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1、1雅可比矩雅可比矩阵阵的定的定义义微分运微分运动动与广与广义义速度速度雅可比矩雅可比矩阵阵的构造法的构造法PUMA560机器人的雅可比矩机器人的雅可比矩阵阵逆雅可比矩逆雅可比矩阵阵力雅可比矩力雅可比矩阵阵 上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐次上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立了建立了操作空间操作空间与与关节空间关节空间的映射关系。的映射关系。 本章将在位移分析的基础上，进行本章将在位移分析的基础上，进行速度分速度分析析，研究操作空间速度与
2、关节空间速度之间，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系的线性映射关系雅可比矩阵雅可比矩阵(简称雅可比简称雅可比)。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。表示两空间之间力的传递关系。4.1 雅可比矩雅可比矩阵阵的定的定义义 把机器人关节速度向量把机器人关节速度向量把机器人关节速度向量把机器人关节速度向量 定义为：定义为：定义为：定义为： 式中，式中，式中，式中， 为连杆为连杆为连杆为连杆i i相对相对相对相对i-1i-1的的的的角速度或线速度。角
3、速度或线速度。角速度或线速度。角速度或线速度。手抓在基坐标系中的广义速度向量为：手抓在基坐标系中的广义速度向量为： 式中，式中，式中，式中， v v为线速度，为线速度，为线速度，为线速度，为角速度分量。为角速度分量。为角速度分量。为角速度分量。 从关节空间速度向操作空间速度映射的从关节空间速度向操作空间速度映射的线性关系称为雅可比矩阵，记为线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：，即： 4-3 在数学上，机器人终端手抓的广义位置在数学上，机器人终端手抓的广义位置（位姿）矢量（位姿）矢量P可写成：可写成： 上式对时间求导，有：上式对时间求导，有：上式对时间求导，有：上式对时间求导，有：4-5 对照式
4、对照式4-3和式和式4-5，可知：，可知： 在机器人学中，在机器人学中，J J是一个把关节速度向量是一个把关节速度向量 变变换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。在三维空间运行的机器人，其在三维空间运行的机器人，其J J阵的行数恒为阵的行数恒为6(6(沿沿/ /绕基坐标系的变量共绕基坐标系的变量共6 6个个) )；列数则为机械手含有的；列数则为机械手含有的关节数目。关节数目。 对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量量 均容易确定，可采用直接微分法求均容易确定，可采用直接微分法求J J，比较方便。比较方
5、便。 对于三维空间运行的机器人则不完全适用。对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从从三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量坐标位置向量 的显式方程，因此，的显式方程，因此，J J的前三的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 的一般表达式。找不出互相独立的、无的一般表达式。找不出互相独立的、无顺序的三个转角来描述方位绕直角坐标轴的连续顺序的三个转角来描述方位绕直角坐标轴的连续角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对角位移的形成顺序无关，故
6、一般不能运用直接微分角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分法来获得法来获得J J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可的后三行。因此，常用构造性方法求雅可比比J J。4.2 微分运微分运动动与广与广义义速度速度 刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量d d和微分转动矢量和微分转动矢量和微分转动矢量和微分转动矢量 。前者由沿三个坐标轴的微分。前者由沿三个坐标轴的微分。前者由沿三个坐标轴的微分。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成，移动组成，后者由绕三
7、个坐标轴的微分转动组成，移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成，移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成，即即即即 或或或或 或或或或刚体或坐标系的微分运动矢量刚体或坐标系的微分运动矢量刚体或坐标系的微分运动矢量刚体或坐标系的微分运动矢量刚体或坐标系的广义速度刚体或坐标系的广义速度刚体或坐标系的广义速度刚体或坐标系的广义速度简写为：简写为：简写为：简写为：其中，其中，其中，其中，R R R R是旋转矩阵是旋转矩阵是旋转矩阵是旋转矩阵S(P)S(P)S(P)S(P)为矢量为矢量为矢量为矢量P P P P的反对称矩阵的反对称矩阵的反对称矩阵的反对称矩阵S(P)S(P)S(P)S(P)矩阵具有
8、以下性质：矩阵具有以下性质：矩阵具有以下性质：矩阵具有以下性质：相应的，广义速度相应的，广义速度相应的，广义速度相应的，广义速度V V V V的坐标变换为：的坐标变换为：的坐标变换为：的坐标变换为：任意两坐标系任意两坐标系任意两坐标系任意两坐标系A A A A和和和和B B B B之间广义速度的坐标变换为：之间广义速度的坐标变换为：之间广义速度的坐标变换为：之间广义速度的坐标变换为：4.3 雅可比矩雅可比矩阵阵的构造法的构造法 构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法，雅可比矩阵
9、换法，雅可比矩阵换法，雅可比矩阵换法，雅可比矩阵J(qJ(q) )既可当成是从关节空间向既可当成是从关节空间向既可当成是从关节空间向既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即：分运动转换的线性关系，即：分运动转换的线性关系，即：分运动转换的线性关系，即： 对于有对于有对于有对于有n n n n个关节的机器人，其雅可比矩阵个关节的机器人，其雅可比矩阵个关节的机器人，其雅可比矩阵个关节的机器人，其雅可比矩阵J(q) 是是是是6n
10、6n6n6n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度表对手爪线速度表对手爪线速度表对手爪线速度v v v v的传递比，后三行称为方位矩阵，的传递比，后三行称为方位矩阵，的传递比，后三行称为方位矩阵，的传递比，后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度代表相应的关节速度代表相应的关节速度代表相应的关节速度 对手爪的角速度对手爪的角速度对手爪的角速度对手爪的角速度的传递的传递的传递的传递比。因此，可将雅可比矩阵比。因此，可将雅可比矩阵比。因此，可将雅可比矩阵比。因此，可将雅可比
11、矩阵J(q)分块，即：分块，即：分块，即：分块，即： 式中，式中，式中，式中，J Jli li和和和和J Jaiai分别表示关节分别表示关节分别表示关节分别表示关节i i的单位关节速度引起手爪的单位关节速度引起手爪的单位关节速度引起手爪的单位关节速度引起手爪的线速度和角速度。的线速度和角速度。的线速度和角速度。的线速度和角速度。 雅可比矩阵的求解（矢量积法）：雅可比矩阵的求解（矢量积法）：J Jli li的求法：的求法：的求法：的求法：(1) (1) 第第第第i i关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时仅平移关节产生的线速度仅平移关节产生的线速度仅平移关节产生的线速度
12、仅平移关节产生的线速度设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则： 设设b bi-1i-1为为z zi-1i-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的平移速度的平移速度didi转换成基础坐标下的速度：转换成基础坐标下的速度：由于由于所以所以 (2)(2)第第i i个关节为转动个关节为转动关节时，关节时， 设某时刻仅此关节运设某时刻仅此关节运动，其余的关节静止动，其余的关节静止不动，仍然利用不动，仍然利用b bi-1i-1将将z zi-1i-1轴上的角速度轴上的角速度转化到基础坐标中去转化到基础坐标中去仅旋转关节
13、产生的线速度仅旋转关节产生的线速度仅旋转关节产生的线速度仅旋转关节产生的线速度矢量矢量 起于起于O Oi-1i-1，止于，止于O On n，所以由，所以由i i产生的线速度为产生的线速度为: :由于由于所以所以雅可比矩阵的求解：雅可比矩阵的求解：J Jaiai的求法：的求法：的求法：的求法：(1)(1)第第第第i i关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时(2)(2)由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时(2) (2) 第第第
14、第i i关节为转动关节时，关节为转动关节时，关节为转动关节时，关节为转动关节时，所以所以所以所以当第当第当第当第i i关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时关节为移动关节时当第当第当第当第i i关节为转动关节时关节为转动关节时关节为转动关节时关节为转动关节时确定确定确定确定1 1、用、用b b表示表示z zi-1i-1轴上的单位向量轴上的单位向量把它转换到基础坐标系中，即为把它转换到基础坐标系中，即为 如右图所示。用如右图所示。用O O、O Oi-1i-1、O On n分别表示基础坐标系、分别表示基础坐标系、i-1i-1号号坐标及手部坐标系的原点。用坐标及手部坐标系的原点。用矢量矢量
15、x x表示在各自坐标系中的表示在各自坐标系中的原点。原点。把把用齐次坐标表示用齐次坐标表示有上式可以确定有上式可以确定例例2-6：建：建立右图的雅立右图的雅可比矩阵可比矩阵机械臂末端的速度为机械臂末端的速度为微分变换法微分变换法 对于转动关节对于转动关节 对于移动关节对于移动关节 对于移动关节对于移动关节 对于转动关节对于转动关节 例：例：PUMA560PUMA560的的6 6个关节都是转动关节，其雅可比个关节都是转动关节，其雅可比有有6 6列。此处用矢量积法计算列。此处用矢量积法计算J(qJ(q) )例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节外，
16、其余外，其余5 5个关节为转动关节。此处用微分法计算个关节为转动关节。此处用微分法计算T TJ(qJ(q) ) 若给定机器人终端手抓的广义速度向量若给定机器人终端手抓的广义速度向量V，则可由下式解出相应的关节速度：则可由下式解出相应的关节速度：逆雅可比矩阵逆雅可比矩阵 上式中，上式中， 称为逆雅可比矩阵，称为逆雅可比矩阵， 为加为加给对应关节伺服系统的速度输入变量。给对应关节伺服系统的速度输入变量。雅可比矩阵的应用雅可比矩阵的应用1 1、分离速度控制、分离速度控制 由上式可见，当已知手端速度向量由上式可见，当已知手端速度向量V V，可通过左，可通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所
17、以乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行速度控制的基本关系式。速度控制的基本关系式。 采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形式，故将上式写为：式，故将上式写为：式中式中, ,v v为手为手部在基础坐标部在基础坐标下一个采样周下一个采样周期的位移期的位移( (线位线位移、角位移移、角位移) )； q q为在同一周为在同一周期内关节变量期内关节变量的增量。的增量。 当要求机器人沿某轨迹运动时，当要求机器人沿某轨迹运动时，v为已知，将它为已知，将它代入上式中求
18、得关节变量增量代入上式中求得关节变量增量q ，于是可确定各关，于是可确定各关节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离速度控制原理，如下图所示。速度控制原理，如下图所示。v要求要求v实际实际分离速度控制原理分离速度控制原理雅可比矩阵的应用雅可比矩阵的应用2 2、在静力分析中的应用、在静力分析中的应用 有些机器人的工作需要与环有些机器人的工作需要与环境接触，并保持一定的接触力，境接触，并保持一定的接触力，如右图所示。接触力如右图所示。接触力F F可表示为可表示为一个六维力向量：一个六维力向量： 设一个驱动器只驱动一个关节，则设一个驱动器只驱动一个关节
19、，则n n个关节需求个关节需求n n个驱动力，可组成一个个驱动力，可组成一个n n维关节力向量维关节力向量: :T T与与F F的关系可以表示为：的关系可以表示为：2-56 式中，式中， 称为机器人称为机器人力雅可比力雅可比，它表示在静，它表示在静止平衡状态下，末端广义力向关节力映射的线性止平衡状态下，末端广义力向关节力映射的线性关系。显然，力雅可比是机器人速度雅可比的转关系。显然，力雅可比是机器人速度雅可比的转置。因此，机器人静力学传递关系和速度传递关置。因此，机器人静力学传递关系和速度传递关系紧密相关。系紧密相关。由构型和例由构型和例2-62-6可得：可得：思考题思考题1 1：右图为三自由
20、度机械手右图为三自由度机械手(1)(1)用用D-HD-H方法建立各附体坐方法建立各附体坐标系；标系；(2)(2)列出连杆的列出连杆的D-HD-H参数表；参数表；(3)(3)建立运动学方程；建立运动学方程；(4)(4)建立雅可比矩阵。建立雅可比矩阵。图图1思考题思考题2 2： 对图对图1 1的三自由度机械手，取的三自由度机械手，取1 10 0, ,2 29090，3 39090的姿态的姿态( (如图如图2)2)，试分别求出生成手爪力，试分别求出生成手爪力F FA A f fx x, ,0 0, ,00T T， F FB B 0,fy,0,fy,00T T, , F FC C 0,0,0 0,N,N T T的驱动力矩的驱动力矩A A, ,B , ,C。图图1图图2
