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1、一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集第一章第一章 函数函数数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为
2、开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :4.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.5.5.绝对值绝对值: :运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域二、函数概念二、函数概念函数的两要素函数的
3、两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.定义定义: :如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数 (1) 符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xy
4、o阶梯曲线阶梯曲线(3) 取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.基本初等函数基本初等函数1、幂函数幂函数2、指数函数、指数函数3、对数函数、对数函数4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数5、反三角函数、反三角函数三、函数的特性三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:2函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数
5、的奇偶性:偶函数偶函数yxox-xy轴对称轴对称奇函数奇函数yxox-x4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）. 为 内有定义的偶函数，已知y=f(x)的图像关于x=2对称，问f(x)是否为周期函数？ 解：解：则有则有故而故而四四、复合函数复合函数 初等函数初等函数1、复合函数、复合函数定义定义:注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2、初等函数、初等函数 由常数和基本初等函数
6、经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例1 1解解例例2 2解解故故思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能五、反函数五、反函数DWDW 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.注意注意：只有在给定区间上严格单调的函数，才：只有在给定区间上严格单调的函数，才有反函数。有反函数。思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故有关结论有关结论：1、偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数， 奇函数偶函数奇函数；2、奇偶函数复合后
7、还是偶函数，偶偶复合为偶函数，奇奇复合为奇函数；3、奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数；4、奇函数的积分为偶函数，偶函数的积分未必是奇函数；5、周期函数的导数是周期函数(未必反之）；6、无论f(x) 还是 ，都有f(f(x) ；7、若y=f(x) (或 )，则其反函数也是(或 ).练练 习习 题题二、证明二、证明xylg= =在在), 0(+上的单调性上的单调性. .三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( - -aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和 . . 四、证明函数四、证明函数acxbaxy- - -= =的
8、反函数是其本身的反函数是其本身. .练练 习习 题题一、填空题一、填空题:._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(22的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，为为）的定义域）的定义域（，则，则，的定义域为的定义域为、若、若 - -+ + + + +aaxfaxfaaxfxfxfxf“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、极限概念的引入一、极限概念的引入2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰
9、，日截其半，万世不竭”二、数列的定义二、数列的定义例如例如注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数 Ex.Ex.三、数列的极限三、数列的极限B如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：例例1例例2例例3四、四、数列极限的性质数列极限的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.
10、.2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛收敛数列的任一子数列也收敛, ,且极限相同且极限相同一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限注意：注意：二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限例例4例例2例例3例例53.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性3.不等式性质不等式性质定理定理( (保号性保号性) )推论推论4.子列
11、收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理例例7证证思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.思考题思考题例例一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理推论推论1 1推论推论2 2二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)答案：A例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,意
12、义：意义：例例8 8解解一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则注意注意: :例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:极限极限例例2 2证证(舍去舍去)例例3 3解解二、两个重要极限二、两个重要极限(1)(2)例例4 4解解例例5 5解解一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意（1）无穷
13、小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小定理定理3 有界函数与无穷有界函数与无穷
14、小的乘积是无穷小小的乘积是无穷小.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.不是无穷大不是无穷大无界，无界，A三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
15、 .四、小结四、小结无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限定义定义: :例如，例如，例例1 1解解例例解解意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小: :二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) )证证例例解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小
16、代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例解解例例解解解解错错练练 习习 题题一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形
17、是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点二、函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2.可去间断点可去间断点例例5 5解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8解解三、小结三、小结1.函数在一
18、点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx思考题思考题练练 习习 题题三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并
19、说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续数的定义使它连续 . . 1 1、 - - - -= =1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . . 2 2、 xxxftan)(= =, ,在在Rx 上上 . . 四、四、 试确定试确定ba,的值的值, ,使使)1)()(- - - -= =xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0= =x；（；（ 2 2）有可去间断点）有可去间断点1= =x . . 练练 习习 题题一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :例如例如,闭区间连续函数性质
20、闭区间连续函数性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证二、介值定理二、介值定理定义定义: :几何解释几何解释:推广的推广的零点定理：零点定理：若函数若函数 f(x) 在区间在区间（a,b）内连续，且满足内连续，且满足则至少存在一点则至少存在一点 （a,b），使得使得 f() 0.例例1 1证证由零点定理由零点定理,例例2 2证证由零点定理由零点定理,练练 习习 题题一、一、 证明方程证明方程bxax+ += =sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba + +. .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan L21 则在则在,1nxx上必有上必有x x，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21+ + + += =. .
