数学教改几个论题

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1、数学教改的几个论题数学教改的几个论题章建跃章建跃010-58758320010-58758320一、如何理解一、如何理解“新理念新理念”? ?核心：以核心：以每一个每一个学生的全面、和谐与可持学生的全面、和谐与可持续发展为本续发展为本教育中的教育中的“科学发展观科学发展观”教学目标教学目标全面关注学生的认知、能力全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展促进学生全面、和谐、可持续发展数数学育人。学育人。如何落实？如何落实？提高课堂教学立意提高课堂教学立意许多教师的许多教师的“匠气匠气”太浓，课堂上题型、太浓，课

2、堂上题型、技巧太多，弥漫着技巧太多，弥漫着“功利功利”，缺少思想、，缺少思想、精神的追求。精神的追求。数学的数学的“育人育人”功能如何体现？功能如何体现？挖掘挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。关键：提高思想性。“技术技术”：加强：加强“先行组织者先行组织者”的使用。的使用。例例1 四边形的四边形的“先行组织者先行组织者”概括三角形中研究的问题、线索概括三角形中研究的问题、线索和基本和基本方法：定方法：定义（组成元素、分类）义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中三角形的性质（

3、变化中的不变性、规律性，从度量的不变性、规律性，从度量关系关系和位置关系入手）和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三特殊三角形的研究（角形的研究（角特殊角特殊直角三角形、直角三角形、边特殊边特殊等等腰三角形腰三角形，性质、判定）性质、判定）相似三角形（性质、相似三角形（性质、判定）判定）目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路基本套路”。引导学生类比，思考引导学生类比，思考“四边形四边形”研究的问题、线研究的问题、线索和方法等：索和方法等：一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；一般四边

4、形：组成元素、度量（内角和、外角和）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊性边的特殊性平行四边形：性质和判定；平行四边形：性质和判定；“性质性质”研究的是在研究的是在“平行四边形平行四边形”的条件下，它的组成元的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；系、对角线的关系等；“判定判定”研究的是具备什么研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；特殊的平行四边形：角的特殊特殊的平行四边形：角的特殊矩形，矩形

5、，边的特殊边的特殊菱形，边角都特殊菱形，边角都特殊正方正方形，都要研究性质和判定。形，都要研究性质和判定。研究的方法：化归为三角形、平行线的性研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识；质等已有知识；特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形角形的知识：矩形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形；等腰三角形；梯形梯形教学要求教学要求个性差异与统一要求的辩证个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础统一，但以个性差异为出发点和基础教学设计教学设计不仅从内容的教学需要预设不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课

6、堂提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成生成”，预设能引发学生独立思考、自，预设能引发学生独立思考、自主探究的主探究的“开放性问题开放性问题”，乃至强调，乃至强调“看看过问题三百个，不会解题也会问过问题三百个，不会解题也会问”教学方法教学方法讲授、问答、训练的综合，讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调合，强调“启发式讲授启发式讲授”的重要性的重要性学习方式学习方式接受与探究的融合，强调学生学接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学

7、习的结习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合合教学过程教学过程知识发生发展过程（自然、水到知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）深度参与（教学的有效性）教学评价教学评价教师根据教学进程进行教学反馈、教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价形成性评价发展的眼光发展的眼光教学媒体教学媒体追求追求“必要性必要性”“”“平衡性平衡性”“”“广广泛性

8、泛性”“”“实践性实践性”“”“有效性有效性”，服务于数学概，服务于数学概念、原理的实质理解念、原理的实质理解“新理念新理念”新在对学生的全面关注上新在对学生的全面关注上，但，但社会功利化导致教育的短期行为愈演愈烈，社会功利化导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注全面关注”变成了变成了“只关注分数只关注分数”，而，而且为了分数可以不择手段且为了分数可以不择手段竭泽而渔。竭泽而渔。二、怎样才算二、怎样才算“教完了教完了”？让学生经历概念的发生发展过程让学生经历概念的发生发展过程“这这样能教完吗？样能教完吗？”给学生吃给学生吃“压缩饼干压缩饼干”：基础知识基础知识“一个定义，三项注意一个定义，三项

9、注意”；解题教学解题教学“题型教学题型教学”，解题技巧大，解题技巧大杂烩，杂烩，“一步到位一步到位”。问题在那里？问题在那里？不不“准准”或者是没有围绕概念的核心，或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；或者教错了；不不“简简”在细枝末节上下功夫，把简在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；单问题复杂化了；不不“精精”让学生在知识的外围重复训让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。知识的深入理解。例例2 2 “代数式代数式”概念的一组练习概念的一组练习已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y

10、1)的值；已知a2+a1=0,则a2000+a1999 a1998= ；已知 ，求 的值；已知a:b=5:6，b:c=4:3，求 的值；学生没有学比例式、分式、指数等概念，如何理学生没有学比例式、分式、指数等概念，如何理解题意？！在代数式学习之初，要求学生用解题意？！在代数式学习之初，要求学生用“变变量代换量代换”“”“整体整体”等思想方法解决问题，可能吗等思想方法解决问题，可能吗？“教完了教完了”应该以学生是否理解为准，特别是学应该以学生是否理解为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而意，双基

11、包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容不是教师在课堂上有没有把内容“讲完讲完”。广种薄收是广种薄收是不负责任的，习题的针对性不强是水不负责任的，习题的针对性不强是水平不高的表现平不高的表现。忙忙= =心亡。心亡。三、怎样才是抓三、怎样才是抓“基础基础”我国我国“双基双基”的优势正在丧失；的优势正在丧失；现象现象：（：（1 1）数学教学数学教学题型教学题型教学刺激刺激反应（记忆、模范型学习）；（反应（记忆、模范型学习）；（2 2）缺少概）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学念的概括过程，以训练代替概念教学应用可以促进理解，但没有理解的应用是应用可以促进理解，但没有理解的

12、应用是盲目的；（盲目的；（3 3）过分关注）过分关注“题型题型”与与“题型题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会的一定不会”；等。；等。如何改变？如何改变？要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性要性无知者无能；无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考问不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；题、解决问题；加强概念的联系性，从概念的联系中寻找加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。解决问题的新思路。应追求解决问题的应追

13、求解决问题的“根本大法根本大法”基本基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。的操作。例例3 3 关于关于“配方法配方法”概念：把二次（三项）式配成一个含二项概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a依据：依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2步骤：（步骤：（1）二次项系数变）二次项系数变1；（；（2）加上并）加上并减去一次项系数一半的平方。减去一次项系数一半的平方。“配方法配方法”是基本而重要的，在是基本而重要的，在“三个二三个二次次”中有广泛应用。中有

14、广泛应用。一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式从最简单的开始：从最简单的开始：x 2=a；变式：；变式：(xp) 2=q，并分，并分析析“能解能解”的原因（可以通过开方将方程的原因（可以通过开方将方程“降次降次”）。）。对于对于ax2+bx+c=0，通过与，通过与“变式变式”的比较，得到化的比较，得到化归为归为(xp) 2=q就能解的思想方法，并让学生独立就能解的思想方法，并让学生独立思考获得用思考获得用“配方法配方法”推导出求根公式。推导出求根公式。这里要让学生形成一个这里要让学生形成一个“基本套路基本套路”：从特殊到：从特殊到一般，将复杂问题化归为简单问题，要注意化归一般，将复杂问

15、题化归为简单问题，要注意化归的条件（完备性的条件（完备性思维的严谨性）思维的严谨性）二次函数二次函数y=ax2+bx+c的性质的性质沿用一元二次方程求根公式的沿用一元二次方程求根公式的“套路套路”，从最简单的从最简单的y=x2开始，到开始，到y=ax2，再到，再到y=a(xh)2+k ，最后到，最后到y=ax2+bx+c。思想方法：思想方法：“化归化归”到前一种情况。到前一种情况。研究工具：配方法。研究工具：配方法。研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等。标、单调性（包括最大值、最小值）等。“配方法配方法”的灵活应用的灵活应用

16、“配方配方” “完全平方式完全平方式”非负性非负性例：（例：（1）无论）无论m取何值，取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有两个不等实根。都有两个不等实根。判别式是不等于判别式是不等于0的的“完完全平方式全平方式”。（2）已知）已知x2+4y22x+4y+2=0，求，求x，y的值。的值。一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是情况下可以，即实质是“方程组方程组”，化归的方法是，化归的方法是“配方得到完全平方式配方得到完全平方式”。四、探究式教学的天时地利人和四、探究式教学的天时地利人和天时：建设创新型社会，教育天时：建设创新型

17、社会，教育“以培养学以培养学生的创新精神和实践能力为重点生的创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于地利：教学内容是否适合于“探究探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；定等；但更多的内容可采用探究式教学；例例4 4 不适宜于探究的内容举例不适宜于探究的内容举例概念名称，如概念名称，如“有理数有理数”“”“无理数无理数”“”“补角补角” “余角余角”等；等；定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等；定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等；数学符号，如判别式数学符号，如判别式，全等，全等，相似，相似；某些复杂

18、的定理，如勾股定理，只要理解意义，某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解意义，会证明，能应用；会证明，能应用；为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进行为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进行分类？分类？例例5 5 适宜探究的内容举例适宜探究的内容举例实数运算律实数运算律从具体到抽象，归纳得出；从具体到抽象，归纳得出；乘法公式，平方差公式、完全平方公式等；乘法公式，平方差公式、完全平方公式等；各种几何性质原则上都是可以探究的；各种几何性质原则上都是可以探究的；例例6 等腰三角形的性质等腰三角形的性质先行组织者：对于三角形，我们研究过它先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内

19、角、边、外角、的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系究过两个三角形的特殊关系全等问题；全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究要研究“角角”为标准的直角三角形，为标准的直角三角形，“边边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。为标准的等腰三角形（特例是等边）。问题问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些你认为

20、可以研究等腰三角形的哪些问题？问题？性质与判定性质与判定问题问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？入手？角的关系（两底角相等）、高、角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。的特殊性；等。问题问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。说明你得到的一定是等腰三角形。从从“剪剪”的的过过程程看看

21、到到，等等腰腰三三角角形形的的哪哪些些元元素素是是重重合合的的？你你可可以以得得到到哪哪些些性性质质的的猜猜想？想？“剪剪”的的关关键键步步骤骤是是什什么么？数数学学含含义义是是什什么么？上上述述猜猜想想是是从从一一个个等等腰腰三三角角形形得得到到的的，是是否否对对所所有有等等腰腰三三角角形形都都有有这这些些性性质质呢呢？如如何何证证明明？通通过过全全等等三三角角形形，注注意意从从操操作中获得证明思路的启发。作中获得证明思路的启发。对对特特殊殊的的等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形，有有什么相应的特殊结论？什么相应的特殊结论？人和：师生共同营造的人和：师生共同营造的“探究氛围探究氛围”，

22、有，有赖于学生赖于学生“探究式学习的心向探究式学习的心向”，也有赖，也有赖于教师的于教师的“探究型教学的意识探究型教学的意识”。探究过程需要精心设计探究过程需要精心设计围绕核心的定围绕核心的定向探究；数学思想方法在自主探究中有关向探究；数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导键作用，需要教师的启发引导注意使注意使用用“先行组织者先行组织者”。“我校生源差，反复讲还记不住，怎能让我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？学生自主探究？”学习是知与行的统学习是知与行的统一，只一，只“讲讲”肯定不会；探究是深层次的肯定不会；探究是深层次的思维活动，是思维活动，是“心动心动”与与“

23、行动行动”的融合。的融合。生源越差越要精心组织学生的探究活动，生源越差越要精心组织学生的探究活动，如何铺设探究的台阶是对教师的考验。如何铺设探究的台阶是对教师的考验。例例7 7 “找规律找规律”平面上的平面上的n条直线至多可以有多少个交点。条直线至多可以有多少个交点。归纳推理过程分析：归纳推理过程分析：n=2，1个交点；个交点；n=3，第，第3条直线与前条直线与前2条直线各有一个交点，增加条直线各有一个交点，增加2个，个，为为1+2；n=4时，第时，第4条直线条直线，增加，增加3个，为个，为1 + 2 + 3；n条直线至多条直线至多1+2+（n1）。）。难点：（难点：（1）归纳思想不是自然产生

24、的；（）归纳思想不是自然产生的；（2）保留中间值以便观察规律的技能不容易；（保留中间值以便观察规律的技能不容易；（3）1+2+（n1）的意义难理解。）的意义难理解。结论：这个题目不适合初中。结论：这个题目不适合初中。五、概念教学的要义是什么？五、概念教学的要义是什么？概念教学的核心概念教学的核心概括：将凝结在数学概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；归纳得出数学概念；“举一反三举一反

25、三”与与“举三反一举三反一”的关系：的关系：（1 1）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性综合、比较而概括出共同本质属性举举三反一；三反一；（2 2）类化：把共同本质属性推广到同类事物）类化：把共同本质属性推广到同类事物中中举一反三；举一反三；（3 3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。）纳入概念系统，与相关概念建立联系。对具体例证进行分化、类化是概念教学的对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力属性是教学的重要任务；发现关

26、系的能力是很重要的。是很重要的。概念教学的基本环节概念教学的基本环节典型丰富的具体例证典型丰富的具体例证属性的分析、比较、属性的分析、比较、综合；综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；下定义（准确的数学语言描述）；概念的辨析概念的辨析以实例（正例、反例）为载体以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；分析关键词的含义；用概念作判断的具体事例用概念作判断的具体事例形成用概念作判形成用概念作判断的具体步骤；断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”建立与相关概念的联系。建立与相关概念的联系。例例8 8 无理数概念的教学无理数概念的

27、教学六、如何理解循序渐进、螺旋上升六、如何理解循序渐进、螺旋上升？螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据；有学生思维发展规律的依据；螺旋上升应该体现螺旋上升应该体现“必要性必要性”，如函数概，如函数概念必须螺旋式学习，但平面几何的螺旋不念必须螺旋式学习，但平面几何的螺旋不应该是应该是“先实验几何，论证下次再说先实验几何，论证下次再说”；“螺旋式螺旋式”可能产生的问题是重复学习，可能产生的问题是重复学习，例如统计与概率的不适当重复问题；例如统计与概率的不适当重复问题；重要的数学思想方法必须得到重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升螺旋上升地

28、重复地重复”“隐性知识隐性知识”，“可以意会可以意会不可言传不可言传”，要经历，要经历“渗透渗透概括概括应用应用”的学习阶段。的学习阶段。例例9 9 概念的多元联系表示中体现的概念的多元联系表示中体现的螺旋上升螺旋上升比例关系：比例关系：算术算术比和比例、百分数、比例尺；比和比例、百分数、比例尺；代数代数各种各种“率率”，实际问题；，实际问题；平面几何平面几何线段比和比例、相似形等；线段比和比例、相似形等；解析几何解析几何斜率、线性方程；斜率、线性方程；统计与概率统计与概率统计图表、频率与概率。统计图表、频率与概率。当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念当利用基本的几何概念（如相似）和代数概

29、念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。关系的理解就会更深刻。七、七、“不是教教材，是用教材教不是教教材，是用教材教”？现象：脱离教材，大量使用教辅；现象：脱离教材，大量使用教辅；原因：教材内容原因：教材内容“简单简单”，不足以应付，不足以应付中中考；对考；对“不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”、“创造性使用教材创造性使用教材”的意图有误解；有的的意图有误解；有的教师不善于或不愿意花大力气研究教材。教师不善于或不愿意花大力气研究教材。我的看法我的看法“不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”“脱离脱离教材

30、教材”，是针对是针对“照本宣科照本宣科”的；的；教材的教材的“基础性基础性”与中考的与中考的“选拔性选拔性”有有目标差异，但学好教材一定是中考取得好目标差异，但学好教材一定是中考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。助学生熟练掌握教材内容上。理解教材是当好数学教师的前提，而理解教材是当好数学教师的前提，而“理理解教材解教材”的第一要义是的第一要义是“理解数学理解数学”：了：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科

31、学方法、理性思维过程和价值观蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。资源，区分核心知识和非核心知识等。课本、课本，一科之本。课堂教学应课本、课本，一科之本。课堂教学应“以以课本为本课本为本”。教辅资料不能作为教学依据；布置教辅资教辅资料不能作为教学依据；布置教辅资料上的题目时，教师自己应该先做一遍，料上的题目时，教师自己应该先做一遍，题目不配套时，对学生学习会有大干扰。题目不配套时，对学生学习会有大干扰。例例1010 锐角三角函数概念概括过程的设计锐角三角函数概念概括过程的设计目的：解直角三角形目的：解直角三角形课题的引入：从实际需要看（如比萨斜塔课题的引入：从实

32、际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系）。系，边与角有没有确定的关系）。定性考察：从直角三角形全等的判定可知，定性考察：从直角三角形全等的判定可知，RtRt中，除直角外，任意给两个条件（至中，除直角外，任意给两个条件（至少一个是边），其余唯一确定。少一个是边），其余唯一确定。“定量化定量化”的过程设计的过程设计从最熟悉的直角三角形开始：无论从最熟悉的直角三角形开始：无论 Rt的的 大小如大小如何，何，30所对的边是斜边的一半所对的边是斜边的一半

33、（本质特征）（本质特征）。思考：由这个比值能干什么？思考：由这个比值能干什么？当当A = 30时，时，已知斜边可求已知斜边可求A的对边，反之也可。的对边，反之也可。及时巩固：等腰直角三角形中，锐角及时巩固：等腰直角三角形中，锐角A的对边与的对边与斜边的比是多少？由这个比值能干什么？斜边的比是多少？由这个比值能干什么？推广到一般：给定锐角推广到一般：给定锐角A，A的对边与斜边的比的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条件件什么不变、什么变）什么不变、什么变）下定义，用符号表示。下定义，用符号表示。辨析定义：（辨析定义：（1）A为为RtA

34、BC的锐角，的锐角， ABC的大小可以变化，但的大小可以变化，但A的对边与斜的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符号）符号sinA的理解的理解一个由一个由A唯一确定的数，例如唯一确定的数，例如sin30=0.5；（3）sinA的取值范围；等。的取值范围；等。概念的应用：给直角三角形的边，求正弦概念的应用：给直角三角形的边，求正弦值。值。掌握用定义解题的基本规范。掌握用定义解题的基本规范。教材的编写意图教材的编写意图如何提出数学问题如何提出数学问题引导学生

35、思考已经研究过引导学生思考已经研究过什么，还可以研究什么；什么，还可以研究什么；从定性到定量从定性到定量数学的普遍方法；数学的普遍方法；从学生最熟悉的问题开始；从学生最熟悉的问题开始；从另一个角度看问题从另一个角度看问题旧问题新解释，数学发旧问题新解释，数学发展的一种思路；展的一种思路；从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法；从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法；使学生经历概念形成的完整过程。使学生经历概念形成的完整过程。八、重结果轻过程的危害是什么八、重结果轻过程的危害是什么？数学是思维的科学。数学思想方法孕育于数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。知识的发生发展过程中。“

36、思想思想”是概念是概念的灵魂，是的灵魂，是“数学素养数学素养”的源泉，是从知的源泉，是从知识到能力的桥梁；识到能力的桥梁；“过程过程”是是“思想思想”的的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。练的通道，是培养数学能力的土壤。没有过程没有过程= =没有思想；没有思想；没有思想就难以理解概念的实质；没有思想就难以理解概念的实质；缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、数学认知结构缺乏整体性，其可

37、利用性、可辨别性和稳定性等可辨别性和稳定性等“功能指标功能指标”都会大都会大打折扣。打折扣。没有没有“过程过程”的教学把的教学把“思维的体操思维的体操”降降格为格为“刺激刺激反应反应”训练，是教育功利化训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。在数学教学中的集中表现。 例例1111 平行线的判定平行线的判定 过程中体现的思想性过程中体现的思想性复习：（复习：（1）在）在“相交线相交线”中，我们是如何中，我们是如何展开研究的？展开研究的？研究线索：从定义（获得研究对象）研究线索：从定义（获得研究对象）图形的性质（同图形的性质（同一类图形的共同本质特性一类图形的共同本质特性）特例（垂直）特例（垂直

38、）研究内容：四个角的位置关系、大小关系；研究内容：四个角的位置关系、大小关系；特例的特例的“特殊性特殊性”邻补角相等时两条邻补角相等时两条直线的位置关系，过一点有且只有一条直直线的位置关系，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（不垂直时有两条），线与已知直线垂直（不垂直时有两条），垂线段最短。垂线段最短。（2）“三线八角三线八角”的研究过程是什么？其中的研究过程是什么？其中的关键是什么？的关键是什么？与相交线的研究思路一样，对与相交线的研究思路一样，对“两条直线两条直线AB、CD被第三条直线被第三条直线EF所截所截”构成的八构成的八个角的位置关系进行分类。个角的位置关系进行分类。位置关系分类的

39、关键是确定分类标准（位置关系分类的关键是确定分类标准（两两个不共顶点的角在个不共顶点的角在AB、CD的同一方，的同一方，EF的同一侧）。的同一侧）。“平行线的判定平行线的判定”的过程构建的过程构建问题一：类比相交线的特例，在问题一：类比相交线的特例，在“三线八三线八角角”中，有哪些特例？（两条直线平行中，有哪些特例？（两条直线平行平行公理；第三条直线与两条直线都垂平行公理；第三条直线与两条直线都垂直；等）直；等）先行组织者：对于几何图形，我们主要考先行组织者：对于几何图形，我们主要考察位置关系和大小度量。对于某种确定的察位置关系和大小度量。对于某种确定的图形（位置关系），我们一般从判定和性图形

40、（位置关系），我们一般从判定和性质两个角度进行研究。判定就是什么时候质两个角度进行研究。判定就是什么时候有这种位置关系；性质就是具有这种位置有这种位置关系；性质就是具有这种位置关系的图形有什么特性。下面先学习关系的图形有什么特性。下面先学习“判判定定”。问题二：显然我们可以用定义来判定，但问题二：显然我们可以用定义来判定，但由于直线可以无限延伸，用定义判断不方由于直线可以无限延伸，用定义判断不方便。从便。从“三线八角三线八角”模型、画平行线的过模型、画平行线的过程等操作中，你能得到什么启发？程等操作中，你能得到什么启发？同同位角相等，两直线平行（公理）。位角相等，两直线平行（公理）。问题三：两

41、条直线被第三条直线所截，同问题三：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两条直线平行，能否利位角相等可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定呢？用内错角或同旁内角来判定呢？通过通过内错角、同旁内角与同位角的关系，内错角、同旁内角与同位角的关系，注意注意训练推理的条理性，渗透化归思想。训练推理的条理性，渗透化归思想。课堂小结课堂小结从运动变化观点看直线与直线的位置关系从运动变化观点看直线与直线的位置关系（将相交线、垂线、平行线串起来）（将相交线、垂线、平行线串起来）；研究问题的基本思路：平行是研究问题的基本

42、思路：平行是特殊的位置关系，如何判断？特特殊的位置关系，如何判断？特殊性有哪些（性质）？殊性有哪些（性质）？判定方法：一般的（同位角、内错角和同判定方法：一般的（同位角、内错角和同旁内角）；特殊的（旁内角）；特殊的（a，b同时平行或同时同时平行或同时垂直于第三条直线）垂直于第三条直线）九、什么才是九、什么才是“数学思维的教学数学思维的教学”1 1树立正确的学生观树立正确的学生观学生的主动参与学生的主动参与是根本保证。是根本保证。2 2让学生真正让学生真正“动起来动起来”书上得来终书上得来终觉浅，绝知此事须躬行。觉浅，绝知此事须躬行。3 3精心选择和使用例子精心选择和使用例子一个好例子胜一个好例

43、子胜过一千次说教。过一千次说教。4 4关注课堂中生成的教学资源关注课堂中生成的教学资源从学生从学生的切身体验中引发更深层次的思考。的切身体验中引发更深层次的思考。例例1212 “有理数加法法则有理数加法法则”教学设计教学设计（1）明确典型、丰富素材的类型：）明确典型、丰富素材的类型：a+b=c中，中，a，b都是正数或都是正数或0；正正+负，负负，负+正，负正，负+负，负负，负+0，0+负在异号两数相加时，还有正数的绝对负在异号两数相加时，还有正数的绝对值大于或小于负数的绝对值两种情况值大于或小于负数的绝对值两种情况（2）创设问题情境：从）创设问题情境：从O点出发，向东（西）走点出发，向东（西）

44、走5米，再向（西）东走米，再向（西）东走3米，结果是共向东（西）走米，结果是共向东（西）走8米分别用图和算式表示。米分别用图和算式表示。（3）让学生自己举一些类似例子。）让学生自己举一些类似例子。（4）让学生概括上述情形，并填写：两个）让学生概括上述情形，并填写：两个 数相加，数相加，仍得仍得 数，并把数，并把 相加进一步地，相加进一步地， 号两数相号两数相加，符号加，符号 ，并把，并把 相加相加（5）a，b异号有几种情形？异号有几种情形？分类标准的选择很重要。由于分类标准的选择很重要。由于a，b异号，所以以异号，所以以绝对值大小为标准分为：负数的绝对值较大；两绝对值大小为标准分为：负数的绝对

45、值较大；两数的绝对值相等；正数的绝对值较大数的绝对值相等；正数的绝对值较大（6）类比前面的过程，举一些负数的绝对值较大的）类比前面的过程，举一些负数的绝对值较大的两个异号有理数相加的实例，并概括法则。两个异号有理数相加的实例，并概括法则。（7）其他情形如法炮制。）其他情形如法炮制。（8）最后，再概括到一般法则。）最后，再概括到一般法则。结束语结束语教育改革需要一定的理想化色彩；教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括教育包括“生命的教育生命的教育”和和“生活的教育生活的教育”，不要忘记不要忘记“教教学生学生做人、做事做人、做事”的的双重双重职责；职责；教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，思想到了极致则开悟；思想到了极致则开悟；能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；为人师表为人师表默而识之，学而不厌，诲人不倦。默而识之，学而不厌，诲人不倦。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢