值值表表1001AY逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号非门非门（NOTgate)AY132二、逻辑变量与

21、逻辑函数及常用复合逻辑运算二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1.逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数在在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是不是1就是就是0。逻辑函数：逻辑函数：如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量A、B、C 的取值的取值确定之后，输出逻辑变量确定之后，输出逻辑变量Y 的值也被的值也被唯一确定，则称唯一确定，则称Y 是是A、B、C 的的逻辑函数。并记作逻辑函数。并记作原原变量和反变量：变量和反变量：字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量，有反号的叫做有反号

22、的叫做反变量反变量。逻辑变量：逻辑变量：33例例1：逻辑函数：逻辑函数Y=A+BC，列出真值表。，列出真值表。例例2：逻辑函数：逻辑函数Y=(A+B)C，列出真值表。，列出真值表。34(1)与非运算与非运算(NAND)(2)或非运算或非运算(NOR)(3)与或非运算与或非运算(ANDORINVERT)111000011011AB&10002.几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表的真值表AB1AB&CD1与非逻辑功能口诀：与非逻辑功能口诀：与非逻辑功能口诀：与非逻辑功能口诀： 有有有有“0 0 0 0”出出出出“1 1 1 1”； 全全全全“1 1 1 1”出出

23、出出“0 0 0 0”。 或非逻辑功能口诀：或非逻辑功能口诀：或非逻辑功能口诀：或非逻辑功能口诀： 有有有有“1 1 1 1”出出出出“0 0 0 0”； 全全全全“0 0 0 0”出出出出“1 1 1 1”。 35(4)异或运算异或运算(ExclusiveOR)(5)同或运算同或运算(ExclusiveNOR)( (异或非异或非) )AB=1011000011011AB=1= ABABY4100100011011ABY5异或逻辑功能口诀：异或逻辑功能口诀：异或逻辑功能口诀：异或逻辑功能口诀： 同为同为同为同为“0 0 0 0”； 异为异为异为异为“1 1 1 1”。 同或逻辑功能口诀：同或逻

24、辑功能口诀：同或逻辑功能口诀：同或逻辑功能口诀： 同为同为同为同为“1 1 1 1”；异为；异为；异为；异为“0 0 0 0”。 36三、基本和常用逻辑运算的逻辑符号三、基本和常用逻辑运算的逻辑符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号国标符号AB&A1ABYAB137国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB138或：或：0+0=01+0=11+1=1 与：与：00=001=011=1 非：非：二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )或：或：A + 0= AA + 1= 1与

25、与: :A 0=0A 1= A 非：非：1.1.2公式和定理公式和定理一、一、常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0和和1) )39三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律结合律结合律分配律分配律 例例1.1.1 证明公式证明公式 解解 方法一：公式法方法一：公式法40 例例1.1.1 证明公式证明公式方法二：真值表法方法二：真值表法( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) )A B C0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101

26、011111相等相等 解解 41四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律 例例1.1.2 证明：证明：德德 摩根定摩根定理理 A B0001101100011110110010101110011110001000相等相等相等相等德德摩根定摩根定理理( (反演律反演律) )42将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量五、关于等式的两个重要规则五、关于等式的两个重要规则1.代入规则：代入规则：等式中某一变

27、量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) )则则2.反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号逻辑乘逻辑乘逻辑加逻辑加注意注意:43例如：例如：已知已知反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量运算顺序：运算顺序：

28、括号括号与与或或44 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变 不属于单个变量上的非号处理不属于单个变量上的非号处理不属于单个变量上的非号处理不属于单个变量上的非号处理两种办法两种办法两种办法两种办法：法法法法1 1：利用反演规则直接得到：利用反演规则直接得到：利用反演规则直接得到：利用反演规则直接得到，求，求，求，求。例例例例：法法法法2 2：利用反演律：利用反演律：利用反演律：利用反演律45六、六、若干常用公式若干常用公式推广推广46公式公式(4)证明：证明：推论推论公式公

29、式(5)证明：证明：即即= AB同理可证同理可证AB4748一、标准与或表达式一、标准与或表达式1.2逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式标准与标准与或式或式标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最小项最简式最简式 例例1.2.1 491.最小项的概念：最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。( (2变量共有变量共有4个最小项个最小项) )( (4变量共有变量共有16个最小项个最小项) )( (n 变

30、量共有变量共有2n个最小项个最小项) ) ( (3变量共有变量共有8个最小项个最小项) )50对应规律：对应规律：1原变量原变量 0反变量反变量2.最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1)任任一一最小项，只有一组对应变量取值使其值为最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；A B C001A B C101(2)任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为全体最小

31、项之和为1。变量变量A、B、C全部最小项的真值表全部最小项的真值表513.最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。都可以表示成为最小项之和的形式。 例例1.2.2 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式： 解解 相同最小相同最小项合并项合并标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个最小项之和的表达式。最小项之和的表达式。52函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：

32、例如，已知例如，已知Y=A+BC的真值表的真值表A B C00000101001110010111011100011111例：求例：求Y=AB+ACD的的标准与或式标准与或式534.最小项的编号：最小项的编号：把把与与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m754 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式

33、：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面与前面m0相重相重55二、二、逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式1.最简与或式：最简与或式： 乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。乘的变量个数也最少的与或表达式。例如：例如：2.最简与非最简与非与非式：与非式：非号最少，每个非号下面相乘的变量非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非个数也最少的与非-与非式。与非式。 例例1.2.3 写出下列函数的最简与非写出下列函数的最简与非-与非式：与非式： 解解 563.最简或与式：最简或与式： 括号个数最少，每个括号中相加的变括号个数最少，每

34、个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。量的个数也最少的或与式。 例例1.2.4 写出下列函数的最简或与式：写出下列函数的最简或与式： 解解 4.最简或非最简或非或非式：或非式：非号个数最少，非号下面相加的变量非号个数最少，非号下面相加的变量个数也最少的或非个数也最少的或非或非式。或非式。 例例1.2.5 写出下列函数的最简或非写出下列函数的最简或非或非式：或非式： 解解 575.最简与或非式：最简与或非式： 非号下面相加的乘积项的个数最少，非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。少的与或非式。 例例1.2.6 写出下列函数的最

35、简与或非式：写出下列函数的最简与或非式： 解解 结论：结论：只要得到函数的最简与或式，再用摩根定只要得到函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其它几种类理进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。化简才能求得。已知已知581.2.2逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、一、并项法并项法: : 例例1.2.7 例例 （与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理59二、二、吸收法：吸收法： 例例1.2.8 例例 例例 60三、三、消去法：消去法： 例例1.2.9 例例 例例 61四、四、

36、配项消项法：配项消项法：或或或或 例例1.2.10 例例1.2.11 冗余项冗余项冗余项冗余项CBCACACBY+ + + += =62综合练习：综合练习：631.2.3逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaughmaps)卡诺图：卡诺图：1.二变量二变量的卡诺图的卡诺图最小项方格图最小项方格图( (按循环码排列按循环码排列) )( (四个最小项四个最小项) )ABAB0101AB0101642.变量卡诺图的画法变量卡诺图的画法三变量三变量的卡诺图：的卡诺图：八个最小项八个最小项ABC010001 10 1111 10卡诺图的实质：卡诺图的

37、实质：逻辑相邻逻辑相邻几何相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着紧挨着行或列的两头行或列的两头对折起来位置重合对折起来位置重合逻辑相邻：逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。合并成一项，并消去一个因子。如：如：m0m1m2m3m4m5m6m765五变量五变量的卡诺图：的卡诺图：四变量四变量的卡诺图：的卡诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10当变量个数超过当变量个数超过六个以上时，无法使六个以上时，无法使用图形法进行化简。用图形

38、法进行化简。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为以此轴为对称轴（对折后位置重合）对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项663.变量卡诺图的特点：变量卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻用几何相邻表示逻辑相邻(1)几何相邻：几何相邻

39、：相接相接 紧挨着紧挨着相对相对 行或列的两头行或列的两头相重相重 对折起来位置重合对折起来位置重合(2)逻辑相邻：逻辑相邻：例如例如两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同化简方法：化简方法：卡诺图的缺点：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过函数的变量个数不宜超过6个。个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。项，并消去一个因子。674.变量卡诺图中最小项合并的规律：变量卡诺图中最小项合并的规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432ABCD0001111000

40、 01 11 10194668(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128321011ABCD0001111000 01 11 105713 15BD0281069(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 1004128321011ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去n 个因子。个因子。总结：总结：70二、逻辑函数的卡诺图二、

41、逻辑函数的卡诺图根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填1，其余位置填其余位置填0或不填。或不填。1.逻辑函数卡诺图的画法逻辑函数卡诺图的画法2.逻辑函数卡诺图的特点逻辑函数卡诺图的特点用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。各个最小项在逻辑上的相邻性。优点：优点：缺点：缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。点不复存在，无实用价值。71 例例1.

42、2.12 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图3.逻辑函数卡诺图画法举例逻辑函数卡诺图画法举例 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 01 11 10根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填1。m0、m1、m2、m31111m12、m13、m14、m151111m0、m4、m8、m121172 例例1.2.13 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 01 11 10根据函数的每个乘积项确

43、定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填1。m4、m51111m9、m1173三、三、用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数化简步骤化简步骤: :画出函数的卡诺图画出函数的卡诺图合并最小项：合并最小项：画包围圈画包围圈写出最简与或表达式写出最简与或表达式 例例1.2.14 ABCD0001111000 01 11 1011111111 解解 74ABCD0001111000 01 11 1011111111画包围圈的原则：画包围圈的原则：先圈孤立项，再圈仅有一先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。种合并方式的最小项。圈越大越好圈越大越好，

44、但圈的个数但圈的个数越少越好。越少越好。最小项可重复被圈，但每最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。个圈中至少有一个新的最小项。必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。比较、检查才能写出最简与或式。不正确不正确的画圈的画圈75 例例 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111合并最小项：合并最小项：画包围圈画包围圈写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈注意：注意：先圈孤立项先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数76利用图形法化简函数利用图

45、形法化简函数 例例 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111合并最小项：合并最小项：画包围圈画包围圈写出最简与或写出最简与或表达式表达式77用用图形法求反函数的最简与或表达式图形法求反函数的最简与或表达式 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000合并函数值为合并函数值为0的最小项的最小项写出写出Y 的反函数的的反函数的最简与或表达式最简与或表达式补充补充78补充：最简或与式的求法补充：最简或与式的求法画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。圈圈“0”0”合并合并相邻的最大项。相邻的最大项。将

46、每一个圈对应的将每一个圈对应的或项相与或项相与，即得到最简或与式。，即得到最简或与式。圈圈“0 0”合并与圈合并与圈“1 1”合并类同；合并类同；或或项项由由圈圈内内对对应应的的没没有有变变化化的的那那些些变变量量组组成成，当当变变量量取取值值为为“0 0”时时写写原原变变量量， 取取值值为为“1 1”时写反变量时写反变量。 注意：注意：79例：用卡诺图将下面函数化为最简或与式。例：用卡诺图将下面函数化为最简或与式。00011110000111100000000000ABCD解：解：801.2.4具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、一、约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(

47、1)约束：约束： 输入变量取值所受的限制输入变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的升、降、停升、降、停命令命令。A =1表示升表示升，B =1表示降表示降，C =1表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2)约束项：约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件81(3)约束条件：约束条件：在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。的条件等式表示。000011101110111由

48、由约束项相加所构成的值为约束项相加所构成的值为0的的逻辑表达式。逻辑表达式。约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或2.约束条件的表示方法约束条件的表示方法在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号( () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中ABC 的不可能取值为的不可能取值为82二、二、具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约束条件，可以使表达式大大化简。束条件，可以使表达式大大化简。1.约束条件在化简中的应用约束条件在化简中的应用(1)在公式法中的应用：在公式法中的应用：可以根据化简的需要加上

49、或去掉约束项。可以根据化简的需要加上或去掉约束项。例例化简函数化简函数Y=ABC，约束条件约束条件 解解 问题：问题：当当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束项应该加上，哪些应该去掉。项应该加上，哪些应该去掉。83(2)在图形法中的应用：在图形法中的应用：根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。例例化简函数化简函数Y=ABC，约束条件约束条件 解解 画出三变量函数的卡诺图画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10先填最

50、小项，再填约束先填最小项，再填约束项，其余填项，其余填0或不填。或不填。1000利用约束项合并最小项，利用约束项合并最小项，使包围圈越大越好，但圈使包围圈越大越好，但圈的个数越少越好。的个数越少越好。写出最简与或式写出最简与或式842.变量互相排斥的逻辑函数的化简变量互相排斥的逻辑函数的化简互相排斥的变量：互相排斥的变量： 在一组变量中，只要有一个变量在一组变量中，只要有一个变量取值为取值为1，则其他变量的值就一，则其他变量的值就一定是定是0。ABC010001 11 101011画出该函数的卡诺图画出该函数的卡诺图画包围圈，合并最小项画包围圈，合并最小项写出最简与或表达式写出最简与或表达式例

51、例1.2.16函数函数Y的变量的变量A、B、C 是互相排斥的，试是互相排斥的，试用图形法求出用图形法求出Y的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解 根据题意可知根据题意可知约束条件约束条件85 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数化简步骤化简步骤: :画函数的卡诺图，顺序画函数的卡诺图，顺序为：为：ABCD0001111000 01 11 10先填先填10111000000合并最小项，画圈时合并最小项，画圈时既可以当既可以当1，又可以当，又可以当0写出最简与或表达式写出最简与或表达式 解解 三、三、化简举例化简举例86 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数约束条件约束条件 解解 画函数的卡诺图画函数的卡

52、诺图ABCD0001111000 01 11 101111合并最小项合并最小项写出最简与或表达式写出最简与或表达式合并时，究竟把合并时，究竟把作为作为1还是作为还是作为0应以得到应以得到的的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义是约束项无意义( (如图所示如图所示) )。注意：注意：871.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1.3.1几种表示逻辑函数的方法几种表示逻辑函数的方法一、真值表一、真值表将变量的各种取值与相应的函数值，以将变量的各种取值与相应的函数值，以表格的形式一一列举出来。表格的形式一一列

53、举出来。1.列写方法列写方法ABCY00000101001110010111011100010111例如函数例如函数2.主要特点主要特点优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。辑问题抽象成数学表达式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐。88三、逻辑表达式三、逻辑表达式优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。换。缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值

54、看出函数的值。函数的值。二、卡诺图二、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式。与或表达式。缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。于进行运算和变换。真值表的一种方块图表达形式，要求变量真值表的一种方块图表达形式，要求变量取值必须按照循环码的顺序排列。取值必须按照循环码的顺序排列。用与、或、非等运算表示函数中各个用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子。变量之间逻辑关系的代数式子。例如例如89四、逻辑图四、逻辑图A

55、BYC&优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算不能进行运算和变换，所表示的和变换，所表示的逻辑关系不直观。逻辑关系不直观。&1用基本和常用的逻辑符号表示函数表达用基本和常用的逻辑符号表示函数表达式中各个变量之间的运算关系。式中各个变量之间的运算关系。 例例1.3.1 画出函数的画出函数的逻辑图逻辑图90五、波形图五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间变输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形。化的波形。ABY优点：优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。的对应关系。缺点：缺点： 难以用公式和定理进行运算和

56、变换，当变量个难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。数增多时，画图较麻烦。911.3.2几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必必有主裁判有主裁判) )认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试举才算成功。举才算成功。真值表真值表函数式函数式将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数Y =1的的输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加，

57、即得加，即得Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCY0000010100111001011101110000011192函数式函数式卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&193真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图0110ABY00011011BA&94第一章第一章 小小 结结一、数制和码制一、数制和码制一、数制和码制一、数制和码制1.数制：数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种种 类类基基 数数位位 权权应应 用用备备 注注十进制十进制0 910i日常日常二进制二进制0 ，12

58、i数字电路数字电路2 = 21八进制八进制0 78i计算机程序计算机程序8 = 23十六进制十六进制0 9，A F16i计算机程序计算机程序16 = 24各种数制之间的相互转换，特别是各种数制之间的相互转换，特别是十进制十进制二进制二进制的转换，的转换，要求熟练掌握。要求熟练掌握。2.码制：码制：常用的常用的BCD码有码有8421码、码、2421码、码、5421码、余码、余3码等，其中以码等，其中以8421码码使用最广泛。使用最广泛。95 练习练习1 完成下列数制和码制之间的相互转换完成下列数制和码制之间的相互转换1281642151212864168423282132411684196二、常

59、用逻辑关系及运算二、常用逻辑关系及运算二、常用逻辑关系及运算二、常用逻辑关系及运算1.三种基本逻辑运算：三种基本逻辑运算：与与、或、非、或、非2.四种复合逻辑运算：四种复合逻辑运算：与非与非、或非、与或非、异或、或非、与或非、异或三、逻辑代数的公式和定理三、逻辑代数的公式和定理三、逻辑代数的公式和定理三、逻辑代数的公式和定理 是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，理中，摩根定理摩根定理最为常用。最为常用。真值表真值表函数式函数式逻辑符号逻辑符号

60、练习练习2求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。解解97四、逻辑函数的化简法四、逻辑函数的化简法四、逻辑函数的化简法四、逻辑函数的化简法 化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有公式公式化简法化简法和和图形化简法图形化简法两种。两种。1.公式化简法：公式化简法：可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，并要

61、求具有一定的运算技巧和经验。并要求具有一定的运算技巧和经验。2.图形化简法：图形化简法：简单、直观，不易出错，有一定的步骤和简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。但是，当函数的变量个数多于方法可循。但是，当函数的变量个数多于六个时，就失去了优点，没有实用价值。六个时，就失去了优点，没有实用价值。约束项：约束项：（无关项）（无关项）可以取可以取0，也可以取，也可以取1，它的取值对逻辑函，它的取值对逻辑函数值没有影响，应充分利用这一特点化简数值没有影响，应充分利用这一特点化简逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。98 练习练习3 用公式法将下列函数化简为最

62、简与或式。用公式法将下列函数化简为最简与或式。99 练习练习4 用图形法将下列函数化简为最简与或式。用图形法将下列函数化简为最简与或式。（1）画函数的卡诺图画函数的卡诺图（2）合并最小项：画包围圈合并最小项：画包围圈（3）写出最简与或表达式写出最简与或表达式ABCD0001111000 01 11 1011111111 解解 11100练习练习4用图形法将下列函数化简为最简与或式。用图形法将下列函数化简为最简与或式。（1）画函数的卡诺图画函数的卡诺图（2）合并最小项：画包围圈合并最小项：画包围圈（3）写出最简与或表达式写出最简与或表达式ABCD0001111000 01 11 101解解1111 101五、逻辑函数常用的表示方法：五、逻辑函数常用的表示方法：五、逻辑函数常用的表示方法：五、逻辑函数常用的表示方法： 真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤其是由其是由真值表真值表逻辑图逻辑图和和逻辑图逻辑图真值表真值表，在逻在逻辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。102