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1、用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 2从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为解解例例3 3五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩一对应
2、的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余
3、的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为所用变换矩阵为解解例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得再配方，得所用变换矩阵为所用变换矩阵为二
4、、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使
5、用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩数必定相同，项数等于所给二次型的秩思考题思考题解答为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如例如正定二次型（正定矩阵）的判别方法：正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.特征值全大于零特征值全大于零 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即负定二次型（负定矩阵）的判别方法：负定二次型（负定矩阵）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即(3)(3)特征值判别法特征值判别法. 特征值全小于零特征值全小于零
