《高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)精讲课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)精讲课件 文（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四节第十四节 导数在研究函数中的导数在研究函数中的 应用（二）应用（二）第二章第二章【例1】设函数f(x)1 .证明：当x1时，f(x) .思路点拨：欲证f(x) (x1)，即证 ，也就是证exx1，即证exx10，假设构造函数g(x)exx1(x1)，若能证明当x1时，g(x)min0，则问题得证利用导数证明不等式自主解答：自主解答： 证明证明：当x1时，f(x) 当且仅当ex1x.令g(x)exx1，则g(x)ex1.当x0时，g(x)0，g(x)在0，)上是增函数；当x0时，g(x)0，g(x)在(，0上是减函数于是g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即ex1
2、x.所以当x1时，f(x) .点点评评：通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，利用单调性证明不等式这也是证明不等式的一种有效方法1(2013湖南卷)已知函数f(x) ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20.变式探究变式探究（1）解析：）解析：f(x) 22430，当x(，0时，y(x)0，yf(x)单调递增；当x0，)时，f(x)0，yf(x)单调递减. 所以，yf(x)在(，0上单调递增；在x0，)上单调递减. (2)证明：证明：由(1)知，只需要证明：当x0时f(x)f(x)即可. f(x)f(x) (1x)e2x1x令g
3、(x)(1x)e2x1x，x0g(x)(12x)e2x1.令h(x)(12x)e2x1h(x)(12x)e2x4xe2x0yh(x)在(0，)上单调递减h(x)h(0)0yg(x)在(0，)上单调递减g(x)g(0)0y (1x)e2x1x在(0，)上单调递减，但x0时y0.f(x)f(x)0f(x)f(x)，所以，当f(x1)f(x2)且x1x2时，x1x20.【例2】(2013广州质检改编)已知函数f(x) 2x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若过点 可作函数yf(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围函数的零点与导数自主解答：自主解答： 解解析析：(1)当a3
4、时，函数f(x) x22x，得f(x)x23x2(x1)(x2)所以当1x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1或x2时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(，1)和(2，) .(2)设点P 是函数yf(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率kf(t)t2at2，所以过点P的切线方程为y 2t(t2at2)(xt)，因为点 在该切线上，所以 t3t22t(t2at2)(0t)，即 0.若过点 可作函数yf(x)图象的三条不同切线，则函数g(t) 有三个不同的零点即函数yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令g(t)2t2at
5、0，解得t0或t .因为g(0) 0， 所以必须 即a2.所以实数a的取值范围为(2，) 点点评评：利用导数讨论三次函数的零点的常用结论：对于在R上非单调的三次函数yf(x)，若f(x)只有一个零点，则只需极小值大于零或极大值小于零；若f(x)有两个零点，则只需极小值等于零或极大值等于零；若f(x)有三个零点，则只需极小值小于零且极大值大于零变式探究变式探究2已知函数f(x) x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围 解解析析：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当 解得0a .所以，a的取值范围是 .与导数有关的综合问题
