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1、函数及其表示函数及其表示1函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A、B设A、B是两个非空是两个非空_设A、B是两个非空是两个非空_基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理数集数集集合集合对应关系关系f：AB如果按照某种确定的如果按照某种确定的对应关系关系f, 使使对于集于集合合A中的中的 _ 一个一个_,在集合在集合B中都有中都有_的数的数f(x)和和它它对应.如果按某一个确定如果按某一个确定的的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的_一个元素一个元素x，在集合，在集合B中都有惟一确定的中都有惟一确定的元素元素y与之与之对应任意任意数数x惟一确定惟一确定任意任意函数函数映
2、射映射名称名称称称_为从从集合集合A到集合到集合B的一的一个函数个函数称称_为从从集合集合A到集合到集合B的一的一个映射个映射记法法yf(x)，xA对应f：AB是一个是一个映射映射f：AB对应f：AB思考感悟思考感悟: 映射与函数有什么区别？映射与函数有什么区别？提示：提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集集合必须是非空数集2函数的表示法函数的表示法函数的表示法：解析法、图象法、列表法函数的表示法：解析法、图象法、列表法(1)解析
3、法：如果在函数解析法：如果在函数yf(x)(xA)中中f(x)是用是用_的代数式来表达的，则这种表示函的代数式来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法数的方法叫做解析法(2)图象法：对于函数图象法：对于函数yf(x)(xA)，定义域内，定义域内每一个每一个x的值都有惟一的的值都有惟一的y值与它对应，把这两值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点作为点P的的坐标，记作坐标，记作P(x，y)，则所有这些点的集合构成，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用一个曲线，把这种用_表示函数的方表示函数的方法叫做图象法法叫做图象法自变量自变量x点的集合点的集合
4、(3)列表法：用列出列表法：用列出_与对应的与对应的_的表格来表达两个变量间的对应关系的方法叫做的表格来表达两个变量间的对应关系的方法叫做列表法列表法3分段函数分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但称为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是它表示的是_函数函数自变量自变量x函数值函数值y对应关系对应关系一个一个4. 复合函数复合函数 :解析式解析式, 定义域定义域. 如：已知函数如：已知函数yf(x)的定义域为的定义域为a，b，
5、求求yf(x2)的定义域，其实质是求的定义域，其实质是求ax2b中中x的范围，即其定义域为的范围，即其定义域为a2，b2；反之，若反之，若yf(x2)的定义域为的定义域为a，b，求，求f(x)的的定义域，则应求定义域，则应求x2的范围，即的范围，即axb，a2x2b2，则则f(x)的定义域为的定义域为a2，b2，即函数即函数f(x)与与f(x2)是不同的函数是不同的函数; f(x)与与f(x2)中的中的x含义不同含义不同.复合函数的定义域复合函数的定义域: 定义域是定义域是则则如如函数函数:定义域是定义域是 1, 2，如如函数函数:定义域是定义域是, 则则f(x)定义域是定义域是 1, 2，一
6、般地一般地:若已知若已知yf(x)的定义域为的定义域为a，b，则则yfg(x)的定义域由的定义域由ag(x)b，解出，解出若已知若已知yfg(x)的定义域为的定义域为a，b，则则yf(x)的定义域即为的定义域即为g(x)的值域的值域 已知已知fg(x)的解析式求的解析式求f(x)的解析式的解析式, 常用的方法有换元法、配凑法常用的方法有换元法、配凑法.复合函数的解析式复合函数的解析式: 练习练习: (1)若函数若函数yf(x)的定义域是的定义域是-2，4，则函数，则函数g(x)f(x)+f(-x)的定义域是的定义域是( ) A.-4，4B.-2，2 C.-4，-2 D.2，4B(2) f(2x
7、+1)x2-2x，则，则 f(3). 解：解： 令令 则则解法二：解法二：由由 2x+1=3, 得得 x=1 f(3)1221= 1，解：解： f(x1)=x2=(x1)2+2(x1)+1, f(x)=x2+2x+1.解法二：解法二：令令t=x 1, 则则 x=t+1, 则则 f(t)=(t+1)2=t2+2t+1, f(x)=x2+2x+1.（3）已知函数）已知函数f(x1)=x2，求，求f(x).(4) 若若 , 求求 f(x)解解: 令令 则则 (t 0) 则则f(x)= (x 0且且x 1)解法二：解法二：(x 0且且x 1)f(x)= (x 0且且x 1)(5). 已知函数已知函数
8、f(x)= 4x+3，g(x)=x2,求求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).解：解： ff(x) =4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；fg(x) =4g(x)+3=4x2+3；gf(x)=f(x)2=(4x+3)2=16x2+24x+9； gg(x)=g(x)2=(x2)2=x4.考点一考点一函数的有关概念函数的有关概念 由函数的定义可知，对于定义域内的任意一个由函数的定义可知，对于定义域内的任意一个自变量的值都有惟一确定的函数值与之对应可以自变量的值都有惟一确定的函数值与之对应可以此判断在某种对应关系此判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集的作用下，从非空数集
9、A到到非空数集非空数集B的对应是否是函数的对应是否是函数 下列对应关系是集合下列对应关系是集合P上的函数的是上的函数的是_.(1)PZ，QN*，对应关系，对应关系f：对集合：对集合P中的元素取绝中的元素取绝 对值与集合对值与集合Q中的元素相对应；中的元素相对应；(2)P1, 1，2, 2，Q1, 4， 对应关系对应关系f：xyx2，xP，yQ；(3)P三角形三角形，Qx|x0，对应关系，对应关系 f：对：对P中三角形求面积与集合中三角形求面积与集合Q中元素相对应中元素相对应【思路分析思路分析】利用函数的定义来判断利用函数的定义来判断例例例例1 1【解析解析】由于由于(1)中集合中集合P中元素中
10、元素0在集合在集合Q中没有中没有对应元素对应元素, 并且并且(3)中集合中集合P不是数集不是数集, 从而知只有从而知只有(2)正确正确【答案答案】(2)【解题技巧解题技巧】函数是一种特殊的对应，要检验给定函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的函数值个值，是否都有惟一确定的函数值练习练习:(1)判断下列判断下列对应是不是从集合是不是从集合A到
11、集合到集合B的映射的映射Ax|x是三角形是三角形，Bx|x是是圆， f：每一个三角形都：每一个三角形都对应它的内切它的内切圆Ax|x是是锐角角，By|0y1， f：xysinx.A在空中运行的人造在空中运行的人造卫星星, B世界上的世界上的国家国家，f：每一：每一颗卫星与它的制造国家星与它的制造国家对应;Ax|0x4，By|0y2， f：xy(x2)2答案答案是，是，不是不是是是是是是是不是不是(2)已知映射已知映射f:AB，其中，其中A=B=R，对应法则，对应法则 f: xy= x2+2x, 对于实数对于实数kB, 在集合在集合A中中 不存在原象不存在原象, 则则k的取值范围是的取值范围是(
12、 )A. k1 B. k1 C. k1 D. k1解解:已知象已知象k求原象求原象x, 即求方程即求方程 x2+ 2x=k的实数解的实数解. 本题要求本题要求k在在A中无原象中无原象, 即方程在即方程在R中无实根中无实根.由题意由题意, 方程方程 x2+ 2x=k 在在R中无实根，中无实根， 即即 x2 2x+k=0 在在R中无实根，中无实根，所以所以=(2)24k0，解得，解得k1，所以当所以当k1时，集合时，集合A中不存在原象，故选中不存在原象，故选A.A考点二考点二求函数的解析式求函数的解析式 求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消元法
13、等，如果已知函数解析式的类型，可用待法、消元法等，如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意这时要注意“元元”的范围；当已知表达式比较简单时，的范围；当已知表达式比较简单时，也可以用配方法；若已知抽象的函数表达式，则常用也可以用配方法；若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组，消元的方法求出解析式解方程组，消元的方法求出解析式例例例例2 2【解解】设设f(x)axb(a0)，则则 3f(x1)2f(x1) 3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即即ax5ab2x17不论不论x为何值都成立为何值都成立(a
14、-2)x5ab-170不论不论x为何值都成立为何值都成立互动探究互动探究 例例2 中中f(x)变为二次函数，且满足变为二次函数，且满足f(0)0，f(x1)f(x)x1，求，求f(x) 解：设解：设 f(x)ax2bxc(a0)，由由 f(0)0 知知 c0，f(x)ax2bx.又又 f(x1)f(x)x1，所以所以 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1，例例例例(2)题目的已知既然同时含有题目的已知既然同时含有f(x)和和f(x)，就表，就表明函数明函数f(x)的定义域是关于原点对称的，用的定义域是关于原点对称的，用x代代x后，已知式仍然成立，
15、从而又得到一个含后，已知式仍然成立，从而又得到一个含有有f(x)和和f(x)的等式，两个等式组成方程组，的等式，两个等式组成方程组，解出解出f(x)即可即可(2)已知已知f(x)2f(x)3x2，求，求f(x)的解析式的解析式点评点评在函数符号下含有式子的函数常用换元法在函数符号下含有式子的函数常用换元法或凑项法，如本题或凑项法，如本题(1)； 在已知的函数关系中含有可以对称代换的在已知的函数关系中含有可以对称代换的式子时，常用构造对偶式的方法，通过方程思式子时，常用构造对偶式的方法，通过方程思想求出函数的解析式，如本题想求出函数的解析式，如本题(2)练习练习:已知已知f(x)满足满足 , 求
16、求f(x) ；解：解： 已知已知 ，将将中中x换成换成 得得 ， 2得得 考点三考点三函数的三种表示方法函数的三种表示方法 用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质用解析式来研究函数的性质 用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数值的变化情况地表示出函数值的变化情况 用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值算就知道自变
17、量取某些值时函数的对应值 已知某人在已知某人在2010年年1月份至月份至6月份的月月份的月经济收入如下：经济收入如下：1月份为月份为1000元，从元，从2月份起月份起每月的月经济收入是其上一个月的每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人人1月份至月份至6月份的月经济收入月份的月经济收入y(元元)与月份序与月份序号号x的函数关系，并指出该函数的定义域、的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则值域和对应法则【思路分析思路分析】月份为自变量，月工资为函月份为自变量，月工资为函数值数值例例例例3 3【解解】列表：
18、列表：x123456y10002000400080001600032000图象：图象：解析式：解析式：y10002x1 (x1,2,3,4,5,6)其中定义域为其中定义域为1,2,3,4,5,6，值域为值域为1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000对应法则对应法则 f：xy10002x1.【规律小结规律小结】列表法、图象法和解析式法是表示函列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用在列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用在对待不同题
19、目时，选择不同的表示方法，因为有的函对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式数根本写不出其解析式考点四考点四分段函数及实际应用分段函数及实际应用 分段函数是一个函数而不是几个函数处理分段分段函数是一个函数而不是几个函数处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一产生错误的重要原因之一 甲、乙两地相距甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时运送货物到乙地，以每小时
20、50千米的速度行驶，千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时，然后以每小时小时60千米的速度返回甲地从货车离开甲地千米的速度返回甲地从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为间和距离分别为x小时和小时和y千米，试写出千米，试写出y与与x的的函数关系式函数关系式【思路分析思路分析】根据已知条件列出等式，这个根据已知条件列出等式，这个含有含有x、y的方程就是所求的函数，这是一个分的方程就是所求的函数，这是一个分段函数，要注意距离与时间的变化关系段函数，要注意距离与时间的变化关系例例例例4
21、4【解解】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时小时(1)当货车从甲地前往乙地时，当货车从甲地前往乙地时，由题意，可知由题意，可知y50x (0x3)； (2)当货车卸货时，当货车卸货时，y150 (3x0，即，即x1时，时，g(x)f(x)(x1)24，答案：答案：B练习练习: 答案：答案：A答案：答案：D4. 下下图中中, 能表示函数能表示函数yf(x)的的图象的是象的是()解析解析对于对于A、B两图，可以找到一个两图，可以找到一个x与两个与两个y对应对应的情形；的情形；对于对于C图，当图，当x0
22、时，有两个时，有两个y值对应；值对应；对于对于D图，每个图，每个x都有唯一的都有唯一的y值对应值对应D图可以表示图可以表示函数函数yf(x)，D答案答案(，2)(1，)【解析解析】令令x1x2，则则f()f()2f()f(0)，f(0)1.【答案答案】1 9. 设二次函数设二次函数f(x)满足满足f(2+x)f(2-x), 且且f(x)0的两个实根的平方和为的两个实根的平方和为10, f(x)的图像过点的图像过点(0, 3), 求求f(x)的解析式的解析式.分析分析 要求的函数二次函数，一般可设其为要求的函数二次函数，一般可设其为f(x)ax2+bx+c(a0)，然后根据已知条件求出系，然后根
23、据已知条件求出系数数a, b, c, 从而求得该二次函数从而求得该二次函数.由于本题条件由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数隐含着函数f(x)的图像关于直线的图像关于直线x=2对称，故可设函数对称，故可设函数f(x)a(x-2)2+k.解：解：f(2+x)f(2-x)，f(x)的图像关于直线的图像关于直线x=2对称对称.于是，设于是，设f(x)a(x-2)2+k(a0)，则由，则由f(0)3，可得可得k3-4a，f(x)a(x-2)2+3-4aax2-4ax+3.ax2-4ax+30 的两实根的平方和为的两实根的平方和为10，10x21+x22(x1+x2)2-2x1x2a=1. f(x)(x-2)2-1x2-4x+3. 解：由解：由
