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1、第五章第五章機率論機率論學學習習目目標標1.介紹機率的基本觀念如隨機試驗、樣本點、樣本空間、事件等。2.了解古典機率理論、客觀機率理論及主觀機率理論。3.學習事件機率、聯合機率、邊際機率及條件機率之定義及其應用。4.如何應用貝氏定理。本本章章架架構構5.1機率(probability)基本觀念5.2機率(probability)定義5.3事件(event)及事件機率(eventprobability)的定義5.4貝氏定理(Bayestheorem)機率簡史機率簡史機率論之起源據說是由於投骰子，卡片，錢幣等之賭博遊戲機率論之起源據說是由於投骰子，卡片，錢幣等之賭博遊戲之流行及保險之發生而產生。其
2、發展之動機是當時商業資本之流行及保險之發生而產生。其發展之動機是當時商業資本家作如此打賭之交易時，認為要依靠占星術不如依靠較為確家作如此打賭之交易時，認為要依靠占星術不如依靠較為確實可以致富之學術界。實可以致富之學術界。16-1716-17世紀數學者大約完成古典機率論。在當時由於數學史世紀數學者大約完成古典機率論。在當時由於數學史上微積分之發明，機率論亦因而應用此法。古典機率論的內上微積分之發明，機率論亦因而應用此法。古典機率論的內容由組合論進入幾何學的機率論，更與誤差論聯結出現解析容由組合論進入幾何學的機率論，更與誤差論聯結出現解析的機率論。在此間由的機率論。在此間由 DeDeMoivreM
3、oivre、JamesBernoulliJamesBernoulli等所展開等所展開之古典的推測論中始確立大數法則，更進一步的到之古典的推測論中始確立大數法則，更進一步的到 GaussGauss、LaplaceLaplace時發現中央極限定理。此大數法則對古典統計學提時發現中央極限定理。此大數法則對古典統計學提供大數觀察之理論基礎，意義甚大。中央極限定理是誤差論供大數觀察之理論基礎，意義甚大。中央極限定理是誤差論之一支柱且成為最小自乘法的背景。之一支柱且成為最小自乘法的背景。 資料來源：資料來源：姚景星教授姚景星教授 機機率之回顧率之回顧5.1機率基本觀念機率基本觀念5.1.15.1.1隨機試
4、驗隨機試驗( (randomexperiment)randomexperiment)、 樣本點樣本點( (samplepoint)samplepoint)及樣本空間及樣本空間( (samplesamplespace)space)5.1.25.1.2計數法則計數法則5.1.1隨機試驗、樣本點及樣本空間隨機試驗、樣本點及樣本空間隨機試驗隨機試驗( (randomexperiment)randomexperiment)：在實驗之前已知所有可能發生的結果，但卻無法預在實驗之前已知所有可能發生的結果，但卻無法預知會發生何種結果的實驗方式。知會發生何種結果的實驗方式。樣本點樣本點( (samplepoin
5、t)samplepoint)：隨機試驗之每個可能出現的結果隨機試驗之每個可能出現的結果( (outcome)outcome)稱為樣本稱為樣本點。點。樣本空間樣本空間( (samplespace)samplespace)：隨機試驗之所有樣本點所形成的集合，稱為樣本空隨機試驗之所有樣本點所形成的集合，稱為樣本空間，通常以英文大寫字母間，通常以英文大寫字母S S表示之。表示之。5.1.1隨機試驗、樣本點及樣本空（續）隨機試驗、樣本點及樣本空（續）表表5.15.1隨機試驗、樣本點及樣本空間隨機試驗、樣本點及樣本空間5.1.2計數法則計數法則 樹狀圖樹狀圖( (treediagram)treediagr
6、am)：藉由樹狀圖可了解隨機試驗的過程及其所有可能的結果，如藉由樹狀圖可了解隨機試驗的過程及其所有可能的結果，如下圖所示。下圖所示。圖圖5.15.1丟擲兩個銅板的樹狀圖丟擲兩個銅板的樹狀圖 5.1.2計數法則計數法則(續續)多步驟隨機試驗之計數法則多步驟隨機試驗之計數法則： 若一個隨機試驗係由若一個隨機試驗係由 k k 個步驟所形成，而第一步驟個步驟所形成，而第一步驟有有n n1 1種可能結果，第二步驟有種可能結果，第二步驟有n n2 2種可能結果，依此種可能結果，依此類推，第類推，第 k k 步驟有步驟有n nk k種可能結果，則此隨機試驗共種可能結果，則此隨機試驗共有有n n11 n n2
7、2 n nk k種可能結果種可能結果，即此隨機試驗之樣本，即此隨機試驗之樣本點數為各步驟可能結果個數之乘積。點數為各步驟可能結果個數之乘積。例例5.1衣服的搭配方式衣服的搭配方式陳先生衣櫃中有陳先生衣櫃中有1010件襯衫、件襯衫、6 6件長褲、件長褲、3 3件外套件外套及及8 8條條領帶，現陳先生要選擇領帶，現陳先生要選擇1 1件襯衫、件襯衫、1 1件長褲、件長褲、1 1件外套件外套及及1 1條領帶搭配，問共有多少種可能的搭配方式？條領帶搭配，問共有多少種可能的搭配方式？解：解：此隨機試驗係由此隨機試驗係由4 4個步驟所形成，第一步驟選擇襯衫，個步驟所形成，第一步驟選擇襯衫，有有1010種選擇
8、的方式；第二步驟選擇長褲，有種選擇的方式；第二步驟選擇長褲，有6 6種選擇種選擇的方式；第三步驟選擇外套，有的方式；第三步驟選擇外套，有3 3種選擇的方式；第種選擇的方式；第四步驟選擇領帶，有四步驟選擇領帶，有8 8種選擇的方式；種選擇的方式；故共有故共有10638106381,4401,440種搭配方式。種搭配方式。5.1.2計數法則計數法則(續續1) 排列排列( (permutation)permutation)：從從n n個不同的物體中，抽取個不同的物體中，抽取r r個物體依序安排個物體依序安排在在r r個位置，則共個位置，則共有有n n (n(n1)1) (n(n2)2) (n(nr
9、r1)1)種不同的排列方式種不同的排列方式，一般以一般以表示。此處，表示。此處，。 組合組合( (combination)combination)：從從n n個不同的物體中抽取個不同的物體中抽取r r個物體，則共個物體，則共種選法。此處，種選法。此處， 例例5.2班級幹部之選取班級幹部之選取一班一班有有6060位學生，從中選取位學生，從中選取3 3位分別擔任班代、服務位分別擔任班代、服務股長及康樂股長，問有多少種可能的情況？股長及康樂股長，問有多少種可能的情況？解：解：因班代、服務股長及康樂股長表示因班代、服務股長及康樂股長表示3 3個不同的位置。個不同的位置。故故班代班代服務股長服務股長康樂
10、股長康樂股長606059585958205,320205,320種可能的情況，種可能的情況，或或。例例5.3金融卡密碼之選取金融卡密碼之選取 陳先生設定四個不相同數字為金融卡之密碼，問有多少陳先生設定四個不相同數字為金融卡之密碼，問有多少種可能的方式？種可能的方式？解：解：種可能的方式。種可能的方式。例例5.4樂透彩券號碼之選取方式樂透彩券號碼之選取方式目前正流行的樂透彩券，其玩法係目前正流行的樂透彩券，其玩法係從從1 1至至4242號碼中選號碼中選取取6 6個不同的號碼，那麼究竟共有多少種選法？個不同的號碼，那麼究竟共有多少種選法？解：解：。台灣的樂透彩與美國比較台灣的樂透彩與美國比較 美國
11、樂透動輒要一、二十期才會有人拿到頭彩，我們中華民美國樂透動輒要一、二十期才會有人拿到頭彩，我們中華民國，每期便有三五個人平分頭彩；更誇張的是：還有人一次國，每期便有三五個人平分頭彩；更誇張的是：還有人一次買兩張相同的號碼，一次中個雙囍臨門。買兩張相同的號碼，一次中個雙囍臨門。拿台灣的樂透彩跟美國比較，其實是有問題的，國外一、二拿台灣的樂透彩跟美國比較，其實是有問題的，國外一、二十期中一次是因為十期中一次是因為4949選選6 6的關係。我們運用數學的機率來算的關係。我們運用數學的機率來算看看。看看。 國內樂透中六星的機率：國內樂透中六星的機率：美國樂透中六星的機率：美國樂透中六星的機率：由此可見
12、，國內簽注樂透中頭彩的機率，是美國的由此可見，國內簽注樂透中頭彩的機率，是美國的3 3倍。加倍。加上台灣民眾賭性堅強，個人花上數百萬包牌、甚至組織串聯上台灣民眾賭性堅強，個人花上數百萬包牌、甚至組織串聯集資簽注幾乎已經不是新聞了，每一期中樂透的人數超過一集資簽注幾乎已經不是新聞了，每一期中樂透的人數超過一人，的確有它的理由存在。人，的確有它的理由存在。 購買彩券前您不可不知的守購買彩券前您不可不知的守則則 根據專家表示，你每投資五十元，就有機會回收廿八元；然根據專家表示，你每投資五十元，就有機會回收廿八元；然而摃龜機率超過而摃龜機率超過97%97%。以下就是專家的分析：。以下就是專家的分析：
13、摃龜組合：以摃龜組合：以4242選選66的現行規則，總共會有的現行規則，總共會有5,245,7865,245,786種組種組合，在這些組合中六個號碼都不中的有合，在這些組合中六個號碼都不中的有1,947,7921,947,792種組合；種組合；只中一個號碼的有只中一個號碼的有2,261,9522,261,952種組合；只中兩號碼的有種組合；只中兩號碼的有883,575883,575 種組合，以上三種組合一共是種組合，以上三種組合一共是5,093,3195,093,319種摃龜組種摃龜組合，也就是不會中獎的組合佔合，也就是不會中獎的組合佔97.09%97.09%。 會中獎的號碼只有會中獎的號碼只
14、有152,467152,467組，這組，這152,467152,467組會中獎的號碼組組會中獎的號碼組當中分別為：當中分別為： 普獎（中三碼）普獎（中三碼）142,800142,800種種 (2.2722%)(2.2722%)四獎（中四碼）四獎（中四碼）9,4509,450 種種 (0.18%)(0.18%)三獎（中五碼）三獎（中五碼）210210 種種(0.004%)(0.004%)二獎（中五碼再加中特別碼）二獎（中五碼再加中特別碼）6 6種種 (0.0001%)(0.0001%)頭獎（六碼全中）頭獎（六碼全中）1 1種。種。5.2機率定義機率定義5.2.15.2.1相對次數法相對次數法5.
15、2.25.2.2古典方法古典方法5.2.35.2.3主觀法主觀法5.2機率定義機率定義(續續) 機率：機率： 係衡量隨機試驗之各種結果發生的可能量數。係衡量隨機試驗之各種結果發生的可能量數。 條件：條件：1. 1.機率值必須介於機率值必須介於0 0與與1 1之間，若該隨機試驗結果不之間，若該隨機試驗結果不發生，則其機率等於發生，則其機率等於0 0；若該隨機試驗結果一定；若該隨機試驗結果一定發生，則機率等於發生，則機率等於1 1。2. 2.所有隨機試驗結果發生機率的總和必須等於所有隨機試驗結果發生機率的總和必須等於1 1 。5.2.1相對次數法相對次數法 相對次數法：相對次數法： 在相同情況下，
16、重複進行隨機試驗，經過長期重複試驗許在相同情況下，重複進行隨機試驗，經過長期重複試驗許多次後，試驗結果多次後，試驗結果E E發生的機率，發生的機率，以以P(E)P(E)表示，則表示，則，其中其中 n(E)n(E)表表示試驗結果示試驗結果E E實際發生的次數實際發生的次數，n n表隨機試驗總表隨機試驗總次數。次數。保險基本原理保險基本原理大數法則大數法則 大數法則是指一件事重覆發生的次數很多時，其發生的機率大數法則是指一件事重覆發生的次數很多時，其發生的機率就會接近真實的情形。就會接近真實的情形。假定吾人觀察某事件在進行反覆假定吾人觀察某事件在進行反覆N N次以後，會有次以後，會有R R次特定狀
17、次特定狀況出現。當觀察越多次時，況出現。當觀察越多次時，R/NR/N會趨近於定值的一種現象。會趨近於定值的一種現象。如果上述的如果上述的N N是參與保險的單位，是參與保險的單位，R R是危險發生的次數，即是危險發生的次數，即適合用保險來處理的危險。用保險的語言來說，即有夠多的適合用保險來處理的危險。用保險的語言來說，即有夠多的危險單位存在時，即可統計出一穩定的損失機率。這也是保危險單位存在時，即可統計出一穩定的損失機率。這也是保險費率訂定的基礎。險費率訂定的基礎。 大數法則運用在保險上面最常見的就是死亡率，壽險業利用大數法則運用在保險上面最常見的就是死亡率，壽險業利用臺灣壽險業第三回經驗生命表
18、來計算保費的基準，臺臺灣壽險業第三回經驗生命表來計算保費的基準，臺灣壽險業第三回經驗生命表是以一千萬人為基準的。灣壽險業第三回經驗生命表是以一千萬人為基準的。例例5.5一個均勻銅板出現正面的情形一個均勻銅板出現正面的情形 分別重覆丟擲一個均勻的銅板分別重覆丟擲一個均勻的銅板1010次、次、100100次、次、1,0001,000次及次及10,00010,000次，其出現正面的次數如表次，其出現正面的次數如表5.15.1所示，由表所示，由表5.15.1可看出，可看出，隨著試驗次數之增加，出現正面的比例愈來愈接近隨著試驗次數之增加，出現正面的比例愈來愈接近0.50.5。表表5.25.2丟擲一個均勻
19、銅板的結果統計表丟擲一個均勻銅板的結果統計表 5.2.2古典方法古典方法古典方法古典方法： 假設每一種隨機試驗結果出現的可能性皆相等之情假設每一種隨機試驗結果出現的可能性皆相等之情況下，衡量各隨機試驗結果發生之機率的方法，稱況下，衡量各隨機試驗結果發生之機率的方法，稱之。之。計算法則計算法則：如果一個隨機試驗有如果一個隨機試驗有n(S)n(S)個，則各隨機試驗結果發個，則各隨機試驗結果發生之機率皆為生之機率皆為。例例5.6丟擲一個均勻骰子的情形丟擲一個均勻骰子的情形丟擲一個均勻的骰子一次，其樣本空間為丟擲一個均勻的骰子一次，其樣本空間為因為這是一個均勻的骰子，故假設每一個隨機試驗因為這是一個均
20、勻的骰子，故假設每一個隨機試驗結果發生的可能性皆相等。結果發生的可能性皆相等。即即例例5.7誰出公差呢？誰出公差呢？全班有全班有6060位學生，從中抽取一位學生出公差，每個位學生，從中抽取一位學生出公差，每個人被抽到的機率人被抽到的機率皆為皆為1/601/60。5.2.3主觀主觀法法主觀法主觀法： 在相對次數法與古典法均不適用的情況下在相對次數法與古典法均不適用的情況下，利用所利用所有相關的資料加上經驗與直覺，衡量某一特定隨機有相關的資料加上經驗與直覺，衡量某一特定隨機試驗結果發生之機率值，稱之。試驗結果發生之機率值，稱之。例例5.8誰會當選立法院副院長呢？誰會當選立法院副院長呢？江丙坤與洪奇
21、昌委員競選第五屆立法院副院長，每江丙坤與洪奇昌委員競選第五屆立法院副院長，每位候選人當選的可能性不需要相等，且又不能重覆位候選人當選的可能性不需要相等，且又不能重覆進行投票，故雙方人馬根據所有可用的訊息估計江進行投票，故雙方人馬根據所有可用的訊息估計江委員或洪委員當選之機率。委員或洪委員當選之機率。預測的主觀方法預測的主觀方法德非法德非法(DelphiSurvey) 德德非非調調查查法法 有有三三個個主主要要性性質質：第第一一，探探討討的的問問題題是是非非常常專專業業的的問問題題；其其次次，調調查查的的對對象象是是專專業業的的菁菁英英；最最後後，它它的的功功能能是是決決策策與與溝溝通通，而而前
22、前者者又又包包含含評評估估和和預預測測兩個層次。兩個層次。 相相對對於於一一般般意意見見調調查查是是一一種種公公眾眾性性態態度度的的調調查查；德德非非調調查法是一種專家性、行動或預言的調查。查法是一種專家性、行動或預言的調查。 德德非非調調查查法法的的誕誕生生基基於於三三個個理理論論，其其一一，處處理理專專業業問問題題，專專家家和和普普通通人人的的正正確確程程度度不不同同，專專家家擁擁有有一一種種主主觀觀的的先先知知機機率率，較較為為正正確確。第第二二，如如果果對對於於一一個個抽抽象象事事物物反反復復測測量量，最最後後會會獲獲得得一一個個比比較較穩穩定定、正正確確的的平平均均結結果果。其其三三
23、，三三個個臭臭皮皮匠匠抵抵過過一一個個諸諸葛葛亮亮，經經由由團團隊隊作用，一群專家的預測力抵得上阿波羅。作用，一群專家的預測力抵得上阿波羅。 5.3事件及事件機率的性質事件及事件機率的性質5.3.15.3.1事件事件( (event)event)的基本性質的基本性質5.3.25.3.2事件機率事件機率( (eventprobability)eventprobability)5.3.35.3.3聯合機率聯合機率( (jointprobability)jointprobability)及及邊際機率邊際機率( (marginalprobability)marginalprobability)5.3.
24、45.3.4條件機率條件機率( (conditionalprobability)conditionalprobability)5.3.55.3.5機率的性質機率的性質5.3.1事件的基本性質事件的基本性質事件事件( (event)event)：樣本空間的部分集合稱為事件。樣本空間的部分集合稱為事件。簡單事件：簡單事件：只包含一個樣本點的部分集合稱為簡單事件。只包含一個樣本點的部分集合稱為簡單事件。複合事件：複合事件：包含二個或二個以上樣本點的部分集合稱位複合事包含二個或二個以上樣本點的部分集合稱位複合事件。件。例例5.9從球袋中抽取一球從球袋中抽取一球假設一球袋內有假設一球袋內有1 1、2 2
25、、3 3號球，現從袋內抽取一個號球，現從袋內抽取一個球，則其樣本空間為球，則其樣本空間為1,2,31,2,3，試問其部分集合，試問其部分集合為何？為何？ 解：解：解：解：共有共有個部分集合，包括個部分集合，包括1. 1.空集合：一定不會發生之事件。空集合：一定不會發生之事件。2. 2.簡單事件簡單事件：11、22、33 。3. 3.複合事件：複合事件：1,21,2、1,31,3、2,32,3、1,2,31,2,3，其中，其中 1,2,31,2,3為一定發生之事件。為一定發生之事件。 5.3.1事件的基本性質事件的基本性質(續續1)1.事事件件的的餘餘集集( (complementcomplem
26、entofofevent)event)係係指指樣樣本本空空間間中中不不包包含含A A事事件件之之所所有有樣樣本本點點形形成成之之集集合合，以以A Ac c表表示示之之。如圖如圖5.25.2所示。所示。圖圖5.25.2事件事件A A的餘集的餘集( (complementofeventA)complementofeventA)AAc5.3.1事件的基本性質事件的基本性質(續續2)2. 2.事件事件A A和和B B的交集，表示在的交集，表示在A A和和B B中共同出現的樣本點所形中共同出現的樣本點所形成之集合，以成之集合，以ABAB表示之。如圖表示之。如圖5.35.3所示。所示。 圖圖5.35.3事
27、件事件A A和和B B的交集的交集AB5.3.1事件的基本性質事件的基本性質(續續3)3. 3.事件和的聯集表示所有屬於或或兩者都有的樣本點所形成事件和的聯集表示所有屬於或或兩者都有的樣本點所形成之集合，以表示之。如圖之集合，以表示之。如圖5.45.4所示。所示。圖圖5.45.4事件事件A A和和B B的聯集的聯集AB5.3.2事件機率事件機率事件機率事件機率( (eventprobability)eventprobability)： 事件事件A A發生之機率發生之機率P(A)P(A)為事件為事件A A之樣本點出現之樣本點出現機率的總和機率的總和，即，即P(A)=PP(A)=P(E(Ei i)
28、 )，E Ei i A A。例例5.10接續例接續例5.6 丟擲一個均勻的骰子一次，出現偶數的機率為何？丟擲一個均勻的骰子一次，出現偶數的機率為何？ 解：解：由例由例5.95.9可知，其樣本空間，且每一樣本點出現的機率皆為，可知，其樣本空間，且每一樣本點出現的機率皆為，假設為出現偶數的事件，則，故其發生的機率為假設為出現偶數的事件，則，故其發生的機率為 另解：另解：因為每一樣本點出現的機率皆相等，故因為每一樣本點出現的機率皆相等，故亦亦P P( (A A) )可定義為事件可定義為事件所包含之樣本點個數與樣本空間之樣本點總個數之比值，即所包含之樣本點個數與樣本空間之樣本點總個數之比值，即。故此題
29、亦可作為故此題亦可作為 。例例5.11丟擲一個不均勻的骰子丟擲一個不均勻的骰子丟擲一個不均勻的骰子一次，其出現丟擲一個不均勻的骰子一次，其出現2 2的機率為，而的機率為，而其他樣本點出現的機率皆相等，問出現偶數的機率其他樣本點出現的機率皆相等，問出現偶數的機率為何？為何？解：此隨機試驗各樣本點出現之機率為解：此隨機試驗各樣本點出現之機率為，且且，所以，所以5.3.3聯合機率及邊際機率聯合機率及邊際機率聯合機率聯合機率( (jointprobability)jointprobability)：兩個或兩個以上分類的事件同時發生的機率，稱為兩個或兩個以上分類的事件同時發生的機率，稱為聯合機率。聯合機
30、率。邊際機率邊際機率( (marginalprobability)marginalprobability)：在有兩個或兩個以上類別的樣本空間中，若僅考慮在有兩個或兩個以上類別的樣本空間中，若僅考慮某一類別個別發生的機率者，稱為邊際機率某一類別個別發生的機率者，稱為邊際機率。例例5.12家庭中母親與女兒就讀大學之情況家庭中母親與女兒就讀大學之情況 調查某城市調查某城市8080個家庭其母親及女兒就讀大學之情況，如表個家庭其母親及女兒就讀大學之情況，如表5.25.2所示。問母親及女兒都讀過大學之機率為何？所示。問母親及女兒都讀過大學之機率為何？表表5.2805.280個家庭其母親及女兒就讀大學統計表
31、個家庭其母親及女兒就讀大學統計表例例5.12解答解答令令A A1 1表示母親讀過大學的事件表示母親讀過大學的事件 A A2 2表示母親未讀過大學的事件表示母親未讀過大學的事件B B1 1表示女兒讀過大學的事件表示女兒讀過大學的事件B B2 2表示女兒未讀過大學的事件表示女兒未讀過大學的事件例例5.12解答解答(續續) 由表由表5.25.2可獲得下列之聯合機率值：可獲得下列之聯合機率值： 母親及女兒都讀過大學之機率母親及女兒都讀過大學之機率= = 母親讀過大學但女兒未讀過大學之機率母親讀過大學但女兒未讀過大學之機率= = 母親未讀過大學但女兒讀過大學之機率母親未讀過大學但女兒讀過大學之機率= =
32、 母親及女兒都未讀過大學之機率母親及女兒都未讀過大學之機率= =例例5.12解答解答(續續1)表表5.3805.380個家庭其母親及女兒就讀大學之聯合機率表個家庭其母親及女兒就讀大學之聯合機率表 例例5.13接續例接續例5.12 接續例接續例5.125.12，問母親讀過大學之機率為何？，問母親讀過大學之機率為何？ 解：解：由題意，本題所要求的是母親讀過大學的邊際機率，由於由題意，本題所要求的是母親讀過大學的邊際機率，由於A A1 1、A A2 2、B B1 1及及B B2 2之邊際機率分別為之邊際機率分別為故母親讀過大學之機率為故母親讀過大學之機率為0.30.3。5.3.4條件機率條件機率條件
33、機率條件機率( (conditionalprobability)conditionalprobability)：令令A A、B B為定義於樣本空間的事件為定義於樣本空間的事件，在已知事件，在已知事件B B發發生的條件下，事件生的條件下，事件A A發生的機率，即稱為事件發生的機率，即稱為事件A A的條的條件機率。條件機率定義為聯合機率和邊際機率的比件機率。條件機率定義為聯合機率和邊際機率的比值，其可表示為值，其可表示為， 其中其中，P(AP(AB)B)表事件表事件A A與與B B同時發生的聯合機率同時發生的聯合機率，P(B)P(B)表事件表事件B B發生的機率發生的機率。例例5.14接續例接續例
34、5.12接續接續例例5.125.12，已知該家庭母親讀過大學，問該家庭，已知該家庭母親讀過大學，問該家庭女兒也讀過大學之機率為何？女兒也讀過大學之機率為何？解：解：原本家庭女兒讀過大學之機率為原本家庭女兒讀過大學之機率為0.50.5，但若已知該家，但若已知該家庭母親讀過大學之情況下，其女兒亦讀過大學之機庭母親讀過大學之情況下，其女兒亦讀過大學之機率提高為率提高為。5.3.5機率的性質機率的性質加法法則：加法法則： 係計算兩事件聯集的機率，其可表達為係計算兩事件聯集的機率，其可表達為乘法法則：乘法法則： 1. 1.計算兩事件交集的機率，其係由條件機率的定義而來，計算兩事件交集的機率，其係由條件機
35、率的定義而來，可表達為可表達為2. 2.計算三個事件交集的機率，其可定義為計算三個事件交集的機率，其可定義為5.3.5機率的性質機率的性質(續續1)獨立事件獨立事件( (independentevents)independentevents)： 係指一事件的發生不會影響立一件事件發生的機係指一事件的發生不會影響立一件事件發生的機率，所以若率，所以若A A、B B兩事件兩事件合乎於下列任一條件，則合乎於下列任一條件，則A A、B B互為獨立事件互為獨立事件。1.1.P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)2.P(B|A)=P(B)2.P(B|A)=P(B)3.P(A3.P(A B)=P(A)
36、B)=P(A)P(B)P(B)5.3.5機率的性質機率的性質（續（續2）相依事件相依事件( (dependentevent)dependentevent)：係指一事件的發生會影響其他事件發生的機率。係指一事件的發生會影響其他事件發生的機率。互斥事件互斥事件( (mutuallyexclusiveevents)mutuallyexclusiveevents)：係指兩事件沒有共同的樣本點。係指兩事件沒有共同的樣本點。5.3.5機率的性質（續機率的性質（續3）分割集合：若A1，Ak事件具有下列性質，則稱A1，Ak，為一分割集合(partitionset)。1.A A1 1，AAk k事件彼此互斥事件
37、彼此互斥，即，即P(AP(Ai i A Aj j)=0)=0，對所有的對所有的 i i jj。2.A A1 1，A Ak k事件組成樣本空間事件組成樣本空間，即，即S=AS=A1 1 A A22AAk k。例例5.15電腦公司員工離職的原因電腦公司員工離職的原因 根據一電腦公司人事經理指出，該公司員工離職的原因，有根據一電腦公司人事經理指出，該公司員工離職的原因，有25%25%是對薪資不滿意，是對薪資不滿意，有有15%15%是對工作環境不滿意，而是對工作環境不滿意，而有有10%10%是同時對薪資及工作環境不滿意，請問員工離職的原因是同時對薪資及工作環境不滿意，請問員工離職的原因是對薪資不滿意或
38、工作環境不滿意或兩者皆不滿意之機率為是對薪資不滿意或工作環境不滿意或兩者皆不滿意之機率為何？何？ 解：令解：令 A A表示員工離職是因為對薪資不滿意的事件表示員工離職是因為對薪資不滿意的事件B B表示員工離職是因為對工作環境不滿意的事件表示員工離職是因為對工作環境不滿意的事件因此，題意即在求事件因此，題意即在求事件發生的機率發生的機率 ，例例5.16抽球的順序會影響機率嗎？抽球的順序會影響機率嗎？ 一個袋子內有兩個白球及一個紅球，現有三人以不放回的一個袋子內有兩個白球及一個紅球，現有三人以不放回的方式依序從袋內抽出一個球，請問這三人分別抽到紅球的方式依序從袋內抽出一個球，請問這三人分別抽到紅球
39、的機率會因抽取的順序不同而差異嗎？機率會因抽取的順序不同而差異嗎？解：解：解：解：令令例例5.16解答解答例例5.17使用信用卡付賬之情況使用信用卡付賬之情況某一加油站經理根據過去經驗表示，有某一加油站經理根據過去經驗表示，有60%60%顧客會顧客會使用信用卡付賬，如果每位顧客是否使用信用卡付使用信用卡付賬，如果每位顧客是否使用信用卡付賬不會彼此互相影響，試問下兩位顧客都使用信用賬不會彼此互相影響，試問下兩位顧客都使用信用卡付賬之機率為何？卡付賬之機率為何？解：解：例例5.18接續接續例例5.14接續接續例例5.145.14，請問女兒讀過大學是否與母親讀過大，請問女兒讀過大學是否與母親讀過大學
40、有關？學有關？令令 A A1 1表示母親讀過大學的事件表示母親讀過大學的事件 A A2 2表示母親未讀過大學的事件表示母親未讀過大學的事件B B1 1表示女兒讀過大學的事件表示女兒讀過大學的事件 B B2 2表示女兒未讀過大學的事件表示女兒未讀過大學的事件例例5.19撲克牌之抽取撲克牌之抽取 自自5252張撲克牌以不放回的抽取張撲克牌以不放回的抽取2 2張牌，假設張牌，假設A A表示抽取的第一表示抽取的第一張牌為張牌為AceAce的事件，的事件，B B表示抽取的第二張牌為表示抽取的第二張牌為AceAce的事件，試的事件，試問問A A、B B兩事件彼此獨立嗎？兩事件彼此獨立嗎？解：解： 所以所以
41、A A、B B兩事件彼此不獨立，而是相依事件。兩事件彼此不獨立，而是相依事件。 5.4貝氏定理貝氏定理分割定理：若A1，Ak為一樣本空間之分割集合，B為某特定事件，則5.4貝氏定理（續）貝氏定理（續）貝氏定理貝氏定理( (BayesBayestheorem)theorem)：若已知若已知A A1 1，A Ak k為一樣本空間的分割集合，為一樣本空間的分割集合，B B為為某特定事件某特定事件， 且已知且已知P(AP(Ai i) )及及P P(B|A(B|Ai i) )，則在已知則在已知B B事事件發生之條件下，件發生之條件下，A Ai i事件發生之機率為事件發生之機率為P(AP(Ai i|B)|
42、B)其中，其中， P(AP(Ai i) )為事前機率，為事前機率，P P(B|A(B|Ai i) )為條件機率，為條件機率， P(AP(Ai i|B)|B)為事後機率為事後機率( (posteriorprobabilities)posteriorprobabilities)。5.4貝氏定理（續貝氏定理（續1）貝氏定理進行的程序貝氏定理進行的程序例例5.20不良零件來自何處？不良零件來自何處？ 例如某公司生產之主要產品所需之零件係由三家不同的供應例如某公司生產之主要產品所需之零件係由三家不同的供應商（甲、乙、丙）供應，其供貨比例分別為商（甲、乙、丙）供應，其供貨比例分別為50%50%、30%30
43、%及及20%20%，而各供應商公或的不良率分別為，而各供應商公或的不良率分別為1%1%、3%3%及及2%2%，表，表5.45.4為各供應商所提供之零件分別為良品及不良品的條件機率。為各供應商所提供之零件分別為良品及不良品的條件機率。現自所有零件中抽取一個，若該零件被發現係不良品，請問現自所有零件中抽取一個，若該零件被發現係不良品，請問該零件最可能來自於那家供應商？該零件最可能來自於那家供應商？表表5.45.4各供應商提供之零件為良品及不良品的條件機率各供應商提供之零件為良品及不良品的條件機率例例5.20解答解答假設假設A A1 1表示該零件來自於甲供應商的事件表示該零件來自於甲供應商的事件A A2 2表示該零件來自於乙供應商的事件表示該零件來自於乙供應商的事件A A3 3表示該零件來自於丙供應商的事件表示該零件來自於丙供應商的事件B B表示該零件是不良品的事件，則表示該零件是不良品的事件，則，例例5.20解答解答(續續)例例5.20解答解答(續續1)因為因為為最大，故該零件最可能來自於乙供應商。為最大，故該零件最可能來自於乙供應商。
